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七年级上册 · 第二章 有理数的运算

2.2 有理数的乘法与除法

负数乘负数为什么得正？除法怎样变成乘法？先定符号、再算绝对值，乘除就回到了小学的算法。学完除法，“有理数”也能说清楚了。

本节导读　先修：2.1 有理数的加法与减法 · 本节路线

要用到：有理数的加减（回看 2.1）、相反数与绝对值（回看 1.2）；小学的乘除法、倒数和乘法运算律。

  1. 从“潜水器每分钟下潜 3 m”进入：负数也要“乘”。
  2. 让乘积的规律继续走下去，定下乘法法则：同号得正、异号得负。
  3. 几个数相乘：先看有没有 0，再数负因数的个数。
  4. 认识倒数；除以一个数，等于乘它的倒数。
  5. 学了除法，说清楚什么是有理数：\(\tfrac pq\) 的形式。
  6. 练习与中考真题，回看最容易错的三处。

一台潜水器从海面出发，每分钟下潜 \(3\) m。规定向上为正，那么每分钟的变化记作 \(-3\) m。点下面的按钮，看它下潜几分钟后到了哪里：

照这样下潜 \(5\) 分钟，潜水器的位置和海面相比，记作多少？

B。\(5\) 个 \(-3\) 相加：\((-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15\)，也就是 \((-3)\times 5=-15\)。选 A 漏了“向下”的负号；选 C 是把 \(-3\) 和 \(5\) 当成了“减”。

负数乘正数，还能用“几个相同的数相加”来想。可是 \((-3)\times(-5)\) 呢？“\(-5\) 个 \(-3\) 相加”说不通了。这一节就来定下：有负数参加的乘法，积的符号和大小怎么定？除法又怎么办？

1. 先认识几个词：乘法法则、倒数

前置知识：有理数的加减（回看 2.1）、绝对值（回看 1.2）。小学里只有正数和 \(0\) 相乘。固定一个因数是 \(4\)（或 \(-4\)），让另一个因数从 \(2\) 一格一格减到 \(-2\)：积每次变多少？如果要让这个变化一直保持到负数，积应该是几？

直觉微图解 ①让小学的规律继续走下去

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 \(0\) 相乘，都得 \(0\)。

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{(-3)\times(-2)}_{\text{同号}}}=\color{#2F7A56}{\underbrace{+}_{\text{得正}}}\underbrace{(3\times 2)}_{\text{绝对值相乘}}=6\) \(\color{#B5452F}{\underbrace{(-3)\times 2}_{\text{异号}}}=\color{#B5452F}{\underbrace{-}_{\text{得负}}}(3\times 2)=-6\)

“负负得正”是一种规定：这样规定，上面的规律和小学的运算律才能继续成立（为什么，见本节末“再深一点”）。规定好了，就按规定算。

倒数：乘积是 \(1\) 的两个数互为倒数。例如 \(-\tfrac25\) 和 \(-\tfrac52\) 互为倒数，因为 \(\left(-\tfrac25\right)\times\left(-\tfrac52\right)=1\)。\(0\) 乘任何数都得 \(0\)，所以 \(0\) 没有倒数。

核心概念 ②先定符号，再算绝对值

\(\left(-\tfrac23\right)\times\left(-\tfrac94\right)\)：同号，符号取“+”；绝对值 \(\tfrac23\times\tfrac94=\tfrac32\)，所以积是 \(\tfrac32\)。一个数乘 \(-1\)，得到它的相反数：\((-1)\times 7=-7\)。

核心概念 ③倒数和相反数，别混

\(-5\) 的相反数是 \(5\)：两数相加得 \(0\)。\(-5\) 的倒数是 \(-\tfrac15\)：两数相乘得 \(1\)。拿不准时就检验：和是不是 \(0\)？积是不是 \(1\)？

2. 核心点：几个数相乘，先看 0，再数负号

小学学过的乘法交换律、结合律、分配律，换几组含负数的数去试，在有理数里仍然成立：\(ab=ba\)，\((ab)c=a(bc)\)，\(a(b+c)=ab+ac\)。所以几个数相乘，可以两个两个地乘下去：每乘一个负数，符号翻一次。

\(\color{#966524}{\underbrace{\text{有一个因数为 }0}_{\text{积为 }0}}\qquad\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{负因数偶数个}}_{\text{积为正}}}\qquad\color{#B5452F}{\underbrace{\text{负因数奇数个}}_{\text{积为负}}}\)

后两条有前提：所有因数都不为 \(0\)。积的绝对值是各因数绝对值的积。

直觉微图解 ②从左往右乘，每遇到一个负因数，符号翻一次

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

计算：\((-6)\times\tfrac{5}{12}\times(-0.8)\times\left(-\tfrac12\right)\)。

① 读懂题意：四个数连乘，有分数也有小数。先别急着乘数字，第一件事看什么？

提示 1：先看 0，再数负号

有没有因数是 \(0\)？没有。负因数有哪几个？

看完整示范
② 想办法：没有 \(0\)；负因数是 \(-6\)、\(-0.8\)、\(-\tfrac12\)，共 \(3\) 个，奇数个，积为负。再把绝对值乘起来，小数先化成分数 \(0.8=\tfrac45\)。
③ 执行：原式 \(=-\left(6\times\tfrac{5}{12}\times\tfrac45\times\tfrac12\right)=-\left(\tfrac52\times\tfrac45\times\tfrac12\right)=-\left(2\times\tfrac12\right)=-1\)。
执行中检查：符号只在第一步定一次，后面括号里全是正数；换个顺序再算绝对值：\(6\times\tfrac12=3\)，\(\tfrac{5}{12}\times\tfrac45=\tfrac13\)，\(3\times\tfrac13=1\) ✓。

④ 回头看：连乘时把符号和绝对值分开：符号数负因数的个数，绝对值用交换律、结合律挑好算的先乘。

自己试试：\((-2)\times(-5)\times(-1)\times 3\) 等于多少？

B。没有 \(0\)，负因数 \(3\) 个，积为负；绝对值 \(2\times5\times1\times3=30\)。选 A 是漏数了一个负号；选 C 是把乘法当成了加法。

再试一个：\(7.3\times(-4)\times 0\times\left(-\tfrac59\right)\) 的结果是什么？

A。有一个因数是 \(0\)，积就是 \(0\)，不用数负号，也不用算 \(7.3\times 4\)。选 B 是只数了“两个负因数”，忘了先看有没有 \(0\)。

例 2（示范：用分配律更省事）

计算：\((-24)\times\left(\tfrac56-\tfrac38+\tfrac14\right)\)。

提示：\(24\) 和三个分母有什么关系？

\(6\)、\(8\)、\(4\) 都能整除 \(24\)。把括号里看成三个数的和 \(\tfrac56+\left(-\tfrac38\right)+\tfrac14\)，每一项都乘 \(-24\)。

看完整示范
执行：原式 \(=(-24)\times\tfrac56+(-24)\times\left(-\tfrac38\right)+(-24)\times\tfrac14=-20+9+(-6)=-17\)。
检查：先算括号：\(\tfrac{20}{24}-\tfrac{9}{24}+\tfrac{6}{24}=\tfrac{17}{24}\)，再乘：\((-24)\times\tfrac{17}{24}=-17\) ✓。

回头看：分配时，每一项连同它前面的符号一起乘；中间那项是 \(-\tfrac38\)，乘 \(-24\) 得正 \(9\)。

3. 核心点：除以一个数，等于乘它的倒数

除法仍是乘法的逆运算。\((-12)\div 3\) 要找的是“和 \(3\) 相乘得 \(-12\) 的数”：\((-4)\times 3=-12\)，所以商是 \(-4\)。而 \((-12)\times\tfrac13\) 也正好是 \(-4\)。换几组数都这样，于是：

\(a\div\color{#B5452F}{\underbrace{b}_{b\ne 0}}=a\times\color{#2F7A56}{\underbrace{\tfrac1b}_{b\text{ 的倒数}}}\)

也可以直接说：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；\(0\) 除以一个不为 \(0\) 的数得 \(0\)；\(0\) 不能作除数。

直觉微图解 ③倒数在数轴上：同在原点一侧，一远一近

乘除混合时，乘除是同一级，按从左到右算；更稳的办法是先把除法全部化成乘法，再一次定符号、约分。有加减时，仍是先乘除，后加减。

例 3（示范）

计算：\((-3.5)\div\tfrac78\times\left(-\tfrac34\right)\)。

① 读懂题意：只有乘和除，是同一级运算。能不能先算后面的 \(\tfrac78\times\left(-\tfrac34\right)\)？

提示：先把“÷”改掉

除以 \(\tfrac78\) 就是乘 \(\tfrac87\)；\(-3.5\) 先化成 \(-\tfrac72\)。改完全是乘法，才可以随意交换、结合。

看完整示范
② 想办法：原式 \(=\left(-\tfrac72\right)\times\tfrac87\times\left(-\tfrac34\right)\)。负因数 \(2\) 个，积为正。
③ 执行：绝对值 \(\tfrac72\times\tfrac87\times\tfrac34=4\times\tfrac34=3\)，所以原式 \(=3\)。
执行中检查：按从左到右再算一遍：\((-3.5)\div\tfrac78=-4\)，\((-4)\times\left(-\tfrac34\right)=3\) ✓。

④ 回头看：如果先算 \(\tfrac78\times\left(-\tfrac34\right)=-\tfrac{21}{32}\)，再用 \(-3.5\) 去除，会得到错的 \(\tfrac{16}{3}\)：乘除混合不能跳着算。

自己试试：\(-1\tfrac12\) 的倒数是多少？

D。带分数先化成假分数：\(-1\tfrac12=-\tfrac32\)，倒数是 \(-\tfrac23\)，检验 \(\left(-\tfrac32\right)\times\left(-\tfrac23\right)=1\)。A 是相反数；C 符号错了：倒数和原数同号。

再试一个：下面哪个式子是对的？

B。\(0\) 除以不为 \(0\) 的数得 \(0\)。A、D：\(0\) 不能作除数，这两个式子都没有意义；C：\(0\) 乘任何数都得 \(0\)，不会得 \(1\)，\(0\) 没有倒数。

4. 学了除法，说清楚“什么是有理数”

第一章说，有理数是“可以写成分数形式的数”。现在有了除法，可以说得更准确：整数 \(-7=\tfrac{-7}{1}\)，有限小数 \(-0.75=\tfrac{-3}{4}\)，像 \(0.333\cdots=\tfrac13\) 这样的无限循环小数也能写成分数（怎样化，这里不展开）。

\(\text{有理数就是形如 }\dfrac{\color{#2F7A56}{p}}{\color{#B5452F}{q}}\text{ 的数，}\color{#2F7A56}{p}\text{、}\color{#B5452F}{q}\text{ 是整数，}\color{#B5452F}{q\ne 0}\)

\(q\ne 0\)，因为分数线就是除号，\(0\) 不能作除数。

由除法的符号法则，分子、分母、分数前面这三个符号，同时改变其中两个，值不变：\(\tfrac{-3}{4}=\tfrac{3}{-4}=-\tfrac34\)，\(\tfrac{-3}{-4}=\tfrac34\)。

自己试试：下面哪一个和 \(-\tfrac35\) 不相等？

C。\(\tfrac{-3}{-5}\) 是 \((-3)\div(-5)\)，同号得正，等于 \(\tfrac35\)。A、B 是异号相除，值都是 \(-\tfrac35\)；D 是 \(-\tfrac35\) 的小数形式。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）连乘时“有负号就是负”
❌ 典型错解：\((-2)\times(-5)\times(-1)\times(-3)=-30\)。
✅ 看图秒懂：因数都不为 \(0\)，每乘一个负数，符号翻一次。\(4\) 个负因数翻了 \(4\) 次，又回到“+”：结果是 \(30\)。
翻车现场 ②把“负负得正”搬到加法
❌ 典型错解：\((-4)+(-6)=10\)，“负负得正”。
✅ 一眼看清：“同号得正”只管乘除。加法是同号取相同的符号：\((-4)+(-6)=-10\)；乘法才是 \((-4)\times(-6)=24\)。
翻车现场 ③乘除混合不从左到右
❌ 典型错解：\(12\div(-3)\times 2=12\div(-6)=-2\)。
✅ 一眼看清：乘除同级，从左到右：\(12\div(-3)=-4\)，\((-4)\times 2=-8\)。或者先化成 \(12\times\left(-\tfrac13\right)\times 2\)，结果一样是 \(-8\)。
再深一点（可以先跳过）：负负若得负呢？

假设 \((-1)(-1)=-1\)，先算括号或先分配，\((-1)(1+(-1))\) 会相等吗？

想好后看计算

先算括号得 \(0\)；按假设分配得 \(-1-1=-2\)，矛盾。为保持分配律，\((-1)(-1)\) 必须为 \(1\)，使 \(-1+1=0\)。

① 乘法：积的柱子排成一条直线

拖动上面的圆点（或点一下再用方向键）改变 \(a\)；拖动下面一排里的圆圈，选中一个 \(b\)。每根柱子是 \(a\times b\)，向上为正、向下为负。

② 乘一个负数：伸缩，再翻到另一边

拖动数轴上的金色圆点改变 \(a\)，拖动上面的红色圆点改变乘数 \(k\)。红点是 \(k\times a\)。再反过来想：除以 \(k\)，就是乘 \(k\) 的倒数，把红点送回 \(a\)。

③ 进阶：五个数连乘，符号怎么定

上下拖动五个圆点（或选中后按上下方向键），每个因数可取 \(-3\) 到 \(3\) 的整数。最下面一排是“乘到这里为止”积的符号。

④ 计算器键盘：先笔算，再输入验算

先在纸上算 12÷(-3)×2，再算 (-2)×(3-5)，分别输入核对。也可自选三步以内的式子。

实体键盘或下方按键均可输入。负数键输入“(−”，需补右括号；减号表示相减。先括号，乘除同级从左到右，后加减；乘方到 2.3 再练。分数用 /，乘号不能省。每式限 80 字符，整数部分≤7位、小数部分≤6位。

先点要编辑的框，选中文字可替换。Enter 核对原式，Ctrl+Enter 核对过程，Esc 清空。只比较各行的值，请说明每步依据。

输入和笔算都准备好后再核对。

⑤ 自选数字，比较两种算法

自选几组数，含负数、0、分数。三条乘法运算律都试，再对照除法换序。同一字母取同一数。

先自选数字并预测，再比较两式。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 计算 \(\left(-\tfrac56\right)\times\tfrac{18}{25}\)。

B。异号得负；绝对值 \(\tfrac56\times\tfrac{18}{25}=\tfrac{1\times3}{1\times5}=\tfrac35\)（先约分）。A 符号错了；C 是把结果颠倒成了倒数；D 是把乘法当成了加法。

2. 一个蓄水池的水位每小时下降 \(4\) cm（记作 \(-4\) cm）。现在水位比警戒线高 \(6\) cm，照这样下降 \(3\) 小时后，水位比警戒线怎样？

A。\(3\) 小时的变化是 \((-4)\times 3=-12\)（cm），再加上原来的 \(6\) cm：\(6+(-12)=-6\)，比警戒线低 \(6\) cm。C 忘了原来高出的 \(6\) cm；B 把下降当成了上升。

易错

3. \(-0.4\) 的倒数是多少？

提示

小数先化成分数：\(-0.4=-\tfrac25\)。倒数和原数同号吗？

C。\(-0.4=-\tfrac25\)，倒数是 \(-\tfrac52=-2.5\)，检验 \((-0.4)\times(-2.5)=1\)。A 是相反数；B 符号错了；D 是以为“去掉小数点”就是倒数，\((-0.4)\times(-4)=1.6\)，不是 \(1\)。

4. 计算 \((-36)\times\left(\tfrac79-\tfrac{5}{12}\right)\)。

提示

用分配律，括号里是 \(\tfrac79\) 和 \(-\tfrac{5}{12}\) 两项，每项连同符号乘 \(-36\)。

A。\((-36)\times\tfrac79=-28\)，\((-36)\times\left(-\tfrac{5}{12}\right)=15\)，\(-28+15=-13\)。B 是第二项漏了负号，算成 \(-28-15\)；C 是两项符号都弄反了。

5. 下面说法正确的是哪一个？

提示

每个说法都找一个反例试试；别忘了“有因数是 \(0\)”的情况。

A。B 漏了前提：\((-2)\times(-3)\times 0=0\)，有偶数个负因数，积却是 \(0\)，不是正数。C：\(0.5\) 的倒数是 \(2\)，比 \(0.5\) 大。D：左边 \(24\div6=4\)，右边 \(6+12=18\)；除数是和时不能“分配”。

挑战

6. \(a\)、\(b\) 都是不为 \(0\) 的有理数，并且 \(a\div b<0\)，\(a+b<0\)。下面哪个一定成立？

提示 1：商为负说明什么？

商为负，\(a\)、\(b\) 异号：一正一负。

提示 2：再看和

一正一负相加，和的符号跟绝对值大的那个走。

C。商为负，说明异号；异号相加，和为负，说明负数的绝对值较大。用 \(a=2\)、\(b=-5\) 验证：\(2\div(-5)=-0.4\)，\(2+(-5)=-3\)，都小于 \(0\)。A：两个负数的商为正，不满足 \(a\div b<0\)。

本节中考真题

共 9 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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这组题练习乘除的符号和倒数。选完看解析，重点核对符号。

先修回顾 · 小学数学

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