培玉 · 小学数学← 本单元五年级下册 · 第四单元 分数的意义和性质 · 第 6 课
最大公因数
要剪出最大的正方形，刚好铺满长方形，边长怎么找？这和公因数有什么关系？
本单元按旧版教材编排。
这节课怎么走
用同样大的正方形铺满长方形，最大的边长怎样找？
先修：上一课的办法 → 先猜、动手验证、讲清理由、看例题、独立练习。
初中衔接：第 1.2 课会继续研究数的表示与大小比较，本单元的分数模型是基础。
以前找一个数的因数，可以成对列。现在正方形的边长既要分完长，也要分完宽。
先在纸上列出 12 和 18 的因数，猜一个最大的边长，再逐个试铺。
一块长 12 dm、宽 18 dm 的长方形布，要剪成大小相同的正方形，不能有剩余。边长 4 dm 的正方形行吗？
B。边长要能同时分完 12 和 18，也就是同时是 12 和 18 的因数。这样的数叫公因数。
把边长从 1 逐步调大，记下能铺满的数。再换 8 × 12 和 10 × 16，比较共同点。
1. 哪个边长刚好铺满
长方形 10 × 14（单位：dm）。选一个正方形的边长，看能不能铺满。
12 和 18 的公因数有哪些？
A。12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18。公有的是 1、2、3、6。
先把图里的道理说清
1. 不裁开小正方形，又不能剩边角，横向和纵向都要排整数个。
2. 10 × 14 时，边长 1、2 都能铺满；8 × 12 时，边长 1、2、4 都能铺满。
3. 这些边长分别都是长和宽公有的因数。先找全，再取最大的一个；它一定不会超过较短的边。
10 和 14 的公因数有 1、2，最大是 2。
最小的公因数总是 1，没有意义。
5 和 15 的最大公因数是 5。
12 × 18 比 12 还大，不可能是 12 的因数。
为什么铺正方形用最大公因数？
正方形的边长要同时分完长和宽，所以边长是它们的公因数。边长最大的那个，就是最大公因数。
一步一步想
一张长 20 cm、宽 15 cm 的纸，剪成同样大的正方形且无剩余，边长最大是多少？
① 读懂题意 · 想好再展开
每条边都要被小正方形的边长整除；找两个数的公因数。
② 列式推导与算理 · 想好再展开
20 的因数有 1、2、4、5、10、20；15 的因数有 1、3、5、15。公因数为 1、5，最大是 5。
③ 检验与易错点 · 想好再展开
20 ÷ 5 = 4，15 ÷ 5 = 3，能排 4 × 3 = 12 个。没有比 5 更大的公因数，不能只找出一个可行边长就停。
12 和 18 的最大公因数是多少？
B。公因数 1、2、3、6 里最大的是 6。
动手算一算（7 题）
1. 12 和 30 的最大公因数是几？
6。12 的因数 1、2、3、4、6、12；30 的因数 1、2、3、5、6、10、15、30；公有的最大是 6。
2. 16 和 24 的最大公因数是几？
8。16 和 24 都是 8 的倍数，公有的最大因数是 8。
3. 18 和 27 的最大公因数是几？
9。18 = 9 × 2，27 = 9 × 3。
4. 7 和 9 的最大公因数是几？
1。7 的因数是 1、7；9 的因数是 1、3、9；公有的只有 1。
5. 8 和 24 的最大公因数是几？
A。24 是 8 的倍数，8 的因数都是 24 的因数，所以最大公因数是 8。
6. 要把一块长 30 m、宽 20 m 的长方形花坛，分成大小相同的正方形小花坛，不剩，正方形边长最长是几 m？
10 m。求 30 和 20 的最大公因数，是 10。
7. 36 支铅笔和 48 块橡皮平均分给同学，每人铅笔数同样、橡皮数同样，没有剩余，最多能分给几名同学？
12 名。36 和 48 的最大公因数是 12。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 1.2 有理数及其大小比较有理数定义为可化为分数形式的数；通分、约分与分数化小数是比较负分数大小及理解有理数稠密性的必备技能。
- 初中 · 18.1 分式及其基本性质分式的分子分母同乘或同除以非零整式保持值不变，以及分式的约分与通分，完全类比自小学分数的基本性质。