25.1 一元二次方程的概念

题目：将方程 \(3x(x - 2) = 2(x + 1) - 5\) 化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

① 读懂题意：两边都有带括号的整式，目标是去括号、移项合并，整理成 \(ax^2+bx+c=0\) 的形式。

② 想办法：左边用单项式乘多项式展开，右边去括号；把所有项都移到等号左边，右边留 0；按降幂排列提取系数。

③ 执行与检查：
去括号，得：\(3x^2 - 6x = 2x + 2 - 5\)，即 \(3x^2 - 6x = 2x - 3\)．
移项，得：\(3x^2 - 6x - 2x + 3 = 0\)．
合并同类项，得一般形式：\(3x^2 - 8x + 3 = 0\)．
对照 \(ax^2+bx+c=0\)：二次项系数为 \(3\)，一次项系数为 \(-8\)（注意负号！），常数项为 \(3\)．

④ 回头看：检查移项变号：右边的 \(2x\) 移到左边变 \(-2x\)，\(-3\) 移到左边变 \(+3\)，没有遗漏。

题目：已知关于 \(x\) 的方程 \((k + 1)x^{|k-1|} + 3x - 1 = 0\) 是一元二次方程，求 \(k\) 的值。

① 读懂题意：方程已整理为一般形式，未知数是 \(x\)，含有待定常数 \(k\)；题干明确指出它是“一元二次方程”。

② 想办法：根据一元二次方程的定义，需要同时满足两个条件：最高次数必须等于 2，即 \(|k-1| = 2\)；二次项系数不能为 0，即 \(k + 1 \ne 0\)。解出两个条件并求交集。

③ 执行与检查：
由未知数的最高次数为 2，得：\(|k-1| = 2 \implies k = 3\) 或 \(k = -1\)．
由二次项系数不能为 0，得：\(k + 1 \ne 0 \implies k \ne -1\)．
综合两条件，排除 \(k = -1\)，得 \(k = 3\)．

④ 回头看：若误取 \(k = -1\)，二次项系数 \(k + 1 = 0\)，方程变成 \(3x - 1 = 0\)，退化为一元一次方程，不合题意；故必须舍去 \(k = -1\)。

题目：已知 \(m\) 是关于 \(x\) 的一元二次方程 \(x^2 + 2x - 4 = 0\) 的一个实数根，求代数式 \(3m^2 + 6m - 5\) 的值。

① 读懂题意：已知 \(m\) 是方程的根，但我们还没学求根公式，不能直接解出 \(m\)。要求的是一个含 \(m\) 的多项式的值。

② 想办法：根据根的定义，\(m\) 代入原方程必然成立，得到恒等式 \(m^2 + 2m - 4 = 0 \implies m^2 + 2m = 4\)。观察目标式 \(3m^2 + 6m - 5\)，前面两项提公因数 3，恰好包含整体 \((m^2+2m)\)！

③ 执行与检查：
因为 \(m\) 是方程 \(x^2 + 2x - 4 = 0\) 的根，所以：
\(m^2 + 2m - 4 = 0 \implies m^2 + 2m = 4\)．
将 \(m^2 + 2m = 4\) 整体代入所求式：
\(3m^2 + 6m - 5 = 3(m^2 + 2m) - 5 = 3\times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\)．

④ 回头看：已知一个数是方程的根，可以把它代入方程得到等式，再整体代换、化简求值，不必先解出这个根。