10.1 随机事件与概率

A。偶数有 \(2,4,6\) 三种结果，大于 \(4\) 只有 \(5,6\) 两种。六种结果机会一样，包含的结果多的那件事更容易发生。

按这个想法，“点数是偶数”的可能性是 \(\dfrac36=\dfrac12\)，“点数大于 \(4\)”是 \(\dfrac26=\dfrac13\)。

这一节就把这件事说清楚：怎样列出全部结果（样本空间），怎样用结果的集合表示一件事（事件），什么时候可以“数个数、做除法”（古典概型）。

C。每枚 \(2\) 种，\(2\times2\times2=8\)：正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正反、反反正、反反反。选 B 的同学数的是“正面有 \(0,1,2,3\) 枚”四种情况，那是把结果合成了类别，不是样本点。

B。\(E\cap F=\varnothing\)，互斥；\(E\cup F=\{1,2,5,6\}\)，少了 \(3,4\)，掷出 \(3\) 时两件都没发生，所以不对立。选 A 的同学看“一小一大”像是相反，没检查并集是不是 \(\Omega\)。

A。和为 \(4\)：\((1,3),(2,2),(3,1)\)，\(3\) 个，\(\dfrac3{36}=\dfrac1{12}\)。选 B 的同学把 \((1,3)\)、\((3,1)\) 当成一个，只数了 \(2\) 个；选 C 的同学以为和有 \(2\) 到 \(12\) 共 \(11\) 种、各占一份，可这 \(11\) 种和并不等可能。

A。对立事件“两颗相同”有 \((1,1)\) 到 \((6,6)\) 共 \(6\) 个，概率 \(\dfrac6{36}=\dfrac16\)，所以“不同”是 \(1-\dfrac16=\dfrac56\)。选 B 的同学算出了对立事件，忘了用 \(1\) 减。

A。给 \(5\) 个球编号，摸到每个球机会一样，\(\Omega\) 有 \(5\) 个样本点，红球占 \(3\) 个，\(P=\dfrac35\)。选 B 是把“红、白”两种颜色当成了等可能；选 C 是拿红球数比白球数。

A。和为 \(10\)：\((4,6),(5,5),(6,4)\)；和为 \(11\)：\((5,6),(6,5)\)；和为 \(12\)：\((6,6)\)。共 \(6\) 个，\(\dfrac6{36}=\dfrac16\)。选 B 的同学把 \((4,6)\)、\((6,4)\) 这样的当成一个，只数了 \(4\) 个。可以在“动手”① 点“和 ≥ 10”核对。

B。样本点是正正、正反、反正、反反，等可能；“一正一反”含正反、反正两个，\(\dfrac24=\dfrac12\)。选 A 的同学把结果合成了“两正、一正一反、两反”三类，又当成等可能——合成类别后没有重查等可能（“动手”② 取 \(n=2\) 可以看到中间那根柱子是两边的两倍）。

B。\(A=\{3,6\}\)，\(B=\{2,4,6\}\)，有公共的 \(6\)，不互斥。\(P(A\cup B)=\dfrac26+\dfrac36-\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23\)；直接数 \(A\cup B=\{2,3,4,6\}\) 也是 \(4\) 个。选 A 是直接相加，把 \(6\) 算了两次。

B。只选一位，甲、乙不会同时当选，互斥；可丙当选时两件都没发生，\(A\cup B\ne\Omega\)，不对立。\(P(A)=P(B)=\dfrac13\)，\(1-P(A)=\dfrac23\ne P(B)\)。\(A\) 的对立事件是“甲没当选”，即“乙或丙当选”。

B。一次取两个，结果按无序记：\(\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}\)，共 \(10\) 个，每一对机会一样。

和为偶数要两数同奇或同偶：两奇 \(\{1,3\},\{1,5\},\{3,5\}\)，两偶 \(\{2,4\}\)，共 \(4\) 个，\(P=\dfrac4{10}=\dfrac25\)。

选 A 的同学想的是“和不是奇就是偶，各一半”，没数；选 C 是算成了“和为奇数”的 \(\dfrac6{10}\)。这里两数是一起取的，按无序记、每对一次，就是等可能的；改成有序记 \(20\) 个，答案也一样。