培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第六章 几何图形初步
6.1 几何图形
从这一章起研究“形”。立体图形和平面图形怎样互相转化？换个方向看，看到的又是什么？
本节导读 先修：小学认识图形、观察物体 · 本节路线
要用到：小学认识的立体图形、平面图形，“观察物体”和长方体、正方体的展开图。这一章是初中几何的起点，前面的代数章节（如 5.3）这里用不上。
- 从一个纸盒剪开铺平进入：立体图形和平面图形。
- 分清立体图形、平面图形；数一数体由几个面围成。
- 点、线、面、体：一层包一层；面动成体。
- 从前面、左面、上面看小正方体组合体。
- 展开图：找相对面，判断能不能折成正方体。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
收快递后，你把一个正方体纸盒沿几条棱剪开，慢慢摊平在桌上。点下面的按钮，看纸盒怎样一步步变平：
完全铺平以后，这张纸板和原来的纸盒相比，什么变了、什么没变？
A。剪的是棱不是面：6 个正方形一个不少、形状不变。纸盒各部分不在同一个平面里，是立体图形；铺平的纸板各部分都在桌面上，是平面图形。这张纸板叫正方体的展开图。
这一节要回答：立体图形和平面图形有什么区别和联系？换个方向看、剪开铺平，立体图形会变成怎样的平面图形？
1. 先认识几个词：几何图形、立体图形、平面图形
前置知识：小学认识的长方体、圆柱、圆锥、球和三角形、长方形、圆。判断立体还是平面，只看一件事：各部分是不是都在同一个平面内。点下面三组看看：
直觉微图解 ①立体图形、平面图形，和它们的联系
几何图形（简称图形）：从实物中只看形状、大小和位置关系，舍去颜色、材料、轻重等，得到的图形。
立体图形：各部分不都在同一个平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球，还有像帐篷那样的棱柱、像金字塔那样的棱锥（本章只要认得、能举例）。平面图形：各部分都在同一个平面内，如线段、角、三角形、长方形、圆。展开图：把立体图形的表面适当剪开、铺平，得到的平面图形。
核心概念 ②点、线、面、体：一层包一层
几何体简称体。包围着体的是面，面有平的、有曲的；面和面相交成线，线有直的、有曲的；线和线相交成点。
核心概念 ③“平的面”只是平面的一部分
长方体的一个面是平的，但它有边。数学里的平面向四周无限伸展、没有边界，像一个无边无际的湖面；纸盒的一面只是从里面截下的一块。
2. 核心点：体由面围成，面交成线，线交成点
也可以让它们“动起来”：雨点落下划出线（点动成线），雨刷扫出面（线动成面），平面图形绕一条直线转一周扫出体（面动成体）。这是描述，不是定义。
直觉微图解 ②面动成体：看哪条边贴着轴转
用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时再展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一座玻璃金字塔模型是下图的形状（四棱锥：底面是四边形，四个侧面是三角形）。它有几个面、几条棱、几个顶点？
① 读懂题意：要数三样东西。图里虚线画的是被挡住、看不见的棱，算不算？
提示 1：按“面 → 线 → 点”的顺序数
先数围成它的面；再数面和面相交成的棱；最后数棱和棱相交成的顶点。看不见的也是它的一部分，要算。
看完整示范
④ 回头看：有序地数（先底后侧），再换一种方法核对，是数立体图形的通用办法。
自己试试：一个圆锥由几个面围成？面和面相交成的线是直的还是曲的？
C。底面是平的圆，侧面是曲的面，共 2 个面；它们相交成底面边上那一圈，是曲线。圆锥尖上的那个点是顶点。选 D 是把圆柱的情况搬过来了。
图形也可以看成由点组成。屏幕上的像素有大小；数学中的点只表示位置，没有大小，两者不能等同。
3. 核心点：从不同方向看
站到物体的前面、左面、上面去看，各看到一个平面图形。用同样的小正方体搭成的组合体，每个方向看到的都是若干正方形，规则只有一条：同一条视线上前后（或上下）重叠的，只算一格。
从上面看：物体的前面在图的下边。想不清时，就在脑子里“走过去”再看。
直觉微图解 ③同一个组合体，三个方向看到三个图
组合体：前排从左到右放 3 块；最左那块上面摞 1 块；最左那块的正后方再放 1 块（共 5 块）。
例 2（示范）
用 4 块同样的小正方体搭一个组合体：前排从左到右放 2 块，右边那块上面摞 1 块，左边那块的正后方再放 1 块。从左面看，看到的图形是什么样的？
提示 1：先站到左边去
人站在物体左侧往右看，物体的“后面”在你左手边，“前面”在你右手边。再看每一排最高有几层。
看完整示范
④ 回头看：从左面看和从右面看，图是左右翻过来的。答成“左 2 右 1”，就是把左面看成了右面。
自己试试：还是例 2 那个组合体（4 块）。从上面看，能看到几个正方形？
B。从上往下看，摞着的那块和它下面那块重叠，只算一格：前排 2 格 + 后排左边 1 格 = 3 格。选 A 是把 4 块全数了。
4. 核心点：展开图
正方体展开图找相对面：同一行（或同一列）里隔着一个正方形的两个面相对；挨着的两个面一定不相对。
直觉微图解 ④折起来以后，谁和谁相对？（同色的两个面相对）
例 3（示范）
一个正方体的展开图：中间一行从左到右是“春、夏、秋、冬”4 个面，“晴”接在“夏”的上方，“雨”接在“冬”的下方。折成正方体后，“夏”的对面是哪个字？“晴”的对面呢？
提示 1：先画出来
按文字画出 6 个格子，再用“同一行里隔一个”去找。
看完整示范
④ 回头看：答案：“夏”对“冬”，“晴”对“雨”。拿不准就到“动手”① 里真的折一折。
直觉微图解 ⑤有曲面的几何体，展开成什么？
自己试试：把一顶圆锥形的生日帽（没有底）沿一条从尖到帽檐的线剪开铺平，得到什么图形？
C。帽子就是圆锥的侧面，剪开铺平，边缘是一段弧，是扇形。从侧面看圆锥像三角形，但展开不是三角形；B 是圆柱侧面展开的样子。
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 把展开图折成正方体
先选一张展开图，再拖动下面的滑块（或点一下滑块用方向键）慢慢折起来。点图上的一个面，看它折好后的对面是谁。
② 搭小正方体，看三个方向
左边格子是地面（下边是前面），点一格加一块（最多 3 层，再点清空）；也可以点一下格子区，方向键移动选框、空格加一块、退格减一块。右边画出组合体和三个方向看到的图。
③ 进阶：自己拼一张展开图
点格子放上或拿掉正方形（或点一下格子区，方向键移动、空格切换）。凑够 6 个，看能不能折成正方体；不能的话，读数说明原因。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下面各组图形中，全部是立体图形的一组是哪一组？
B。长方体、圆锥、球的各部分不都在同一个平面内。圆、三角形、线段、角的各部分都在同一个平面内，是平面图形。
2. 一个正方体的展开图：中间一行从左到右是“勤、思、好、问”，“乐”接在“思”的上方，“学”接在“问”的下方（如图）。折成正方体后，与“思”相对的是哪个字？
D。中间一行“思”和“问”之间隔着“好”，相对。“勤”和“好”相对，“乐”和“学”相对。A、C 都和“思”挨着，B 接在“思”上方，也挨着，都不相对。
易错
3. 下面四张图都由 6 个正方形组成，哪一张不能折成正方体？
提示
找“田”字，找一行超过 4 个的。没把握就到“动手”③ 照着拼。
C。C 的第一行有 5 个正方形，一圈侧面只能用 4 个，第 5 个会和第 1 个叠在一起。A 是一四一型，B 是三三型，D 是二二二（阶梯）型，都能折成。
4. 用 4 块小正方体搭成：前排从左到右放 2 块，左边那块上面摞 1 块；后排只放 1 块，在前排右边那块的正后方。从左面看，看到的图形是哪一个？
提示
站到物体左边：后排在你左手边，前排在你右手边。每一排看最高几层。
A。后排 1 层在左，前排最高 2 层在右。B 是从右面看到的图（翻车现场 ②）；D 是把挡住的块也数上了。
5. 下面说法正确的是哪一个？
B。A：长方体的面有边，只是平面的一部分。C：圆柱还有一个曲的侧面，共 3 个面。D：圆柱的底面和侧面相交成曲线（圆）。
挑战
6. 用 6 块小正方体搭成：前排从左到右放 3 块；后排在左边、中间各放 1 块（分别在前排左边、中间那块的正后方）；后排左边那块上面再摞 1 块。从前面、左面、上面看，分别能看到几个正方形？
提示 1：一个方向一个方向想
从前面看分 3 列，每列看最高几层；从左面看分后、前 2 列；从上面看数地面上占了几格。
提示 2：每列最高几层
最左一列：前排 1 层、后排 2 层，从前面看取 2 层。从左面看：后排最高 2 层、前排 1 层。
A。前面看：最左一列 2 层（后排摞高的那块露出上层）、中、右各 1 层，共 4 个。左面看：后排 2 层在左、前排 1 层在右，共 3 个。上面看：前排 3 格 + 后排 2 格 = 5 个。D 是把 6 块全数了。可到“动手”② 搭出来核对。
本节中考真题
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本节精选
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各地中考常考展开图找相对面、面动成体。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 一上第3单元 · 认识立体图形小学对长方体、正方体、圆柱、球的实物感知与三视图观察，是初中从立体图形抽象出点、线、面、体几何要素及展开图的起点。
- 小学 · 五下第3单元 · 长方体和正方体小学研究长方体顶点、棱、面的数量与表面展开图，为初中立体图形表面展开折叠与截面分析提供了现成模型。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 基本立体图形初中对棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的初步认识与展开图分析，在高中深化为多面体与旋转体的严格结构定义及台体生成关系。