培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第四章 整式的加减
4.1 整式
上一章会用字母列式子了。这一节给式子“分家”：只有乘法的叫单项式，几个单项式加起来的叫多项式；再学会读出它们的系数、次数和项。
本节导读 先修：3.1、3.2、2.3 · 本节路线
要用到：用字母列式子（回看 3.1）、求式子的值（回看 3.2）；乘方 \(a^3=a\cdot a\cdot a\)（回看 2.3）。
- 从几个生活里的式子进入：看数和字母之间做了什么运算。
- 单项式：数与字母的积；读出它的系数（连同符号）和次数（字母指数之和）。
- 多项式：几个单项式的和；读出项、常数项，次数取最高的那一项。
- 单项式和多项式统称整式；按某个字母的指数排排队。
- 动手拼单项式、拉多项式的“次数柱”，看清“取最高”不是“加起来”。
- 练习与中考真题，回看三个最容易读错的地方。
四个用字母列出的式子：练习本每本 \(n\) 元，买 \(8\) 本要 \(8n\) 元；魔方棱长 \(a\) 厘米，体积 \(a^3\) 立方厘米；水库水位每小时下降 \(0.5\) 米，\(h\) 小时的变化是 \(-0.5h\) 米；门票每张 \(x\) 元，买 \(4\) 张再付 \(7\) 元停车费，共 \(4x+7\) 元。点下面的按钮，把式子“拆开”看看：
\(8n\)、\(a^3\)、\(-0.5h\)、\(4x+7\) 中，哪一个跟另外三个不是一类？
D。前三个里，数和字母之间只有乘法：\(8n=8\times n\)，\(a^3=a\cdot a\cdot a\)，\(-0.5h=(-0.5)\times h\)。\(4x+7\) 却是把 \(4x\) 和 \(7\) 加起来。选 B 的同学可能觉得 \(a^3\) 有指数就特别，其实乘方就是连乘。
这一节要回答：只有乘法的式子叫什么、怎么读？几个这样的式子加起来又叫什么、怎么读？
1. 先认识几个词：单项式、多项式、整式
前置知识：用字母列式子（回看 3.1）；乘方是同一个数的连乘（回看 2.3）。点下面三档，看一个式子怎么“拆开来读”：
直觉微图解 ①单项式拆成“一个数 × 字母”，多项式拆成“几项相加”
- 单项式：数与字母的积，如 \(-4x^2y\)、\(8n\)。单独一个数（如 \(-6\)）、单独一个字母（如 \(x\)）也是单项式。数写在字母前面。
- 系数：单项式里的数字因数，连同它的符号。次数：单项式里所有字母的指数之和（没写指数的字母，指数是 \(1\)）；次数是 \(n\) 就叫 \(n\) 次单项式。单独一个非零的数，次数规定为 \(0\)。
- 多项式：几个单项式的和。每个单项式叫它的项，不含字母的项叫常数项；项连同前面的符号一起读。次数最高的项的次数，叫多项式的次数。
- 整式：单项式和多项式统称整式。
核心概念 ②单项式：读系数、读次数
里面只有乘法。\(\tfrac{3}{4}m^2n^3\)：系数 \(\tfrac34\)，次数 \(2+3=5\)，是五次单项式。
核心概念 ③多项式：读项、读次数
多项式本身不说系数，只说某一项的系数。\(y^3-2y+9\) 有 \(3\) 项，次数取最高的 \(3\)，叫三次三项式。
数字分母可并入系数。\(\dfrac{ab}{6}\) 可以看成 \(\dfrac16\cdot ab\)，系数 \(\dfrac16\)，次数 \(2\)。
2. 核心点：单项式的系数和次数
把单项式看成“一个数 × 若干字母”：那个数（连同符号，连同 \(\pi\)）是系数；只数字母头上的指数，加起来是次数。
直觉微图解 ②系数藏在哪？先改写成“数 × 字母”
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一个圆柱形水杯，底面半径 \(r\) 厘米，高 \(h\) 厘米。装满水后倒掉 \(\tfrac13\)，杯里还剩多少立方厘米水？列出式子，并说出它的系数和次数。
① 读懂题意：先求满杯的体积，再取剩下的那部分。列出的式子是不是单项式？
提示 1：满杯是多少
圆柱体积 = 底面积 × 高，满杯是 \(\pi r^2h\)。倒掉 \(\tfrac13\)，剩下 \(\tfrac23\)。
提示 2：π 算什么
\(\pi\) 是一个确定的数（约 \(3.14\)），不是字母。
看完整示范
④ 回头看：读系数时，凡是“数”（分数、负号、\(\pi\)）都归系数；读次数时只看字母。
自己试试：单项式 \(-xy^3\) 的系数和次数分别是多少？
B。\(-xy^3=(-1)\cdot xy^3\)，省略的是“\(1\)”，负号还在，系数 \(-1\)。次数：\(x\) 的指数 \(1\) 加 \(y\) 的指数 \(3\)，是 \(4\)。选 A 是把看不见的系数当成 \(0\)；C 漏算了 \(x\)；D 丢了负号。
再试一个：单项式 \(-2^3xy^2\) 的系数和次数分别是多少？
A。\(-2^3=-8\) 是一个数，整体是系数，它的指数 \(3\) 不算进次数。字母 \(x\)、\(y\) 的指数是 \(1\) 和 \(2\)，次数 \(3\)。B、C 把数 \(2\) 的指数也加进了次数；D 丢了负号。
3. 核心点：多项式的项和次数
读多项式先把它看成“几个单项式的和”：减号连着后面那一项一起走。然后逐项说次数，取最高的。
多项式的次数 = 次数最高的那一项的次数 = \(5\)，是五次四项式。
直觉微图解 ③次数柱：每项一根柱子，多项式的次数看最高的那根
例 2（示范）
说出多项式 \(3xy^2-5x^3y^2+x-6\) 的各项、常数项和次数。它是几次几项式？
① 读懂题意：要读的是“项”和“次数”，多项式本身不说系数。
提示：先把减号“收进”项里
写成 \(3xy^2+(-5x^3y^2)+x+(-6)\)，每一项是什么就清楚了。
看完整示范
④ 回头看：它是五次四项式。“几次”看最高的项，“几项”数项的个数。
自己试试：多项式 \(9-4ab+a^2b^2\) 是几次几项式？常数项是多少？
A。三项的次数是 \(0\)、\(2\)、\(4\)，最高的是 \(a^2b^2\) 的 \(4\)。常数项 \(9\) 写在最前面，前面的“+”省略了。B 是把次数加了起来；C 给 \(9\) 安了个不存在的负号；D 只数了一个字母的指数。
排排队：交换项的位置不改变多项式的值（加法交换律），所以常把多项式按某个字母的指数从大到小排（降幂排列），或从小到大排（升幂排列）。例如按 \(x\) 降幂：\(4x-1+x^3-2x^2=x^3-2x^2+4x-1\)。搬家时每一项带着自己的符号走。
4. 用之前必查：三大翻车现场
先自己列式，再给式子命名
下面四题先输入数量式，写单位，再读系数或常数项、次数。不要只代入某个数：式子要适用于题目允许的所有取值。这里只核对你写的式子与指定结构，不靠抽几个数判断相等。
本工作台输入语法：小写单字母；乘号用 * 或省略；指数用 ^ 后接 1～9 的整数；系数可用整数、有限小数或数字分数，末尾也可除以非零正数。加减号连接各项，允许运算符两侧空格。数字中间不可插空格。暂不核对括号、上标字符、重复字母因子、需要合并同类项或其它写法，请改写后再核对；暂未核对不表示数学想法错误。单位另填，不写在式中。
选学：亲手换项，符号跟着走
把每个带符号的项当成一张完整卡片，用“前移/后移”换位置，再核对。按钮支持点击、触摸和键盘 Enter/空格；也可用行内方向键前移/后移。这里只交换项，不合并、不去括号。
① 单项式拼装台
拖动三个圆点（或点一下圆点再用方向键）：第一行选系数，第二、三行选 \(x\)、\(y\) 的指数。指数拖到“不含”，单项式里就没有这个字母。右上角的小方块一块代表一次。
② 多项式的次数柱
多项式 \(3x^{p}-2xy^{q}+y^{r}-6\) 的前三项指数可调：上下拖动柱顶旁的圆点（或用方向键）。柱子高度是这一项的次数，最高的柱子标红。
③ 进阶：次数为 n 的单项式有哪些
格子里是只含 \(x\)、\(y\) 的单项式（系数先不管）：往右 \(x\) 的指数从 \(0\) 增到 \(4\)，往上 \(y\) 的指数从 \(0\) 增到 \(4\)，只画两个指数之和不超过 \(4\) 的格子。拖动下面的圆点选次数 \(n\)（或点格子），次数为 \(n\) 的格子会亮起来。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 单项式 \(-\dfrac{3a^2b}{4}\) 的系数和次数分别是多少？
C。改写成 \(-\tfrac34\cdot a^2b\)，系数 \(-\tfrac34\)（负号和分母 \(4\) 都算在里面）；次数 \(2+1=3\)。A 丢了分母；B 丢了负号；D 漏算了 \(b\)。
2. 苹果每千克 \(m\) 元。小林买了 \(3\) 千克，付 \(50\) 元，应找回 \((50-3m)\) 元。式子 \(50-3m\) 是几次几项式？
B。两项 \(50\) 和 \(-3m\)，次数分别是 \(0\) 和 \(1\)，最高是 \(1\)。A 把系数 \(3\) 当成了次数；D 是把项数当成了次数。
易错
3. 单项式 \(\pi xy^2\) 的次数是多少？
提示
\(\pi\) 是字母还是数？
B。\(\pi\) 是数，归系数，系数是 \(\pi\)。字母 \(x\)、\(y\) 的指数 \(1+2=3\)。A 把 \(\pi\) 当字母多算了一次（翻车现场 ③）；C 漏算了 \(x\)。
4. 关于多项式 \(6-x^3y+2xy^2\)，下面说法正确的是哪一个？
提示
先写成 \(6+(-x^3y)+2xy^2\)，再逐项读次数。
C。第二项是 \(-x^3y\)，系数 \(-1\)。各项次数 \(0\)、\(4\)、\(3\)：A 是把它们加成了 \(7\)；最高是 \(4\)，所以是四次三项式，B 错；常数项写在最前面，是 \(6\)，D 错。
5. 下面说法正确的是哪一个？
提示
每个选项都找一个最容易出错的词：单独的数、系数、次数、多项式的系数。
D。\(2^4m=16m\)，字母只有 \(m\)，指数 \(1\)。A：单独的数也是单项式；B：\(a=1\cdot a^1\)，系数、次数都是 \(1\)；C：多项式没有系数，只能说某一项的系数。
挑战
6. 一个单项式只含字母 \(a\)、\(b\)，两个字母都出现，系数是 \(3\)，次数是 \(5\)。这样的单项式一共有几个？
提示 1：把条件翻译成指数
\(a\) 的指数、\(b\) 的指数都至少是 \(1\)，加起来是 \(5\)。
提示 2：一个一个列
\(a\) 的指数从 \(1\) 开始试：\(1+4\)、\(2+3\)……“动手”③ 的斜线也能帮你数。
B。指数可以是 \(1+4\)、\(2+3\)、\(3+2\)、\(4+1\)，得到 \(3ab^4\)、\(3a^2b^3\)、\(3a^3b^2\)、\(3a^4b\)，共 \(4\) 个。D 把 \(3a^5\)、\(3b^5\) 也算上了，它们只含一个字母；C 只多算了其中一个。
本节真题与练习
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中考常在填空题里考单项式的系数和次数。做完看解析。