培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
有些多项式没有公因式，却长得很“整齐”：两个平方相减，或者两个平方加上一个 2 倍积。把上一章的两个乘法公式倒过来用，就能把它们写成积。
本节导读 先修：16.3 乘法公式、17.1 提公因式法 · 本节路线
要用到：平方差公式、完全平方公式、添括号（回看 16.3）；提公因式法（回看 17.1）；平方数（最好熟记 \(1\) 到 \(20\) 的平方）。
- 从剪纸拼图进入：正方形剪去一角，拼成长方形。
- 先看形状：两项异号且都是平方 → 平方差；三项、两平方同号、中间是 2 倍积 → 完全平方式。
- 平方差公式倒过来用：先把每项写成“某某的平方”。
- 完全平方公式倒过来用：首尾是平方，再核对中间项。
- 综合：先提公因式（含负号），再用公式，一直分解到不能再分解。
- 练习与中考真题，回看三大翻车现场。
一张边长 \(13\) 厘米的正方形彩纸，从一角剪去一个边长 \(3\) 厘米的小正方形。剩下部分的面积是多少？先点按钮，看看剩下的纸能拼成什么：
剩下部分的面积是多少平方厘米？
A。\(13^2-3^2=169-9=160\)；拼成的长方形长 \(13+3=16\)、宽 \(13-3=10\)，面积 \(16\times10=160\)，一样。选 B 是算成了 \((13-3)^2\)；选 C 是只减了 \(3\)，没有平方。
\(13^2-3^2=(13+3)(13-3)\)：左边是两个平方的差，右边是一个积。这一节要回答：哪些多项式能直接套公式写成积？套之前要检查什么？
1. 先认识几个词：公式法，先看“长相”
前置知识：平方差公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，完全平方公式 \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\)（回看 16.3）；提公因式（回看 17.1）。把这两个公式左右互换，就得到分解特殊多项式的公式；用它们分解因式的方法叫公式法。用之前先认“长相”：
直觉微图解 ①数项数、看符号、找平方：它是哪一种？
核心概念 ②平方差的形状
恰好两项，都能写成某个式子的平方，而且符号相反：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。读法：两个数的平方差，等于这两个数的和与差的积。\(-x^2+4y^2\) 交换位置是 \(4y^2-x^2\)，也是。
核心概念 ③完全平方式
像 \(a^2+2ab+b^2\)、\(a^2-2ab+b^2\) 这样的式子叫完全平方式：三项，两项是平方且同为正，第三项是这两个数积的 2 倍（可正可负）。它等于 \((a\pm b)^2\)。
2. 核心点：平方差，先写成“谁的平方”
\(a\)、\(b\) 可以是数、单项式，也可以是多项式（当成整体，带上括号）。
直觉微图解 ②大正方形剪去小正方形，拼成“和 × 差”的长方形
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：公式里的字母是多项式）
把 \((2m+n)^2-(m-3n)^2\) 分解因式。
① 读懂题意：两项、符号相反、都是平方：这是平方差。\(a\) 和 \(b\) 各是什么？
提示 1：整体代入
\(a=2m+n\)，\(b=m-3n\)。代进 \((a+b)(a-b)\) 时，\(a\)、\(b\) 都要带括号。
看完整示范
④ 回头看：乘回去：\((3m-2n)(m+4n)=3m^2+10mn-8n^2\)；展开原式：\((4m^2+4mn+n^2)-(m^2-6mn+9n^2)=3m^2+10mn-8n^2\) ✓。
自己试试：把 \(49x^2-16\) 分解因式。
A。\(49x^2=(7x)^2\)，\(16=4^2\)，所以 \(=(7x+4)(7x-4)\)。B 的 \(16\) 没写成 \(4^2\)；C 是把平方差和完全平方弄混了，乘开是 \(49x^2-56x+16\)。
3. 核心点：完全平方式，首尾是平方，再核对中间
中间项是“\(-\)”就写 \(a-b\)；两个平方项必须同为正。
直觉微图解 ③大正方形 = 两个正方形 + 两个一样的长条
例 2（示范：先提负号）
把 \(-x^2+6xy-9y^2\) 分解因式。
① 读懂题意：三项，但两个平方项 \(-x^2\)、\(-9y^2\) 都是负的，不能直接套。
提示：先处理负号
把“\(-\)”提出来，括号里每项都变号，再看括号里是不是完全平方式。
看完整示范
④ 回头看：取 \(x=1,\,y=1\)：原式 \(=-1+6-9=-4\)，结果 \(=-(1-3)^2=-4\) ✓。写成 \((x-3y)^2\) 的话得 \(4\)，丢了负号。
自己试试：把 \(9a^2-12a+4\) 分解因式。
A。\(9a^2=(3a)^2\)，\(4=2^2\)，中间 \(12a=2\cdot3a\cdot2\)，符号是负，所以 \(=(3a-2)^2\)。B 符号跟错了；C 乘开是 \(9a^2-4\)，少了中间项。
4. 核心点：先提公因式，再用公式，分解要彻底
一般顺序：有公因式先提（首项为负连负号一起提）→ 看能不能用公式 → 每个因式再查一遍，直到每个因式都不能再分解。这里“不能再分解”指在有理数范围内、用这两种方法分不开了（比如 \(x^2+4\)、\(x^2-2\)）。
直觉微图解 ④分解树：一直往下分，直到每片“叶子”都分不开
例 3（示范：两次用公式）
把 \(3a^4-48\) 分解因式。
① 读懂题意：\(3a^4\) 和 \(48\) 都不是完全平方，先看有没有公因式。
提示：第一步
\(3\) 和 \(48\) 的最大公因数是 \(3\)。提出后括号里是什么？
看完整示范
④ 回头看：取 \(a=3\)：原式 \(=243-48=195\)，结果 \(=3\times13\times5\times1=195\) ✓。停在 \(3(a^2+4)(a^2-4)\) 也等于原式，但没分解完。
自己试试：把 \(x^3-4x\) 分解因式（要彻底）。
B。先提 \(x\)：\(x(x^2-4)\)，再用平方差：\(x(x+2)(x-2)\)。A 停得太早；C 漏了公因式 \(x\)，乘回去只有 \(x^2-4\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：积为6，和为5
先找两个数，要求积是6、和是5。能用它们把x²+5x+6写成两个一次式的积吗？乘回去检查。
想好后看解释
能，但不在本节要求里。上一章算过 \((x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq\)，倒过来：找两个数，积是常数项、和是一次项系数。\(6=2\times3\)，\(2+3=5\)，所以 \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)，乘回去可以检验。这种方法要到解一元二次方程时才常用；本章只要求提公因式法和公式法。
① 平方差：剪一剪，拼一拼
拖左图右下角的圆点改大正方形的边 \(a\)，拖缺口内角的圆点改小正方形的边 \(b\)（也可点圆点再用方向键）。右图是剩下两块拼成的长方形。
② 完全平方式检验器：x² + mx + n
拖右边两个滑块改 \(m\)、\(n\)。\(m\) 为正时，在 \(x^2\) 外面加两个宽 \(\tfrac{m}{2}\) 的长条，角上要补小格；\(m\) 为负时，从 \(x^2\) 里减去两个长条，被减了两次的角块要补回。右下是常数项 \(n\) 给的小格数，和要补的正好相等，才是完全平方式。
③ 进阶：代值检验，查得出“错”，查不出“没分完”
分解 \(x^4-16\)。先点一个“学生的答案”，再拖下面的滑块改 \(x\)，比较原式和答案的值。
④ 数学活动：个位是 5，为什么平方总以 25 结尾？
用 \(10a+5\) 表示这样的两位数，其中 \(a\) 是 \(1\) 到 \(9\) 的整数。先用完全平方公式展开，再把含 \(a\) 的两项提公因式。算几个例子只能发现规律，下面要用字母说明全部九个数。
式子用 a、整数、+、−、*、括号和 ^ 输入；可省略乘号，可用 ²。空格只用于分隔运算，不能把一个整数拆开。
先写两步式子和说明，再核验。输入只留在本页，刷新后清空。
⑤ 数学活动：彻底分解，再编“因式码”
这是本章的代数编码游戏。选一道任务，自己分解，再依规则编码；可以在纸上另编一道可用本章方法分解的题，与同伴交换，不把页面练习当成已经完成交换活动。
有限规则：只用整数系数、字母 x、+、−、*、括号和正整数次幂（最高 4）。先提尽数字与字母公因式，再用公式分到底。数因数合并在最前，每个括号内的整数系数没有大于 1 的公因数。交换因子次序、把相反数移入或移出括号、重复因子写成幂，都可核验。没有除法，不需要给 x 限定非零值。
编码字典与统一写法
把各因子的首项系数统一成正数，负号并入前面的整数系数。字典：x → A；x−2 → B；x+2 → C；x−1 → D；x+1 → E；x²+1 → F。先写带符号的整数系数（正数不写 +），再写竖线 |，最后按 A 到 F 排字母；一个因子出现几次就写几次字母，不能漏掉重数。编码时不把系数再分成质因数。
分解框和编码框都由你填写；核验比较精确系数，不靠试几个 x 的值。
从易到难排好了。卡住时先展开提示；做完都可以乘回去检验。
直接用
1. 把 \(25a^2-1\) 分解因式。
A。\(25a^2=(5a)^2\)，\(1=1^2\)。B 没把 \(25a^2\) 写成平方，乘开是 \(625a^2-1\)；C 乘开是 \(25a^2-10a+1\)。
2. 把 \(x^2-14x+49\) 分解因式。
B。\(49=7^2\)，中间 \(14x=2\cdot x\cdot7\)，符号为负，所以 \(=(x-7)^2\)。A 符号跟错了；C 乘开是 \(x^2-49\)。
易错
3. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是哪一个？
提示
两项的：符号必须相反；三项的：两个平方项同为正，另一项是 2 倍积。
C。\(-a^2+b^2=b^2-a^2=(b+a)(b-a)\)。A 是平方和；B 提出负号后还是平方和 \(-(x^2+y^2)\)；D 的中间项是 \(ab\)，不是 \(2ab\)。
4. 如果 \(4x^2+kx+25\) 是完全平方式，那么 \(k\) 等于多少？
提示
首尾分别是 \((2x)^2\)、\(5^2\)。中间项是 \(\pm2\cdot2x\cdot5\)，两个符号都可以。
C。\((2x+5)^2=4x^2+20x+25\)，\((2x-5)^2=4x^2-20x+25\)，所以 \(k=\pm20\)。A、B 忘了“2 倍”，只算了 \(2x\cdot5\)；D 漏了负的那一个。
5. 把 \(2a^3-8a\) 分解因式（要彻底）。
提示
先提公因式 \(2a\)；括号里还能不能用公式？
B。\(2a^3-8a=2a(a^2-4)=2a(a+2)(a-2)\)。A 没分完（\(a^2-4\) 还是平方差）；C 漏了公因式里的 \(a\)，乘回去是 \(2a^2-8\)。
挑战
6. 已知 \(a-b=3\)，\(ab=2\)，求 \(a^3b-2a^2b^2+ab^3\) 的值。
提示 1：先分解
三项都有 \(ab\)，提出来后括号里是什么？
提示 2：再用公式
\(a^2-2ab+b^2\) 是完全平方式，等于 \((a-b)^2\)。
A。原式 \(=ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2=2\times3^2=18\)。B 是 \(ab(a-b)\)，漏了平方；C 是把 \((a-b)^2\) 当成了 \((a-b)^3\)。不用求出 \(a\)、\(b\) 各是多少，先分解再整体代入。
本节中考真题
共 25 道，含 5 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
正在加载精选题…
“分解因式”几乎是各地中考填空题的常客：完全平方、先提公因式再用公式，都考过。做完看解析。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 多项式（F1–F2）因式分解、余数定理与立方和差公式，是求解高次代数方程及竞赛多项式整除与根的性质（F1–F2）的起点。
- 一试 · 数论（F1–F2）不定方程（如 $xy+ax+by=c$ 配成 $(x+b)(y+a)=c+ab$，或 $x^2-y^2=n$ 分解为 $(x-y)(x+y)=n$）求解整数解，核心一步正是因式分解后枚举约数。