培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
“至少”“不超过”“比……多”：生活里很多关系不是正好相等。用不等号把它写下来，满足它的往往不是一个数，而是一大片数；再像等式那样变形，只有乘、除负数这一步要掉头。
本节导读 先修：5.1 方程 · 1.2 数轴 · 本节路线
要用到：等式的性质（回看 5.1）；数轴和有理数的大小比较（回看 1.2）；实数和数轴上的点一一对应（回看 8.3）。
- 从游乐园的身高线进入：“不低于”包不包括正好相等？
- 认识不等号、\(\ge\) 和 \(\le\)；分清不等式的“解”和“解集”。
- 把解集画在数轴上：先定端点，再定实心空心，最后定方向。
- 类比等式的性质，探索不等式的三条性质：乘、除负数要改变方向。
- 用性质解简单的不等式、求式子的取值范围。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易忘了掉头”。
游乐园的过山车门口写着：“身高不低于 120 cm 方可乘坐”。点下面几位小朋友，看他们站到身高线旁边：
设身高为 \(h\) cm。能乘坐的 \(h\) 满足哪一个式子？
B。“不低于 120”是“高于 120，或者正好等于 120”，正好 120 cm 也能坐，所以写成 \(h \ge 120\)（读作“\(h\) 大于或等于 120”）。选 A 漏掉了正好 120 cm 的小朋友；选 D 只剩下一个身高。
能坐的身高不是一个数：120、125.5、134、150……都行。这一节要回答：怎样用式子写出这种关系？满足它的“一大片数”怎样写、怎样画？这种式子能不能像等式一样变形？
1. 先认识几个词：不等式、解、解集
前置知识：等式的性质（回看 5.1）；数轴、有理数比大小（回看 1.2）。用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号有 \(>\)、\(<\)、\(\ne\)，还有 \(\ge\)、\(\le\)。先拿 \(x+3>5\) 试几个数：
直觉微图解 ①一个解是一个点，解集是所有的解合在一起
- \(\ge\) 和 \(\le\)：\(a \ge b\) 表示“\(a>b\) 或 \(a=b\)”，读“大于或等于”，也说“不小于”；\(a \le b\) 读“小于或等于”，也说“不大于”。所以 \(4 \ge 4\) 是对的。
- 不等式可以不含字母（如 \(-1<0.5\)），也可以含字母（如 \(x+3>5\)）。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的一个值。解集：一个含未知数的不等式的所有解组成的整体。求解集的过程叫解不等式。
核心概念 ②解和解集：一名队员和整支球队
\(x+3>5\) 的解有 \(2.1\)、\(4\)、\(100\)……数不完，全体合起来是解集 \(x>2\)。解集要不多也不少：写成 \(x>3\) 漏了 \(2.5\)；写成 \(x \ge 2\) 多出了不是解的 \(2\)。
核心概念 ③\(>\) 和 \(\ge\) 只差一个端点
\(x>2\) 不含 \(2\)，\(x \ge 2\) 含 \(2\)。拿不准时把端点代回原不等式：成立就含，不成立就不含。在数轴上，含端点画实心圆点，不含画空心圆圈。
2. 核心点：列不等式，把解集画在数轴上
列不等式先找表示大小关系的词，再翻译成符号。拿不准时问一句：正好相等行不行？
- 大于、超过、多于 → \(>\)；小于、不足、少于 → \(<\)。
- 不低于、不少于、至少 → \(\ge\)；不超过、不高于、至多 → \(\le\)。
- “是正数”→ \(>0\)；“是负数”→ \(<0\)；“是非负数”（正数或 \(0\)）→ \(\ge 0\)。
直觉微图解 ②同一个端点，四种画法
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
(1) 用不等式表示：“\(a\) 的 \(2\) 倍与 \(3\) 的差是负数”；(2) 把“\(x\) 不大于 \(-1.5\)”写成不等式，并在数轴上表示。
① 读懂题意：(1) 先算什么、后算什么？“是负数”是哪个不等号？(2)“不大于”带不带等号？
提示 1：先把关键词圈出来
(1) “\(2\) 倍与 \(3\) 的差”是先乘后减；“负数”就是小于 \(0\)。(2) “不大于”就是“小于或等于”。
看完整示范
④ 回头看：“不大于”不是“小于”：多了“等于”这一层，端点要实心。
自己试试：“\(y\) 的一半与 \(5\) 的和至少是 \(8\)”，用不等式表示是哪一个？
C。“至少是 8”：等于 8 也行，用 \(\ge\)。A 漏了“等于”；B 写成了“和的一半”；D 方向反了，那是“至多”。
3. 核心点：不等式的性质
先记两个基本事实：交换不等式的两边，不等号方向改变（\(7>x\) 就是 \(x<7\)）；大小关系可以传递（\(a>b\)，\(b>c\)，则 \(a>c\)）。再类比等式的性质，拿 \(3>1\) 两边同时做同一种运算，看大小关系变不变：
直觉微图解 ③加减、乘正数：左右顺序不变；乘负数：左右对调
\(\color{#2F7A56}{\underbrace{a\pm c>b\pm c}_{\text{性质 1：加减同一个数或式子，方向不变}}}\)
\(\color{#966524}{\underbrace{ac>bc,\ \tfrac{a}{c}>\tfrac{b}{c}\ \ (c>0)}_{\text{性质 2：乘除同一个正数，方向不变}}}\)
\(\color{#B5452F}{\underbrace{ac<bc,\ \tfrac{a}{c}<\tfrac{b}{c}\ \ (c<0)}_{\text{性质 3：乘除同一个负数，方向改变}}}\)
（以 \(a>b\) 为例；对 \(\ge\)、\(\le\) 也一样，性质 3 把 \(\ge\) 变成 \(\le\)。）和等式比：等式两边乘除同一个不为 \(0\) 的数，不用管正负；不等式必须先看正负。
例 2（示范：每一步写出依据）
利用不等式的性质解不等式，并说出依据：(1) \(x-4>-6\)；(2) \(-2x \ge 5\)。
① 读懂题意：目标是变成“\(x\) 在左边、一个数在右边”的样子，也就是解集。每道题多出来的是什么？
提示 1：先看要去掉什么
(1) 多了“\(-4\)”，用加减；(2) 多了系数 \(-2\)，要两边除以一个负数：这一步要停下来想方向。
看完整示范
④ 回头看：两道题都是“把 \(x\) 单独留下”。和解方程一样，只是第 (2) 题除以负数，不等号掉了头。
自己试试：已知 \(a<b\)，那么 \(3-4a\) ◯ \(3-4b\)，◯ 里应填什么？
提示
分两步：先两边乘 \(-4\)，再两边加 \(3\)。哪一步要掉头？
A。两边乘 \(-4\)（性质 3，方向改变）：\(-4a>-4b\)；两边加 \(3\)（性质 1，方向不变）：\(3-4a>3-4b\)。代 \(a=1,b=2\) 验一下：\(-1>-5\) ✓。选 B 是乘 \(-4\) 时忘了掉头。
再试一个：不等式 \(-\tfrac{x}{3}<2\) 的解集是哪一个？
D。两边乘 \(-3\)（性质 3，方向改变）：\(x>-6\)。代 \(x=0\) 检验：\(0<2\) 成立，\(0\) 在 \(x>-6\) 里 ✓。A 是没掉头。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：不知m也能比较吗？
不求 \(m\) 的值，能比较 \(m+5\) 和 \(m-2\) 吗？试着说明对所有有理数 \(m\) 都成立的理由。
想好后看解释
求差法（阅读）：比较 \(a\) 和 \(b\)，看差 \(a-b\)：差是正数，\(a>b\)；差是 \(0\)，\(a=b\)；差是负数，\(a<b\)。例如 \(m+5\) 和 \(m-2\)：差是 \(7\)，所以不管 \(m\) 是几，总有 \(m+5>m-2\)。
① 画解集：拖端点，换不等号，再试一个数
点按钮换不等号；拖数轴上的金色圆点改端点 \(m\)；拖上面一行的圆点 \(t\)（或点一下再用方向键）试一个数是不是解。红色的线是解集。
② 两边做同一种运算：方向什么时候掉头？
拖上面数轴的 \(a\)、\(b\)，点按钮选运算。下面数轴是运算以后的两个数。把乘数从正换成负，看两个点怎样对调。
③ 进阶：由 \(x\) 的范围，推出 \(kx+3\) 的范围
上面数轴是已知条件 \(x \le p\)，拖金色圆点改 \(p\)；点按钮换 \(k\)。下面数轴是 \(kx+3\) 的取值范围：先乘 \(k\)，再加 \(3\)。
④ 自己造一幅解集图
这次由你决定数轴的原点、单位长度和解集画法。正方向已约定向右，刻度等距。先选落笔对象，再点图上的刻度；也可选刻度编号后按“落笔”。单位点表示数 1，须在你选的原点右侧。
射线表示沿这个方向延伸的所有数，也包括刻度之间的数，不只是几个圆点。代入一个点只能检验它是不是一个解；即使试过几个点，也不能据此证明已经找全解集。
⑤ 同一段路，自己从两种量列式
一辆车要匀速行驶 96 km，要求所用时间不超过 3 h（没有中途停车）。设速度为 v km/h。速度必须为正，规定的 3 h 也为正。请先写速度的取值前提，再分别比较“3 h 能行驶的路程与 96 km”和“走完 96 km 所需时间与 3 h”。只列不等式，不求速度范围。
未知数用 v，数填普通整数或有限小数。路程式的一边写“数字*v”“数字v”或“v*数字”，另一边写数字；时间式的一边写“数字/v”，另一边写数字。两边可以交换。不等号可用 <、>、<=、>=、≤、≥。可以在数和符号之间留空格，不要拆开数字。每个数最多48个字符，每式最多180个字符。不要填单位、上标、待计算的算式或已解出的速度范围；其他写法请按下方准则自己核对。
比较准则：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度；两边单位必须相同；“不超过”是否含恰好用完 3 h？正速度保证除数不为 0。两式描述同一要求，但从不同的量出发；含字母分母的式子本节只列，不继续解。
⑥ 注水：代数范围还要回到实际意义
一个容量为 18 L 的空容器，以恒定 2.5 L/min 的速度注水，不排水，到装满即停止。设从开始到停止的已注水时间为 t min，已注入水的体积为 V L，因此 V＝2.5t。这里时间和水量都可连续变化，不要求整数。
先写“不溢出”这一条条件经性质变形得到的 t 的代数范围，再写 V 和 t 的完整实际范围。后两项要把非负和上界同时连写，不能只写上界。
输入约定：字母区分大小写，使用 t、V。用一个或两个同向不等号连写，端点用普通整数、有限小数或整数/正整数分数（分数内部不留空格）。只忽略两端空白及不等号旁空白，不把拆开的数字拼在一起。每个数最多 48 字符，每式最多 180 字符。按题意写精确值，不四舍五入。
写完对照上面的准则自己检查，也可以向同伴说明。文字解释要自己核对，不计入掌握记录；实物注水和同伴讨论请另行完成。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. “\(m\) 与 \(4\) 的差是非负数”，用不等式表示是哪一个？
B。非负数 = 正数或 \(0\)，所以 \(\ge 0\)。A 漏了 \(0\)；D 把“\(m\) 与 \(4\) 的差”的先后写反了。
2. 已知 \(x>y\)，下面一定成立的是哪一个？
C。两边除以正数 \(4\)，方向不变（性质 2）。A、D 加减同一个数，方向不该变；B 乘 \(-3\) 方向该变，应是 \(-3x<-3y\)。
易错
3. 由 \(a>b\) 得到 \(am<bm\)，\(m\) 应满足什么条件？
提示
方向改变了，说明两边乘的是哪一类数？\(0\) 行不行？
B。方向改变，只能是乘了负数（性质 3）。C 多了 \(m=0\)：那时 \(am=bm=0\)，不是“小于”。
4. 关于不等式 \(x+2<5\)，下面说法正确的是哪一个？
提示
先求解集；再分清“一个解”和“解集”；端点 \(3\) 代回去试一试。
C。\(-10+2=-8<5\)，成立。解集是 \(x<3\)：A 把端点当成了解集；B 多了端点（\(3+2<5\) 不成立）；D 漏了 \(-10\)、\(2.5\) 这样的解。
5. 下面数轴表示的解集是哪一个？
A。端点 \(2\) 是空心，不含 \(2\)；线向左，是“小于”。B 把空心当成了实心；C、D 方向看反了。
挑战
6. 已知 \(x\le 2\)，那么 \(5-3x\) 的取值范围是什么？
提示 1：分两步
先由 \(x\le 2\) 得到 \(-3x\) 的范围（乘负数，方向？），再两边加 \(5\)。
提示 2：检查
挑 \(x=0\)（满足 \(x\le2\)）算出 \(5-3x\)，看它在不在你的答案里。
D。两边乘 \(-3\)（性质 3，方向改变）：\(-3x\ge -6\)；两边加 \(5\)（性质 1）：\(5-3x\ge -1\)。检验：\(x=0\) 时 \(5-3x=5\ge -1\) ✓。A 是忘了掉头；B、C 是把 \(-3\times 2\) 算成了 \(6\)。
本节真题与练习
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中考常在选择题里考不等式的性质和解集的表示。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 等式性质与不等式性质初中不等式的三条基本性质（尤其两边同乘负数不等号变向），在高中通过作差比较法扩展为可加性、同向正数可乘性与倒数性质。