培玉 · 小学数学← 返回主页分数乘整数
3 个 相加写成 × 3，分子、分母该怎样算？在数轴上连跳三次，看看分数乘整数该怎样算。
🧭 本节路线导读分数单位 · 数轴连跳 · 先约分再乘
核心问题：求几个相同分数的和怎样用乘法简便计算？分数乘整数时，分子、分母各该怎样算？为什么整数只能跟分母约分，不能跟分子约分？
- 想一想：在数轴上看看，把分母也乘 3 会出什么错。
- 摆一摆：连续调节分母、分子与连跳次数，对比“先约分再乘”与“先乘后约”。
- 讲道理：用分数单位的“大小”与“个数”讲清算理，结合洞察直觉短片与翻车对比。
- 看例题：分三步看怎样先约分再计算，再看锯木料时段数和次数的关系。
- 练一练：看图列式、不计算判大小，再找出错解，练习多步应用题。
想一想算 × 3 时，如果把分母 9 也乘 3，会发生什么怪事？
烘焙坊烤黄油曲奇，每盘要用 千克低筋面粉。连烤 3 盘，一共要用多少千克？列成乘法是 × 3。有人觉得“既然乘 3，分子分母都要乘 3，得 ”。点下面的按钮，在数轴上看看真相：
发现矛盾了吗？如果分子分母同时乘 3 得到 ，根据分数的基本性质， 约分后明明就等于原来的 ！连烤 3 盘面粉，怎么可能和只烤 1 盘用的一样多？
在数轴上从 0 出发，每次跳 （即 2 个 ），连跳 3 次后落在哪里？为什么分母还是 9？
一语中的！分母 9 表示把“1”平均分成 9 格，每格是 （分数单位的大小）。连跳 3 次只是让格数（分数单位的个数）变成了 2 × 3 = 6 格，每格的大小并没有变，所以只拿分子乘整数，分母不变！最后把 约分得 。
分数单位与约分实验台调一调分母、分子和整数倍，看“先约分再乘”为什么更省事
先像整数乘法那样写出连加，再拖动滑块改变每条分成几份、每次取几份和连取几次，观察上方分数条/数轴的累加过程，以及下方“先约分再乘”与“先乘后约”的对比：
自己试试：先试九分之二乘4，再试八分之三乘6、十二分之五乘8。每次先猜是否超过1，再数格子。三组里每格的大小变了吗？用自己的话说出计算方法。
编 1 个中国结需要 米红绳，编 6 个这样的中国结一共需要多少米红绳？（请填最简分数）
列式： × 6。先把整数 6 和分母 8 同时除以最大公因数 2（6 变成 3，8 变成 4），分子 3 × 3 = 9，得最简分数 （米）。
不用动笔算具体得数，直接想一想：3 × 的结果比 1 大还是比 1 小？
数感真棒！1 等于 13 个 ，而 3 × 只有 12 个 （即 ），站在数轴上离 1 还差 1 小格，所以一定比 1 小！
🔍 算理推导：为什么整数只乘分子？为什么只能跟分母约分？
- 分数单位的“大小”与“个数”分离：在任何一个分数里，分母表示分数单位的大小（把 1 平均分成几份），分子表示分数单位的个数（取了这样的一共几份）。计算 × 4 时，就是把 4 个“2 个 ”合起来，一共是 2 × 4 = 8 个 ，即 。单格大小（）从头到尾没变，所以分母绝不能乘！
- 为什么整数只能和分母约分，绝不能和分子约分？因为整数 k 要乘到分子 n 上去，写成分数形式就是 。整数 k 本身就站在分子的位置上！约分时，分子和分母要同时除以公因数，所以整数 k 只能和分母 d 约分。
- 再举一例：把每次取的份数和连取次数都换一换，写成连加检查。每格大小不变，变化的是取了多少格。
规律 ①乘数交换位置，算法相同
× 6 和 6 × 结果完全相同，都是用分子 3 与整数 6 相乘的积作分子，分母 8 不变。
核心法则 ②先约分再乘更稳更快
当整数与分母有公因数时，先用最大公因数约分，再把分子相乘，能把大数变小数，避免先乘出大数后再漏约或算错。
带着问题看短片：① 为什么几个相同分数相加时，涂色块数成倍增加，但背景网格的切分方式不变？② 当乘数从整数变成真分数时，涂色区域发生了什么变化？
分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变；能约分的先拿整数和分母约分，再计算。
三个容易算错的地方
计算下列各题，结果化成最简分数或整数：（1） × 12；（2）15 × 。
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• 第（1）题：整数 12 和分母 18 都是 6 的倍数（最大公因数是 6）；
• 第（2）题：整数 15 和分母 25 末尾都是 5（最大公因数是 5）。
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• （1） × 12：把整数 12 和分母 18 同时除以 6（12 变 2，18 变 3），分子 7 × 2 = 14，分母是 3，得 。
• （2）15 × ：把整数 15 和分母 25 同时除以 5（15 变 3，25 变 5），分子 3 × 4 = 12，分母是 5，得 。
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先找最大公因数约分，再计算： × 8 ＝ ？（请填最简分数）
整数 8 和分母 12 的最大公因数是 4：同时除以 4 后，8 变成 2、12 变成 3；分子 5 × 2 = 10，得最简分数 。
木工师傅把一根长木料锯成每段长 米的短木料，一共锯了 5 次正好锯完。这根长木料原来一共长多少米？（先看线段图找准一共锯成了几段）
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把一根钢管锯成每段长 米的小段，一共锯了 3 次。这根钢管原来长多少米？
锯 3 次得到 3 + 1 = 4（段）！总长 ＝ × 4 ＝ 3（米）。
直接用（数轴模型与基本计算）
1. 下面的数轴上，从 0 出发连跳 2 次，每次跳 4 小格（把 1 平均分成 9 小格）。这张图表示哪个乘法算式？（ ）
每次跳 ，连跳 2 次落在 ，表示 × 2 ＝ 。
2. 直接计算： × 4 ＝ ？
4 个 是 8 个 ：分母 11 不变，分子 2 × 4 = 8，得 。
容易错（找错与倒推填空）
3. 小宇计算 5 × 时，把两个 5 划掉约成 1，算出得数是 。他错在哪里？（ ）
整数 5 和分子 5 都在分子层，应该相乘得 25；它与分母 12 互质，所以正确结果是 。
4. 逆向思考：□ × ＝ ，方框 □ 里应该填整数几？
每次跳 3 个 ，一共跳到了 12 个 ，所以跳了 12 ÷ 3 = 4（次），□ 里填 4。
想一想（单位换算与多步应用）
5. 单位换算：1 时 ＝ 60 分，那么 时等于多少分？
高级单位化低级单位乘进率 60： × 60，先把 60 和分母 5 约分得 12，再用 3 × 12 ＝ 36（分）。
6. 坚果礼盒里每袋巴旦木重 千克，买 9 袋这样的巴旦木一共重多少千克？
× 9：先把整数 9 和分母 3 同时除以 3（9 变 3，3 变 1），再用 2 × 3 ＝ 6（千克）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 2.2 有理数的乘法与除法有理数乘法的绝对值部分常常表现为分数相乘与交叉约分，先约分再定号的习惯直接迁移自小学分数乘法。