2024 年甘肃预赛

F2解答题数列的和

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2.

(1)
求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
设 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{a _{n}^{2}}$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求证：
$i = 1 \sum n [S_{i}] < n .$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F2（会透露解法方向）

作差得到na_n再求两等比数列之和，证明第二项起部分和在1与2之间即可确定所有整数部分。

用到的方法（会透露解法方向）