培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
角的平分线上的点，到角的两边一样远吗？“一样远”要怎么量？这一节用全等回答它，还学会用圆规直尺把一个角平分，并第一次自己证明用文字写出来的几何命题。
本节导读 先修：6.3、7.1、14.2 · 本节路线
要用到：角的平分线的定义（回看 6.3）；垂线段、点到直线的距离（回看 7.1）；SAS、SSS、AAS、HL（回看 14.2）。
- 从公园小路进入：平分线上一点到两条路的最短路。
- 平分线上的点与两边上的点：哪种连线一定相等。
- 尺规作角的平分线，依据 SSS。
- 性质：平分线上的点到角两边的距离相等；学会证明文字命题。
- 反过来：角的内部到两边距离相等的点在平分线上。
- 三角形三条角平分线交于一点；练习与中考真题。
公园里两条笔直的小路 OA、OB 交于路口 O。一座小亭 P 建在 ∠AOB 的平分线上。要从小亭各修一条最短的小道通到两条路上。点按钮换几个亭子的位置：
两条最短的小道，长短关系怎样？
B。最短的小道是垂线段（7.1：垂线段最短），它的长就是点到直线的距离。图里亭子挪到哪，两条垂线段都一样长。D 说的是：亭子越远，两条都越长，但仍然彼此相等。
这一节要证明它（看着相等不算），还要回答反过来的问题：到两边一样远的点，是不是一定在平分线上？
1. 先认识几个词：角的平分线、点到边的距离
前置知识：角的平分线（回看 6.3），点到直线的距离（回看 7.1）。
角的平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线。OC 平分 ∠AOB，就是 \(\angle AOC=\angle BOC=\tfrac12\angle AOB\)。点到角的一边的距离：过这点作这条边的垂线，点和垂足之间的垂线段的长。写法：“PD ⊥ OA，垂足为 D”，PD 的长就是点 P 到 OA 的距离。
直觉微图解 ①从平分线上的 P 往两边连线：哪种连法一定相等？
核心概念 ②距离只认垂线段
从 P 到 OA 能连出无数条线段，只有和 OA 垂直的那条最短，它的长才叫“P 到 OA 的距离”。图上要画出直角记号，写证明时要写出“⊥”。
核心概念 ③两种“相等”别混
截取 \(OM=ON\) 后 \(PM=PN\)，靠的是 SAS；随便取的 M、N，PM、PN 一般不等。这一节的性质说的是第三种：到两边的距离相等。
2. 核心点：用圆规直尺平分一个角
微图解 ① 第二档反过来想：两边上截取 \(OM=ON\)，再在角内找一点 C 使 \(CM=CN\)，那么 \(\triangle OMC\) 与 \(\triangle ONC\) 三边分别相等（OC 公共），由 SSS 全等，\(\angle MOC=\angle NOC\)，OC 就是平分线。圆规正好能“画出等长”：
直觉微图解 ②三步作出平分线；第二步的半径有讲究
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：说清作图的道理）
按微图解 ② 作出射线 OC 后，说明 OC 平分 ∠AOB。
① 读懂题意：作图时哪几条线段是相等的？它们是哪两个三角形的边？
提示 1：圆规画出了哪些等长
第一步同一个半径：\(OM=ON\)；第二步同一个半径：\(MC=NC\)。连接 MC、NC，得到 \(\triangle OMC\) 和 \(\triangle ONC\)。
看完整示范
④ 回头看：尺规作图只要求作出来、留下弧线痕迹、知道依据，不要求写作法。这和 14.2“作一个角等于已知角”一样，都是“用 SSS 复制、比较角”。
自己试试：\(MN=5\) cm。以 M、N 为圆心画等半径弧，取哪个半径能使两圆有两个交点？
C。\(\tfrac12 MN=2.5\) cm，要有两个交点，半径须大于 2.5 cm。取 2 cm 不相交；取 2.5 cm 只有 MN 中点一个切点，不满足“两个交点”，但连接 O 与该中点也能平分非平角。
3. 核心点：角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这是一个用文字写出来的命题。证明它，要先把文字翻译成图和符号。证明文字命题的三步：① 明确命题中的已知和求证；② 根据题意画出图形，用数学符号表示已知和求证；③ 分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
例 2（示范：证明一个文字命题）
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
① 读懂题意：改写成“如果……那么……”：如果一个点在角的平分线上，那么它到角两边的距离相等。哪部分是已知？“距离”在图上是什么？
提示 1：写出已知、求证
已知：OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，\(PD\perp OA\)，\(PE\perp OB\)，垂足分别为 D、E。求证：\(PD=PE\)。“距离”藏着垂直，必须写进已知、画进图里。
提示 2：用哪个判定
PD、PE 分别在 \(\triangle PDO\)、\(\triangle PEO\) 里。有两个直角、一组等角、公共边 OP。OP 对着直角。能用 SAS 吗？（OD = OE 还不知道。）
基础示范（可收起）
∵ OC 平分 ∠AOB，∴ \(\angle DOP=\angle EOP\)（角平分线的定义）．
在 \(\triangle PDO\) 和 \(\triangle PEO\) 中，\(\left\{\begin{aligned}&\angle PDO=\angle PEO,\\&\angle DOP=\angle EOP,\\&OP=OP,\end{aligned}\right.\)
∴ \(\triangle PDO\cong\triangle PEO\)（AAS）．∴ \(PD=PE\)．
④ 回头看：不能用 SAS：\(OD=OE\) 正是还不知道的。直角是现成的，所以用 AAS。以后再遇到“平分线 + 两条垂线”，直接用性质写 \(PD=PE\)，不必每次重证全等。
自己试试：\(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于 D，\(DE\perp AB\) 于 E。若 \(DE=3\)，\(BC=8\)，BD 等于多少？
B。\(\angle C=90^\circ\)，所以 \(DC\perp AC\)，DC 就是 D 到 AC 的距离；DE 是 D 到 AB 的距离。D 在 ∠BAC 的平分线上，\(DC=DE=3\)，\(BD=8-3=5\)。选 A 是把 BD 当成了距离；选 D 是没认出 DC 也是一条垂线段。
4. 核心点：反过来也成立
把性质的已知和求证交换：到角两边距离相等的点，在不在平分线上？要加一个前提：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。证法：连接 OP，在 \(\text{Rt}\triangle PDO\) 和 \(\text{Rt}\triangle PEO\) 中，\(OP=OP\)，\(PD=PE\)，由 HL 全等，\(\angle DOP=\angle EOP\)。
两句合起来可以说：在角的内部，角的平分线（顶点除外）就是到角两边距离相等的所有点合在一起。为什么非得“在内部”？
直觉微图解 ③两条直线组成四个角：到两线距离相等的点不止一条线上有
例 3（示范：三条角平分线交于一点）
如图，\(\triangle ABC\) 的角平分线 AI、BI 交于点 I。求证：点 I 到三边的距离相等，并且 I 在 ∠C 的平分线上。
提示 1：先作出“距离”
过 I 作 \(IF\perp BC\)、\(IG\perp CA\)、\(IH\perp AB\)，垂足分别为 F、G、H（辅助线画虚线，写进证明）。
提示 2：性质用两次，反过来用一次
I 在 ∠A 的平分线上 → IG = IH；在 ∠B 的平分线上 → IH = IF。最后看 ∠C。
看完整示范
∵ AI 平分 ∠BAC，\(IG\perp CA\)，\(IH\perp AB\)，∴ \(IG=IH\)．
∵ BI 平分 ∠ABC，\(IH\perp AB\)，\(IF\perp BC\)，∴ \(IH=IF\)．
∴ \(IF=IG=IH\)，即点 I 到三边的距离相等．
又 I 在 ∠ACB 的内部，\(IF=IG\)，∴ 点 I 在 ∠ACB 的平分线上．
回头看：第十三章只是画图看到三条角平分线交于一点，这里第一次证明了。最后一步用的是“反过来”，“在 ∠ACB 的内部”要说出来。
自己试试：点 P 在 ∠AOB 的内部，\(PD\perp OA\) 于 D，\(PE\perp OB\) 于 E，\(PD=PE=3\)。若 \(\angle AOB=76^\circ\)，∠AOP 等于多少？
A。P 在角内，到两边距离相等，所以在平分线上，\(\angle AOP=76^\circ\div2=38^\circ\)。C 是 \(90^\circ-38^\circ\)，那是 ∠OPD；D 忽略了题目已给“在角的内部”。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：例3用了哪些已证结论？
回看例3，证明三条角平分线交于一点时，分别调用了哪些已证明的结论？再往前追溯，它们怎样连成推理链？
想好后看解释
SAS、ASA、SSS是基本事实；由ASA和内角和推出AAS，再推出角平分线的性质，例3借助性质与判定得到三条角平分线交于一点。
① 平分线上的点，到两边的距离始终相等
拖平分线上的点 P（或选中后用方向键）改变位置；拖 OA 上的圆点改变角的大小。两条红色垂线段一起变。
② 进阶：反过来，距离相等的点在哪里
点 P 可以拖到任何地方（方向键每次 4 格）。读数给出 P 到直线 OA、OB 的距离。找找看：距离相等的点都在哪？靠近一条平分线时会自动吸附上去。
添线、作图与证明
测量不能代替证明。距离量到边所在的直线；虚线为反向延长线。
① 从没有垂线的图开始
② 自己选圆心、半径与交点
先作弧留 M、N，再选两次圆心与半径；最后选交点、射线起点。
③ 用字母写证明
填全等链。本表以外路线暂未核对；文字不自动判分。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，\(PD\perp OA\) 于 D，\(PE\perp OB\) 于 E。若 \(PD=2.5\) cm，则 PE 等于多少？
B。平分、两条垂线三个条件都有，直接用性质：\(PE=PD=2.5\) cm。A、C 是把“平分”误用到了线段上。
2. \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，BD 平分 ∠ABC，交 AC 于点 D。若 \(DC=3\)，\(AB=10\)，则 \(\triangle ABD\) 的面积是多少？
A。过 D 作 \(DE\perp AB\) 于 E。DC ⊥ BC，D 在 ∠ABC 的平分线上，所以 \(DE=DC=3\)。以 AB 为底，DE 是高：\(\tfrac12\times10\times3=15\)。B 忘了乘 \(\tfrac12\)；D 是没想到自己作 AB 边上的高。
易错
3. 点 P 在 ∠AOB 的平分线上，M 是 OA 上一点，N 是 OB 上一点，\(PM=5\)。能不能得出 \(PN=5\)？
提示
性质说的是哪种线段相等？M、N 是怎么取的？
B。M、N 随便取，PM、PN 是任意连线，一般不等（翻车现场 ①）。再知道 \(PM\perp OA\)、\(PN\perp OB\)，或者 \(OM=ON\)（这时用 SAS），才能得出 \(PN=5\)。
4. 点 P 在 ∠AOB 的平分线 OC 上，D、E 分别在 OA、OB 上。下面哪一种写法能得出 \(PD=PE\)？
提示
用性质要几个条件？每一个都写了吗？
B。平分、两个垂直缺一不可。A 漏了垂直（翻车现场 ②）；C 只有一组角、一组边，凑不成任何判定，也推不出相等。
5. 直线 OA、OB 相交于点 O，点 P 到直线 OA、OB 的距离相等。下面说法正确的是哪一个？
提示
两条相交直线组成几个角？P 可能落在哪些角里？
B。两条直线组成四个角，P 可能在 ∠AOB 旁边的角里，那时它在那个角的平分线上（“动手”② 可以拖出来）。所以“在 ∠AOB 的内部”不能省。C 也不对：P 在 ∠AOB 内部时就在它的平分线上。
挑战
6. 三条笔直的公路两两相交，围成一个三角形。要修一个加油站，使它到三条公路的距离都相等。可选的位置有几处？（不限于三角形内部）
提示 1：内部有几处
到三条公路距离相等，就要同时在两个角的平分线上。三角形内部：例 3 的交点。
提示 2：外部呢
三角形外角的平分线也是“到两条公路距离相等”的点。每两个外角的平分线交于一点。
C。三角形内部，三条内角平分线的交点 1 处；外部，每两个外角平分线的交点各 1 处，共 3 处。合起来 4 处。限定在三角形内部，就只有 1 处（A）；B 是漏了内部那一处。
本节中考真题
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角平分线的性质常和直角三角形、面积一起考。填空题写法不同时，看答案自己判。