专题地图 › 三角函数初步
2015 年山西预赛 · 第 2 题
F1填空题三角函数初步
若 sinα+cosα=51,则 ∣sinα−cosα∣=。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:57
解析
解答
由 sin2α+cos2α=1,有
(sinα+cosα)2+(sinα−cosα)2=2.
代入已知和为 1/5,得
(sinα−cosα)2=2−251=2549.
因此
∣sinα−cosα∣=57.
复核
例如取 sinα=4/5,cosα=−3/5,两者平方和为一,和为 1/5,差的绝对值为 7/5。交换这两个数也满足已知条件,绝对值相同。
方法总结
已知正弦与余弦的和求差时,可用和差平方恒等式消元。题目有绝对值,最终必须取非负值。
为什么评为 F1(会透露解法方向)
利用正弦、余弦和差的平方恒等式消去交叉项,先求差的平方;题目有绝对值,最终直接取非负平方根,并可给合法角值核验。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:三角恒等变形
专题卡:已知正弦余弦的和或差,或两个正弦的平方差:用平方恒等式消元