九年级下册· 第三十二章相似

32.2 相似三角形

形状相同、大小不一定相同的三角形叫相似三角形。这一节回答三个问题：怎样判定两个三角形相似？相似了，边、周长、面积之间有什么关系？怎样用它量出够不着的高度？

说明：新版九下 2027 春才出版，本节先按旧版教材（原九下第二十七章 27.2）编排，出版后再对表。

本节导读　先修：32.1 图形的相似、14.2 全等的判定 · 本节路线

要用到：相似图形、相似比、成比例线段（回看 32.1）；全等三角形的判定 SSS、SAS、ASA（回看 14.2）；平行线的同位角、内错角；三角形中位线（回看 21.2）。

从缩印进入：哪一张复印件和原图形状相同？
相似三角形的定义、记法和相似比：对应顶点按顺序写。
平行线分线段成比例 → “A 字型”“8 字型”。
三种判定：三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角相等；SSA 不行。
性质：对应线段、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用：同一时刻物高与影长成比例，测量够不着的高度。

一张直角三角形的图，两条直角边 8 cm、6 cm，斜边 10 cm。复印店给了三张“缩小件”，点按钮比较：

哪一张复印件和原图形状相同？

B。乙的三条边都是原图的一半，三组对应边的比相等，角也一个没变。甲只压扁了一个方向，丙每边减 2，对应边的比都不相等，形状变了。选 D 是把“变小”当成了“形状相同”。

只量边就能看出形状是否相同吗？要量几条边、几个角才够？这一节就回答这些问题。

1. 先认识几个词：相似三角形、相似比

前置提醒：“相似比”“成比例线段”在 32.1 学过；全等的判定在 14.2。

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle A'B'C'\) 相似，记作 \(\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'\)，对应顶点写在对应位置。对应边的比 \(k=\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}\) 叫相似比（\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle A'B'C'\) 的）。点按钮换 \(\triangle A'B'C'\) 的大小：

直觉微图解 ①相似比有顺序，k = 1 就是全等

核心概念 ②全等是相似的特例

全等：对应边相等；相似：对应边成比例。相似比为 1 的相似三角形就是全等三角形。

核心概念 ③先配顶点，再列比例

由相等的角找对应顶点：公共角、对顶角、直角、平行线带来的同位角和内错角。写反了顶点，比例就列错。

自己试试：\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A=\angle D\)，\(\angle B=\angle F\)，两个三角形相似。\(AB=4\)，\(DF=6\)，\(AC=5\)，求 \(DE\)。

C。A↔D，B↔F，所以 C↔E，应写 \(\triangle ABC\backsim\triangle DFE\)：\(\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{AC}{DE}\)，\(\dfrac46=\dfrac5{DE}\)，\(DE=7.5\)。A 是照字母顺序写成 \(\triangle ABC\backsim\triangle DEF\)，列出 \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}\) 得 \(4\times6\div5=4.8\)；B 是比例倒过来 \(5\times4\div6\)；D 是以为对应边“相差”一样多：\(5+(6-4)=7\)。

2. 核心点：平行线截出相似三角形（A 字型、8 字型）

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。用到三角形上：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，截出的三角形与原三角形相似。

\(DE\parallel BC\ \Rightarrow\ \triangle ADE\backsim\triangle ABC,\quad \dfrac{AD}{\color{#2F7A56}{\underbrace{AB}_{\text{整条边}}}}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\)

分母是整条边 AB，不是 DB：DB 不是 \(\triangle ADE\) 的边。

直觉微图解 ②D、E 在边上是 A 字，在延长线上是 8 字

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：A 字型）

在 \(\triangle ABC\) 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，\(DE\parallel BC\)。\(AD=4\)，\(DB=6\)，\(DE=6\)，求 \(BC\)。

① 读懂题意：有平行线，截出 \(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ABC\)；DE 和 BC 是对应边。

提示 1：DE 对应哪条边，AD 对应哪条边

\(\triangle ADE\backsim\triangle ABC\)，A↔A，D↔B，E↔C：AD 对应 AB（不是 DB），DE 对应 BC。

看完整示范

② 想办法：先求整条边 \(AB=4+6=10\)，再用 \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\)。

③ 执行：\(\dfrac4{10}=\dfrac6{BC}\)，\(BC=15\)。

执行中检查：相似比 \(k=\dfrac4{10}=0.4\)，\(15\times0.4=6\) ✓；DE 是截出来的小边，比 BC 短 ✓。若误用 \(\dfrac{AD}{DB}\)，会得到 \(6\times6\div4=9\)。

④ 回头看：A 字型的比一律“从公共顶点 A 量起”：AD 比 AB，AE 比 AC。

自己试试（8 字型）：\(AB\parallel CD\)，线段 AD 与 BC 相交于点 O。\(OA=3\)，\(OD=5\)，\(AB=6\)，求 \(CD\)。

A。\(AB\parallel CD\) 得 \(\angle A=\angle D\)（内错角），又 \(\angle AOB=\angle DOC\)（对顶角），所以 \(\triangle OAB\backsim\triangle ODC\)，\(\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac35\)，\(CD=10\)。B 是比例倒了 \(6\times3\div5\)；C 是以为两边“差”相同：\(6+(5-3)\)。

3. 核心点：三种判定（和全等的判定一一对应）

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\tfrac{AB}{A'B'}=\tfrac{BC}{B'C'}=\tfrac{CA}{C'A'}}_{\text{三边成比例}}}\quad\color{#966524}{\underbrace{\tfrac{AB}{A'B'}=\tfrac{BC}{B'C'},\ \angle B=\angle B'}_{\text{两边成比例且夹角相等}}}\quad\color{#B5452F}{\underbrace{\angle A=\angle A',\ \angle B=\angle B'}_{\text{两角分别相等}}}\)

任一组成立 ⇒ \(\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'\)。中间那条，相等的角必须是成比例的两边所夹的角。

直觉微图解 ③为什么一定要“夹角”：SSA 的反例

例 2（示范：两角相等，直角三角形斜边上的高）

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(CD\perp AB\)，垂足为 D。\(AD=4\)，\(AB=9\)，求 \(AC\)。

① 读懂题意：图里有大三角形 ABC 和小三角形 ACD，都是直角三角形，还共用一个角。

提示 1：哪两个角相等

\(\angle A\) 是公共角；\(\angle ADC=\angle ACB=90^\circ\)。两角相等 ⇒ 相似。

看完整示范

② 想办法：配顶点：A↔A，D↔C（直角），C↔B。写成 \(\triangle ACD\backsim\triangle ABC\)，于是 \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)。

③ 执行：\(AC^2=AD\cdot AB=4\times9=36\)，\(AC=6\)。

执行中检查：\(BD=9-4=5\)，在直角 \(\triangle ACD\) 中 \(CD^2=6^2-4^2=20\)；在直角 \(\triangle BCD\) 中 \(BC^2=5^2+20=45\)；\(AC^2+BC^2=36+45=81=AB^2\) ✓。

④ 回头看：\(AC^2=AD\cdot AB\) 是这道题用相似推出来的，不是要背的公式；换一个图，照样先证相似、再列比例。

自己试试：\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A=\angle D=50^\circ\)，\(AB=6\)，\(AC=4\)，\(DE=9\)，\(DF=6\)。它们相似吗？

C。\(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac69=\dfrac23\)，\(\dfrac{AC}{DF}=\dfrac46=\dfrac23\)，∠A 夹在 AB、AC 之间，∠D 夹在 DE、DF 之间，相等。A 是把相似当成了全等；B 忘了还有边的条件；D 的依据不对：只知道一个角相等，够不上“两角”。

4. 核心点：相似三角形的性质

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\frac{\text{对应高}}{\text{对应高}}=\frac{\text{对应中线}}{\text{对应中线}}=\frac{\text{对应角平分线}}{\text{对应角平分线}}=\frac{\text{周长}}{\text{周长}}=k}_{\text{都等于相似比}}}\qquad\color{#B5452F}{\underbrace{\frac{\text{面积}}{\text{面积}}=k^2}_{\text{相似比的平方}}}\)

长度（一维）按 \(k\) 变，面积（二维）按 \(k\times k\) 变。

直觉微图解 ④边长 ×k，能装下几个原三角形？

例 3（示范：周长和面积）

两个相似三角形的相似比为 \(2:3\)，较小的三角形三边长为 12、16、20（直角三角形），周长为 48，面积为 96。求较大三角形的周长和面积。

提示：周长、面积各按什么比变

周长比 = 相似比 \(2:3\)；面积比 = \(2^2:3^2=4:9\)。

看完整示范

执行：周长：\(48\times\dfrac32=72\)。面积：\(96\times\dfrac94=216\)。

检查：\(\dfrac{96}{216}=\dfrac49=\left(\dfrac23\right)^2\) ✓。若把面积也按 \(\dfrac32\) 放大，得 144，是错的。

回头看：先判断要求的是长度还是面积，再决定用 \(k\) 还是 \(k^2\)。

自己试试：两个相似三角形对应中线的比是 \(3:4\)，它们的面积比是：

D。对应中线的比等于相似比 \(3:4\)，面积比是 \(3^2:4^2=9:16\)。A 是把面积比当成相似比；B 是前后顺序写反；C 是把“平方”做成了“开平方”，方向弄反了。

对应底和对应高各按相似比k变化，面积因而按k×k变化。32.3位似中继续使用同一性质。

5. 核心点：用相似测高

同一时刻、同一地点，把太阳光看成平行光线，物体都竖直立在水平地面上，则物体、影子、光线围成的直角三角形都相似：物高 : 影长是同一个数。这是一个近似模型：太阳光并不严格平行，量影长也有误差，算出的高度是估计值。

例 4（示范：测旗杆）

同一时刻，一根长 2 m 的竖直标杆影长 1.6 m，旗杆的影长 9.6 m。估计旗杆的高。

看完整示范

想办法：光线平行 ⇒ 光线与地面的夹角相等；杆都垂直地面 ⇒ 直角相等。两角相等，两个直角三角形相似：\(\dfrac{\text{旗杆高}}{9.6}=\dfrac{2}{1.6}\)。

执行：旗杆高 \(=9.6\times\dfrac2{1.6}=12\)（m）。

检查：标杆比影子长，旗杆也应比影子长：\(12>9.6\) ✓。若比例倒了，得 \(9.6\times1.6\div2=7.68\)，比影子还短，不对。

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）面积比当成相似比

❌ 典型错解：相似比 \(1:2\)，所以面积比也是 \(1:2\)；或者面积比 \(4:9\)，就说相似比 \(4:9\)。

✅ 看图秒懂：边长 ×2 的三角形里能放下 4 个原三角形，面积比 \(1:4\)。面积比 \(4:9\) 时，相似比是 \(2:3\)。

翻车现场 ②两边成比例 + 随便一个角

❌ 典型错解：\(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}\)，\(\angle B=\angle B'\)，就说相似。

✅ 一眼看清：∠B 不在 AB、AC 之间，是 AC 的对角。微图解 ③ 里两边和对角都一样，却画出两个形状不同的三角形。

翻车现场 ③对应关系弄错

❌ 典型错解：∠A = ∠D、∠B = ∠F，却写 \(\triangle ABC\backsim\triangle DEF\)；A 字型里用 \(\dfrac{AD}{DB}\) 当相似比。

✅ 一眼看清：先由相等的角配顶点，写成 \(\triangle ABC\backsim\triangle DFE\)；A 字型的相似比是 \(\dfrac{AD}{AB}\)。

7. 再走一步：图里没有平行线，怎样认出相似

A 字、8 字都靠平行线。真题的图常常没有平行线，要自己从角里找出相似。下面两种图形最常见。

桥接例题（认图形）

(1) 等边 \(\triangle ABC\) 的边长为 \(9\)，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(BD=3\)，\(E\) 在 \(AC\) 上，\(\angle ADE=60^\circ\)，求 \(CE\)。
(2) \(\angle BAC=\angle DAE\)，\(D\) 在 \(\angle BAC\) 内，\(C\) 在 \(\angle DAE\) 内，\(AB=6\)，\(AC=9\)，\(AD=4\)，\(AE=6\)，\(BD=4\)，求 \(CE\)。

(1) 卡在哪里：没有平行线。\(CE\) 在 \(\triangle DCE\) 里，和 \(\triangle ABC\) 不成 A 字。

看到什么信号：\(\angle B,\angle ADE,\angle C\) 都是 \(60^\circ\)，顶点都在直线 \(BC\) 上。

第一步怎么做：把 \(\angle ADC\) 算两遍：外角 \(\angle ADC=60^\circ+\angle BAD\)，又 \(\angle ADC=60^\circ+\angle CDE\)，所以 \(\angle BAD=\angle CDE\)。

(2) 卡在哪里：\(BD,CE\) 不在 \(\triangle ABC\)、\(\triangle ADE\) 里，比例列不出来。

看到什么信号：两个三角形共顶点 \(A\)，\(AB:AD=AC:AE=3:2\)，像是一个绕 \(A\) 转过再缩放；\(BD,CE\) 连接转动前后的对应点。

第一步怎么做：换一对三角形看：由 \(D,C\) 的位置，\(\angle DAC\) 是 \(\angle BAC,\angle DAE\) 的公共部分，都减去它，得 \(\angle BAD=\angle CAE\)。

看完整解答

(1)：\(\angle B=\angle C\)，\(\angle BAD=\angle CDE\)，两角相等得 \(\triangle ABD\backsim\triangle DCE\)。\(DC=9-3=6\)，\(\dfrac{{AB}}{{DC}}=\dfrac{{BD}}{{CE}}\)，即 \(\dfrac96=\dfrac3{{CE}}\)，\(CE=2\)。

(2)：\(\dfrac{{AB}}{{AC}}=\dfrac{{AD}}{{AE}}=\dfrac23\)，夹角 \(\angle BAD=\angle CAE\)，所以 \(\triangle ABD\backsim\triangle ACE\)。\(\dfrac{{BD}}{{CE}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}\)，即 \(\dfrac4{{CE}}=\dfrac23\)，\(CE=6\)。

检查：(1) \(CE=2\lt9\)，\(E\) 确实在边 \(AC\) 上 ✓。(2) \(\triangle ABD\) 三边 \(6,4,4\)，\(\triangle ACE\) 三边 \(9,6,6\)，都放大 \(1.5\) 倍 ✓。

回头看：一条直线上有三个相等的角，叫一线三等角（K 型），用外角拆出第二组等角。共顶点、边成比例的两个三角形，叫旋转型，用加减公共角得到夹角。

只写一步 1：矩形 \(ABCD\) 中，\(AB=6\)，\(BC=11\)，\(E\) 在 \(BC\) 上，\(BE=3\)，\(F\) 在 \(CD\) 上，\(AE\perp EF\)。第一步应写的相似式是：

D。三个直角的顶点 \(B,E,C\) 在一条线上。\(\angle BAE,\angle CEF\) 都与 \(\angle AEB\) 互余，所以相等，A↔E，B↔C，E↔F。再由 \(\dfrac{AB}{EC}=\dfrac{BE}{CF}\) 得 \(CF=4\)。A 把 A 配给了 F；B 把直角 B 配给了 E，这里 \(\angle CEF\) 不是直角；C 是没发现这对互余角。

只写一步 2：\(\angle BAC=\angle DAE\)，\(D\) 在 \(\angle BAC\) 内，\(C\) 在 \(\angle DAE\) 内，\(AB=8\)，\(AC=6\)，\(AD=4\)，\(AE=3\)。要证 \(\triangle ABD\backsim\triangle ACE\)，已有 \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)，还要写出：

B。\(AB,AD\) 的夹角是 \(\angle BAD\)，\(AC,AE\) 的夹角是 \(\angle CAE\)，\(\angle DAC\) 是已知等角的公共部分，同减它得到。A 是相似之后才有的结论；C 是另一对三角形 \(\triangle ABC,\triangle ADE\) 的角；D 是已知条件，它们不是这两组边的夹角。

再深一点（可跳过）：对应高的比怎样证明？

设两非退化三角形相似，按ABC对A′B′C′的顺序相似比为k>0。在对应底边上作高，怎样证明对应高的比也是k？再用底×高说明面积比。

想好后看解释

设 \(\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'\)，相似比为 \(k\)，BC 边上的高为 \(h\)。对应边 \(B'C'=\dfrac{BC}k\)，对应高 \(h'=\dfrac hk\)（对应高的比也等于 \(k\)：两条高各在一个直角三角形里，这两个直角三角形有一组对应角相等，也相似）。于是

\(\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\dfrac{\frac12\,BC\cdot h}{\frac12\cdot\frac{BC}k\cdot\frac hk}=k^2.\)

① A 字型：拖动 D，看三个比

拖动 AB 上的圆点 D（或点一下再用方向键，每步 AB 的十分之一）。DE 由作图保证平行于 BC。右边是四个比：前三个始终相等，第四个 AD/DB 呢？

② 相似比 k 与面积比

原三角形是直角边 4、3（斜边 5）的直角三角形，每个小方格面积为 1。拖动左下的滑块改变相似比 \(k\)（1 到 4，每步 0.5），比较周长和面积各变成几倍。

③ 进阶：用影子量树高

假设：太阳光是平行光，标杆（高 2 m）和树都竖直立在水平地面上。拖动标杆顶端的圆点左右挪标杆；拖动标杆影子末端的圆点改变影长（相当于换一个时刻）。图中长度单位都是 m。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. \(\triangle ABC\backsim\triangle DEF\)，\(AB=6\)，\(DE=9\)，\(AC=4\)，则 \(DF\) 等于：

D。\(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}\)，\(\dfrac69=\dfrac4{DF}\)，\(DF=6\)。A 是比例倒了 \(4\times6\div9\)；B 是加上“差”\(4+(9-6)\)；C 是当成全等，以为对应边相等。

2. 两个相似三角形对应高的比为 \(2:5\)，较小的三角形周长为 14，较大的三角形周长是：

B。对应高的比 = 相似比 = 周长比，\(14\times\dfrac52=35\)。A 是错用平方 \(14\times\dfrac{25}4\)（周长是长度，不平方）；C 是比例倒了 \(14\times\dfrac25\)；D 是不知道对应高的比就是相似比。

易错

3. 两个相似三角形的面积比为 \(4:9\)，较小三角形的一条边长 6，较大三角形中与它对应的边长是：

提示

面积比是相似比的平方。哪个数的平方是 \(\dfrac49\)？

C。相似比 \(2:3\)，\(6\times\dfrac32=9\)。A 是把面积比当相似比：\(6\times\dfrac94=13.5\)（翻车现场 ①）；B 是比例倒了 \(6\times\dfrac23\)，得到的边比 6 还短。

4. 在 \(\triangle ABC\) 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，\(DE\parallel BC\)，\(AD:DB=2:3\)，\(BC=10\)，则 \(DE\) 等于：

提示

相似比是 AD 比整条边 AB。\(AD:AB=\)？

A。\(AD:AB=2:5\)，\(DE=10\times\dfrac25=4\)。B 是把 \(AD:DB=2:3\) 当相似比；C 是用了 \(DB:AB=3:5\)；D 是用 \(3:2\) 还放大了，DE 反比 BC 长。

5. 下列条件中，一定能判定 \(\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'\) 的是：

提示

每个选项里，相等的角是不是夹在成比例的两边之间？

B。∠B 夹在 AB、BC 之间，是“两边成比例且夹角相等”。A 中 ∠B 是 AC 的对角，是 SSA（翻车现场 ②）；C 只有一个角和一组边，形状定不下来；D 只有两边成比例，没有角。

挑战

6. 同一时刻，1 m 长的竖直竹竿影长 0.8 m。一棵竖直的树离墙 4 m，它的影子一部分落在水平地面上（正好 4 m 长），另一部分落在竖直的墙上，墙上影高 1.2 m。把太阳光看成平行光，树高约多少米？

提示 1：墙上那段影子怎么办

从墙上影子的最高点作一条水平线到树干，把树分成上、下两段。下段和墙上的影子一样高。

提示 2：上段

上段的“影子”就是那条 4 m 长的水平线：上段 : 4 = 1 : 0.8。

D。上段 \(=4\div0.8=5\)，树高 \(=5+1.2=6.2\)（m）。A 是漏了墙上那段；B 是把墙上的 1.2 m 也当地面影长：\((4+1.2)\div0.8\)；C 是比例倒了：\(4\times0.8+1.2\)。

本节中考真题

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