2024 年中科大少年班营二

在$n$维欧氏空间${\mathbb{R}}^n$中，定义

1. (1)

   对$n=2$的情形，证明$d_2$是${\mathbb{R}}^2$上的距离。

2. (2)

   定义

   $$d_1(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|,d_{\infty }(x,y)=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i-y_i|.$$

   证明$d_1,d_2,d_{\infty }$两两等价。

设$q,n$为正整数，$A=\{1,2,\dots ,q\}$，$X=A^n$。 对$x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)\in X$，定义

1. (1)

   对任意整数$r$，若$1\le r\le n$，证明：对每个固定$x\in X$，

   $$\#\{y\in X:d(x,y)\le r\}=\sum _{i=0}^r(q-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}).$$
2. (2)

   证明恒等式

   $$q^n=\sum _{i=0}^n(q-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}).$$

   只允许使用第(1)问的结论。

3. (3)

   设$r$为满足$1\le r\le n$的整数，$C\subseteq X$含$M$个元素，且满足：

   1. (i)

      $C$中任意两个不同元素的距离均不少于$r$；

   2. (ii)

      在满足条件(i)的所有子集中，$C$的元素个数最大。

   证明

   $$M\ge \frac{q^n}{\sum _{i=0}^{r-1}(q-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}.$$

证明以下结论：

1. (1)

   单点集$\{x_0\}$是闭集。

2. (2)

   任意个开集的并仍是开集。

3. (3)

   有限个开集的交仍是开集。

4. (4)

   在有理数集$\mathbb{Q}$上定义$p$-进距离，则$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$不是闭集。

回答下列问题：

1. (1)

   写出柯西序列的定义。

2. (2)

   已知$\{x_n\}$和$\{y_n\}$是$\mathbb{R}$上的柯西序列，求证：$\{x_n+y_n\}$也是$\mathbb{R}$上的柯西序列。

3. (3)

   设$\{x_n\}$是汉明空间上的柯西序列，求证：存在$N\in {\mathbb{Z}}^{+}$，使得对一切$n>N$，都有$x_n=x_N$。

在有理数集$\mathbb{Q}$上，定义$p$-进距离

1. (1)

   证明：不同的$p$-进距离互不等价。

2. (2)

   证明：在$p$-进距离下，

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+p{)}^{p^n}=1.$$