2025 年内蒙古预赛

前n项和归一化等差数列与累加不等式

F3解答题数列的和

设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知

{\frac{S _{n}}{n ( n + 1 )}}

是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列。

(1)
求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
令
$b_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) a _{n}}{S _{n}},$
$T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。证明：
$i = 1 \sum n T_{i} \leq \frac{6 ^{n} - 1}{5} .$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

通项由和作差直接求得，难点在选择逐项上界以匹配6的幂增长，并单查小指标使放缩完整。

用到的方法（会透露解法方向）