培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第六章 几何图形初步
6.2 直线、射线、线段
一根拉紧的线、一束手电光、一把尺子的边，三种“直的线”差在哪里？两个点能决定什么？从一点到另一点，哪条路最近？
本节导读 先修：6.1 几何图形 · 本节路线
要用到：点和线的认识（回看 6.1）；小学认识的直线、射线、线段和用尺量长度；列简单的算式求未知数（5.1）。
- 从“过两点能画几条直线”进入。
- 直线、射线、线段：端点个数和记法。
- 两条基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短。
- 线段的比较：度量法、叠合法；线段的和、差。
- 线段的中点；没给图时把各种位置都画出来。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
在纸上点几个点，过这些点画直线。点下面的按钮，看点数不同时，能画出多少条：
经过 A、B 两个点，能画几条直线？
A。过一个点能画无数条直线，它们可以绕着这个点转；再要求经过第二个点，就只剩一条了。所以用两颗钉子就能把一根木条钉牢，只钉一颗它还会转。
这一节要回答：直线、射线、线段怎么区分、怎么记？两个点能“确定”什么？线段怎样比较长短、怎样加减？
1. 先认识几个词：直线、射线、线段
前置知识：上一节的“线”（回看 6.1）；小学认识过这三种线。区分它们只看两件事：有几个端点、往哪边无限延伸。点下面三种看看：
直觉微图解 ①数端点：0 个、1 个、2 个
直线：向两方无限延伸，没有端点，记作直线 \(l\) 或直线 \(AB\)（\(A\)、\(B\) 是直线上两点，直线 \(AB\) 也就是直线 \(BA\)）。射线：直线上一点和它一旁的部分，有 1 个端点，向一方无限延伸，记作射线 \(OA\)，端点 \(O\) 写在前面。线段：直线上两点和它们之间的部分，有 2 个端点，记作线段 \(AB\)（也就是线段 \(BA\)）或线段 \(a\)。
点 \(P\) 在直线 \(l\) 上，也说直线 \(l\) 经过点 \(P\)；否则点 \(P\) 在直线 \(l\) 外。两条不同的直线有一个公共点时，说它们相交，这个公共点叫交点。
核心概念 ②射线 OA 和射线 AO 不是同一条
射线像手电筒的光，从端点射出去。射线 \(OA\) 从 \(O\) 出发经过 \(A\)；射线 \(AO\) 从 \(A\) 出发经过 \(O\)。端点不同、方向相反。
核心概念 ③只有线段有长度
直线、射线无限延伸，不能量，也不能比长短。连接两点的线段的长度叫这两点间的距离：线段是图形，距离是一个数。
延长线段 \(AB\)指从 \(A\) 向 \(B\) 的方向延长；反方向延长叫反向延长。射线只能反向延长，直线不能延长。“连接 \(AB\)”就是画线段 \(AB\)。
2. 核心点：两条基本事实
“确定”有两层意思：有（能画出来）、只有一条（不会有第二条）。第一条管“固定、对齐”，第二条管“路程最短”。
直觉微图解 ②从 A 到 B，三条路比一比
用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时再展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
平面上有 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三个点（题目没说它们在不在同一条直线上）。经过其中每两个点画直线，一共能画几条？
① 读懂题意：“每两个点画一条”，有几对点？题目没说三点的位置，要不要分情况？
提示 1：先数有几对点
从 \(A\) 出发：\(AB\)、\(AC\)；从 \(B\) 出发：\(BC\)（\(BA\) 已经数过）。共 3 对。
看完整示范
④ 回头看：没给图、没说位置，就把可能的位置都画出来。这个习惯后面算线段时还要用。
自己试试：高速公路遇到大山时，常常打一条隧道直接穿过去，而不是绕着山修。这样做缩短了路程，用到的是哪条基本事实？
B。问的是“路程变短”：起点和终点不变，绕山的路是两点间的一条曲线，隧道接近两点间的线段，线段最短。
3. 核心点：线段的比较、和差与中点
比较两条线段：可以量（度量法），也可以叠（叠合法：把一条移过来，让一个端点重合、两条线段落在同一条直线上的同一侧，看另一个端点落在哪里）。在一条直线上首尾相接，得到两条线段的和；在长线段上截去一条短线段，剩下的是它们的差。
直觉微图解 ③叠合法：一端对齐，看另一端
点 \(M\) 在线段 \(AB\) 上，并且把它分成相等的两条线段 \(AM\) 与 \(MB\)，点 \(M\) 叫线段 \(AB\) 的中点：
反过来 \(AB=2AM=2MB\)。把线段分成三等份的点有 2 个（三等分点），分成四等份的有 3 个。
例 2（示范）
线段 \(AB=14\) cm，点 \(C\) 在线段 \(AB\) 上，\(AC=5\) cm，点 \(M\) 是线段 \(CB\) 的中点。求 \(AM\) 的长。
提示 1：先画图、标数
画一条线段 \(AB\)，在靠近 \(A\) 的地方取 \(C\)，在 \(C\)、\(B\) 正中间取 \(M\)。看到“中点”，写出它给的关系：\(CM=MB=\tfrac12 CB\)。
看完整示范
④ 回头看：\(M\) 是 \(CB\) 的中点，不是 \(AB\) 的中点，别写成 \(AM=7\)。先看清“谁的中点”。
自己试试：线段 \(AB=12\) cm，点 \(C\)、\(D\) 是它的两个三等分点（\(C\) 靠近 \(A\)），点 \(M\) 是线段 \(CD\) 的中点。\(AM\) 等于多少？
B。\(AC=CD=DB=4\)，\(CM=\tfrac12 CD=2\)，\(AM=AC+CM=4+2=6\)（cm）。正好是 \(AB\) 的一半，\(M\) 也是 \(AB\) 的中点。选 A 只算到 \(C\)；选 D 只算了 \(CM\)。
题目没给图，只说几个点“在同一条直线上”时，点的先后顺序不确定，要把每种位置都画出来：
直觉微图解 ④\(PQ=6\)，\(QR=2\)：\(R\) 可能在两边
再试一个：点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 在同一条直线上，\(AB=9\) cm，\(BC=4\) cm（没有给图）。\(AC\) 等于多少？
C。\(C\) 在 \(B\) 远离 \(A\) 的一侧：\(AC=9+4=13\)；\(C\) 在 \(A\)、\(B\) 之间：\(AC=9-4=5\)。（\(C\) 不会在 \(A\) 的左边：那样 \(BC\) 比 \(AB\) 还长。）只画一种图就漏解。
尺规作图：只用没有刻度的直尺和圆规画图。作一条线段等于已知线段 \(a\)：先画一条射线，用圆规量出 \(a\) 的长，以射线的端点为圆心，在射线上截取。作两条线段的和、差，就是接着往前截、或往回截。本节只要求画出图形，不写作法。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：怎样数线段才不重不漏？
在一条直线上依次标出 5 个不同的点。任取两点作端点，一共有多少条不同的线段？请说明你的数法为什么没有重复和遗漏。
想好后看解释
一条直线上有 5 个点，能组成几条线段？从最左边的点出发能连 4 条，下一个点再连 3 条……共 \(4+3+2+1=10\) 条。“动手”③ 可以数更多的点。
实测：把尺放对，再读数
移动尺，让零刻度与 A 对齐（尺边已沿 AB）。读出 B 的刻度，填写两点间距离。屏幕缩放会改变图的厘米大小，这里的 cm 是虚拟尺单位。
先对齐零刻度，不能把尺子的左边缘当作零。
纸笔核对
在纸上任取 A、B，连接 AB。尺零刻度对 A，尺边贴 AB，视线正对 B 读数；记录“AB≈__ cm”，与同伴交换尺重复测量。若从非零刻度量，须用终点读数减起点读数。误差超过尺的一个最小格，先查对齐和读数，不把近似值说成精确相等。
无刻度尺规：自己截取等长、和与差
上方给出线段 a、b。先画射线 OX；选择圆心和圆规开口画弧，再亲自选弧与射线的交点。作图不用读取长度，不要求写作法。保留的圆弧是检查依据。
第一步：在射线 OX 上截取 OP = a。
尚未画弧。两条已知线段的开口都可试，观察条件是否满足。
把三张图画到纸上，怎样验收？
① 等长：画射线 OX，圆规两脚对 a 的两端，保持开口，以 O 为圆心画弧，取射线上的 P。② 和：从 P 再用 b 的开口向前截到 Q。③ 差（a>b）：从 P 用 b 的开口往回截，取 O、P 之间的 Q。每张都保留弧痕，用圆规回量 OP 与 a、PQ 与 b；和图顺序 O—P—Q，差图顺序 O—Q—P。若 a=b，差长为0，两端重合，不是一条非退化线段；a<b 不能在 OP 内截去 b。纸上成品由自己或同伴检查，网页不会替你完成纸笔作图。
读句画图，再看图说话
纸上标 A、B：分别连接 AB、画直线 AB、画射线 AB，并用箭头表示延伸。再把射线 AB 反向延长，并在图上标出反向延长的方向。
把自己的图交给同伴，遮住题句，让对方按图写“线段 AB / 直线 AB / 射线 AB”；比较双方的描述与画法，记录需要修改的地方。
① 线段的和、差与中点
拖动 \(A\)、\(B\)、\(C\)（或点一下再用方向键，每次 0.5 cm；直尺单位是 cm）。\(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，由代码算出。看 \(C\) 在线段上和线段外时，\(AC\)、\(CB\) 和 \(AB\) 的关系。
② 两点之间，线段最短
拖动点 \(P\)（或用方向键，每次 0.5 cm）。比较折线 \(A\to P\to B\) 的总长和线段 \(AB\)（\(AB=7\) cm）。
③ 进阶：一条直线上有 n 个点，能组成几条线段？
拖动下面的滑块（或用方向键）改变点数。每条弧表示一对端点，提醒你这两个端点确定一条线段；实际的线段在下面的直线上。金色的弧是最左边的点和其他点配成的对，其余的是绿色。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 以 \(P\) 为端点、经过点 \(Q\) 的射线，应该记作什么？
B。射线的端点字母写在前面。射线 \(QP\) 的端点是 \(Q\)，方向相反。
2. 线段 \(AB=16\) cm，点 \(C\) 是 \(AB\) 的中点，点 \(D\) 是 \(CB\) 的中点。\(AD\) 等于多少？
A。\(AC=CB=8\)，\(CD=\tfrac12 CB=4\)，\(AD=AC+CD=8+4=12\)（cm）。B 只算到 \(C\)；C 只算了 \(CD\)。
易错
3. 下面说法正确的是哪一个？
提示
哪些线能量长度？射线的两个字母能不能交换？距离是图形还是数？
D。线段的两个字母可以交换。A：直线、射线都没有长度，不能比；B：端点不同、方向相反；C：距离是线段的长度，是数，不是线段本身。
4. “如果 \(AM=BM\)，那么点 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点。”这句话对吗？
提示
试着找一个到 \(A\)、\(B\) 一样远、但不在线段 \(AB\) 上的点。
B。\(M\) 可能不在线段 \(AB\) 上（翻车现场 ①）。要加上“点 \(M\) 在线段 \(AB\) 上”才对。
5. 下面的做法中，能用“两点之间，线段最短”解释的是哪一个？
提示
先问自己：这件事要的是“对齐、固定”，还是“路程短”？
C。只有 C 在比路程长短。A、B、D 都是“两点一定，直线就定了”，用的是两点确定一条直线。
挑战
6. 点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 在同一条直线上，\(AB=10\) cm，\(BC=4\) cm，点 \(M\)、\(N\) 分别是 \(AB\)、\(BC\) 的中点。\(MN\) 等于多少？
提示 1：没给图
\(C\) 可能在 \(B\) 远离 \(A\) 的一侧，也可能在 \(A\)、\(B\) 之间。两种图都画。
提示 2：先算 MB、BN
\(MB=5\)，\(BN=2\)。\(M\)、\(N\) 在 \(B\) 的两边时相加，在同一边时相减。
C。\(MB=5\)，\(BN=2\)。\(C\) 在 \(B\) 远离 \(A\) 的一侧时，\(M\)、\(N\) 在 \(B\) 的两边，\(MN=5+2=7\)；\(C\) 在 \(A\)、\(B\) 之间时，\(M\)、\(N\) 都在 \(B\) 的左边，\(MN=5-2=3\)（cm）。D 是 \(AB+BC\)。
本节真题与练习
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 三上第5单元 · 线和角小学对线段、射线、直线端点特征的直观认识，在初中升级为几何公理（两点确定一条直线、两点之间线段最短）与中点严密推理。