必修第一册 · 第 4 章指数函数与对数函数

4.5 函数的应用（二）

方程解不出来，就去找函数图象和 $x$ 轴的交点：先用零点存在定理圈出一段区间，再用二分法把它一半一半地缩小，直到够精确。最后比一比指数、幂、对数三类函数谁长得快，给实际问题挑模型。

冬天的一个早上，$6$ 点气温是 $-2\,{}^\circ\mathrm C$，到中午 $12$ 点升到了 $5\,{}^\circ\mathrm C$。气温是一点一点连续变化的，不会突然跳一下。先作答，再用揭晓后的按钮切换三种不同的天气走势。

从 $6$ 点到 $12$ 点之间，有没有某个时刻气温正好是 $0\,{}^\circ\mathrm C$？

1. 先认识几个词：零点存在定理、二分法与三大增长模型

要用到：二次函数与一元二次方程（回看 2.3）；函数的单调性（回看 3.2）；指数函数与对数函数图象（回看 4.2、4.4）。先看下面这幅微图解：

直觉微图解 ①零点存在定理、二分法逼近与三大模型对比

存在性 vs 唯一性定理只保“至少一个”，严格单调可助证唯一

$f(a)f(b)<0$ 且连续只保证至少有一个零点（还可能有多个零点）；若要锁定“有且仅有一个零点”，可再证明函数在区间上严格单调（这是充分条件）！

概念红线零点是“数”不是“点”

零点是让方程 $f(x)=0$ 成立的实数根 $x$（如 $x=3$），对应图象与 $x$ 轴交点的横坐标；决不能把零点写成平面坐标点 $(3,0)$！

2. 核心数学性质与二分收敛法则

零点存在定理（存在性保证）：
连续穿轴必留痕。
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续不断，且 $\color{#2F7A56}{f(a)\cdot f(b) < 0}$，
则存在 $\color{#2F7A56}{x_0 \in (a,b)}$，使 $\color{#2F7A56}{f(x_0)=0}$。

根的唯一性锁定公式：
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 严格单调，
则至多一个零点。
存在性 + 单调性 ⇒ 唯一零点。

二分法 $n$ 步收敛判定：
区间长度 $\color{#3E5C76}{\frac{b-a}{2^n} < \varepsilon}$。

例 1（零点即方程的实数解）

(1) 求 $f(x)=x^2-2x-3$ 的零点。
解 $x^2-2x-3=0 \implies (x-3)(x+1)=0$，得 $x=3$ 或 $x=-1$。零点是 $-1$ 和 $3$（是实数，不是坐标点！）。

(2) 方程 $\log_2 x=3-x$ 有几个实根？
看 $y=\log_2 x$ 与 $y=3-x$ 的交点。前者增、后者减，最多相交一次；代入 $x=2$ 得 $\log_2 2 = 1 = 3-2$，恰有唯一解 $x=2$。

自己试试：$f(x)=2^x-8$ 的零点是？

A。$2^x=8=2^3 \implies x=3$。选 B 的同学写成了坐标点，零点是自变量的值（数）；选 C 的同学把 $8\div2$ 当成了指数方程的解。

端点异号是这里使用二分法的前提。例如 $f(x)=(x-1)^2$ 在零点两侧都为正，不能选出满足异号条件的初始区间，不能据此说它没有零点。

若只按区间长度 $(b-a)/2^n<\varepsilon$ 判断达标，可事先解 $2^n>(b-a)/\varepsilon$。初始长度为 $1$、要求小于 $0.001$ 时，$2^9=512<1000<1024=2^{10}$，长度达标最少需 $10$ 次减半；若中点恰为零点，可以提前停止。

3. 三步破题思维链：证明区间唯一零点与二分法逼近

例 2（示范：区间唯一零点证明与二分逼近三步法）

证明函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内有且仅有一个零点，并用二分法进行第 1 次逼近缩小区间。

👀 看到什么 → 想什么：

问区间内“至少一个零点” → 先查函数连续，再比较区间两端函数值是否异号。
问“唯一零点”或要逼近 → 再证严格单调，用二分法逐次缩小区间。

第二步：证明严格单调递增，说明零点至多一个： $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，$y=2x-6$ 在 $\mathbb{R}$ 单调递增；
“增函数 + 增函数 = 严格增函数”，故 $f(x)$ 在 $(2,3)$ 上严格单调递增，图象最多穿过 $x$ 轴 1 次！与第一步合璧，有且仅有一个零点！

🛡️ 第三步二分取中留异号逼近防同号漏根：取区间 $(2,3)$ 的中点 $c_1 = 2.5$；
估算 $f(2.5) = \ln 2.5 + 5 - 6 = \ln 2.5 - 1 \approx 0.916 - 1 < 0$；
因为 $f(2.5) < 0$ 与 $f(3) > 0$ 异号，零点锁定在缩小后的一半区间 $(2.5, 3)$ 内，区间长度由 $1$ 缩半至 $0.5$！

自己试试：$f(x)=2^x-3$ 的零点在哪个区间里？

B。$f(1)=2-3=-1<0$，$f(2)=4-3=1>0$，端点异号。选 C 的同学看到 $3$ 就凭直觉选 $(2,3)$，代入可知 $f(2)=1$ 与 $f(3)=5$ 均为正数。（真实零点为 $x=\log_2 3 \approx 1.58$）。

例 3（二分法迭代精度计算）

用二分法求 $f(x)=x^2-2$ 在 $[1,2]$ 内的零点，精度要求 $\varepsilon = 0.2$。

$f(1)=-1<0$，$f(2)=2>0$。
第 1 次：$c=1.5$，$f(1.5)=0.25>0$，与 $f(1)$ 异号，保留 $[1, 1.5]$，区间长度 $0.5\ge0.2$；
第 2 次：$c=1.25$，$f(1.25)=-0.4375<0$，与 $f(1.5)$ 异号，保留 $[1.25, 1.5]$，区间长度 $0.25\ge0.2$；
第 3 次：$c=1.375$，$f(1.375)\approx-0.11<0$，保留 $[1.375, 1.5]$，区间长度 $0.125<0.2$，达到精度停止！近似值可取 $1.4$（真实零点 $\sqrt{2}\approx1.414$ 在其内）。

自己试试：从长度为 $1$ 的区间开始二分，要求精度小于 $0.1$，最少要二分几次？

B。区间长度迭代：$1 \to 0.5 \to 0.25 \to 0.125 \to 0.0625$。第 $3$ 次长度为 $0.125 > 0.1$ 仍不够；第 $4$ 次 $0.0625 < 0.1$ 才达标！

例 4（三大增长模型选用）

某 App 前 4 个月的用户数分别为 $1000, 2000, 4000, 8000$。应选用什么模型？第 6 个月预估约为多少？

相邻两月成固定公比 $2$，选用指数模型 $y=1000\times 2^{x-1}$。第 6 个月 $y=1000\times 2^5 = 32000$。指数爆炸威力巨大，但在现实中总受承载量制约，仅适用于初期高速扩张阶段。

自己试试：“当 $x>0$ 时，总有 $2^x>x^2$。”这句话对吗？

B。当 $x=3$ 时 $2^3=8 < 3^2=9$！实际上在 $(2, 4)$ 区间内是二次抛物线压制指数曲线；只有当 $x>4$（充分大）后，指数函数才彻底甩开幂函数。“指数增长最快”是对终极趋势的定性描述！

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

翻车现场 ①忽视“连续”前提，对断点函数乱套定理

❌ 典型错解：$f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 上，$f(-1)=-1<0$，$f(1)=1>0$，乘积小于 0，故在 $(-1,1)$ 内必有零点。

注意连续性：$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，不能直接用零点存在定理。两端异号是因为跨越了渐近线，本题在定义域内没有零点。

翻车现场 ②端点同号就轻率断定“区间内没有零点”

❌ 典型错解：若 $f(a)f(b)>0$，则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内必定没有零点。

✅ 一眼看清真相：零点存在定理是充分不必要条件！比如抛物线 $f(x)=x^2-1$ 在 $[-2,2]$ 上端点 $f(-2)=f(2)=3>0$，中间却穿过两次产生两个零点 $x=\pm1$！同号完全可以穿入再穿出！

翻车现场 ③二分法误将“函数值很小”当成“达到精度”

❌ 典型错解：算到某中点 $|f(c)| = 0.001$ 就以为达到了精度 $0.01$，提前停止二分。

✅ 一眼看清真相：精度判定指标是区间长度 $\dfrac{b-a}{2^n} < \varepsilon$，而不是函数值高度！曲线很平缓时，$|f(c)|$ 很小但 $c$ 距离真正零点仍可能极其遥远！

再深一点（可以先跳过）

底数只比 $1$ 大一点的 $1.01^x$，最终也能超过 $x^{100}$ 吗？这里的“最终”需要限定 $x$ 朝哪个方向变化？

展开思路与核对

可以，指 $x\to+\infty$ 时。对 $x>0$ 比较自然对数：$\ln(1.01^x)-\ln(x^{100})=x\ln1.01-100\ln x$。由于 $\ln x/x\to0$，这个差最终为正并趋向正无穷。因此比值也趋向正无穷；这不表示在每个正数处前者都更大。

① 二分法：一步一步缩区间

选一个函数和精度，点“下一步”取中点、留异号的一半。上面是函数图象（金色带是当前区间），下面一条是把当前区间放大来看。选中图后，右方向键 = 下一步，左方向键 = 上一步。第三个函数 $x^2-4$ 第一步的中点就是零点，看看会怎样。

精度 $\varepsilon$：

② $2^x$、$x^2$、$\log_2x$ 谁长得快

在图上拖动（或选中后用左右方向键）移动竖线，看三个函数值的大小。把竖线拖到 $2$ 和 $4$ 之间，再把横轴换成 $10$、$20$，看看把 $x$ 放大以后谁甩开了谁。

横轴到：

$y=2^x$$y=x^2$$y=\log_2x$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. $f(x)=3^x+x-5$ 的零点所在的区间是？

B。$f(0)=1-5=-4$，$f(1)=3+1-5=-1$，$f(2)=9+2-5=6$。$f(1)<0<f(2)$，异号，零点在 $(1,2)$；$f(x)$ 是增函数，零点只有这一个。选 A 的同学把 $3^0$ 算成了 $0$。

2. 用二分法求 $f(x)=x^2-3$ 在 $(1,2)$ 内的零点。第一步取中点 $1.5$，算得 $f(1.5)=-0.75$。下一步的区间是？

B。$f(1)=-2<0$，$f(2)=1>0$，$f(1.5)<0$。和 $f(1.5)$ 异号的是 $f(2)$，留 $(1.5,2)$。选 A 的同学留了同号的那一半，那一半两端都是负的，零点不在那里（零点是 $\sqrt3\approx1.73$）。

易错

3. 函数 $f(x)=4x^2-8x+3$，$f(0)=3$，$f(2)=3$，两端都是正的。小明说：“端点同号，所以 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内没有零点。”你怎么看？

C。$4x^2-8x+3=(2x-1)(2x-3)$，零点是 $\dfrac12$ 和 $\dfrac32$，都在 $(0,2)$ 里。中间 $f(1)=-1<0$：图象先下去穿过 $x$ 轴，又上来再穿一次，两端当然又都是正的。

对应边界：端点同号推不出没有零点，定理的条件充分但不必要。

4. $f(x)=2^x+x-4$ 的图象连续不断，$f(1)=-1$，$f(2)=2$。由此能直接得出“$f(x)$ 在 $(1,2)$ 内恰有一个零点”吗？

B。定理只保证至少一个零点，所以 C 错，A 多说了。要说唯一，再补一句：$y=2^x$ 和 $y=x-4$ 都是增函数，相加还是增函数，图象最多穿过 $x$ 轴一次。两句合起来，才是“恰有一个”。

对应边界：存在性定理不能直接推出唯一，唯一要靠单调性。

本视频为独立例题：设 $f(x)=\ln x+x-3$，其零点位于 $(k,k+1)$（$k\in\mathbb Z$）。求 $k$，并证明这个函数在定义域内只有一个零点。题目数据以本式为准。

5. 用二分法求某个零点的近似值，要求精度 $0.01$。做到某一步，当前区间是 $[1.25,1.375]$，中点 $c=1.3125$ 处 $|f(c)|=0.0003$。现在能停下，把 $1.3125$ 当作满足精度的近似值吗？

B。精度管的是横坐标离零点多远，这只能由区间长度保证。现在长度 $0.125$，零点可能在区间里任何位置，$1.3125$ 离它最多可能差 $0.0625$。函数值小只说明图象在那里贴着 $x$ 轴，图象很平的话，离零点照样可以很远。

要做到长度 $<0.01$，还得再二分 $4$ 次：$0.125\to0.0625\to0.03125\to0.015625\to0.0078125$。

对应边界：按区间长度小于 $\varepsilon$ 控制误差，不能把函数值小当成误差小。

挑战

6. 方程 $2^x=x^2$ 一共有几个实数解？

C。$x=2$、$x=4$ 是两个，容易看到。常见错是只答 $2$，漏了负数那一个。

看 $g(x)=2^x-x^2$ 在 $x<0$ 这一段：$g(-1)=\dfrac12-1<0$，$g(0)=1>0$，由零点存在定理，$(-1,0)$ 内有零点。在 $(-\infty,0)$ 上 $2^x$ 增、$x^2$ 减，$g(x)$ 是增函数，这一段只有这一个。

$x>0$ 时，图象可以帮助猜测只有 $2$、$4$ 两个根，但要排除其他实数根，不能只看有限的图，也不能只比较 $x$ 每加 $1$ 后的值。下面补充用到后续导数知识的论证：

两边取自然对数，原方程等价于 $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln2}{2}$。因为 $h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，所以 $h$ 在 $(0,e]$ 上严格递增，在 $[e,+\infty)$ 上严格递减；每一段与同一条水平线至多相交一次。又 $2<e<4$，且 $h(2)=h(4)=\dfrac{\ln2}{2}$，因此这两段各有且只有一个根，正根恰为 $2$、$4$。$x=0$ 不是根，加上负半轴的一个根，合起来共 $3$ 个。

本视频为独立例题：用二分法求 $x^2-x-1=0$ 在 $[1,2]$ 内的近似解。本题采用“保留区间长度小于 $0.1$”的充分停法；若中点恰为根，则立即结束。

本节高考真题

共 15 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

开始做本节真题

本节精选

正在加载精选题…

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 26.3 二次函数与一元二次方程初中利用二次函数在两个端点函数值异号判断抛物线穿过 $x$ 轴，直接演进为高中一般连续函数的零点存在定理与二分法。

打开初中数学课程目录

不确定前面哪里没跟上？做一次摸底 →