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七年级上册 · 第一章 有理数

1.2 有理数及其大小比较

认识了负数，我们能表示的量更丰富了。这些数怎样分类？它们在一条直线上站在哪里？谁大谁小？画一条数轴，相反数、绝对值、大小比较都能“看”出来。

本节导读　先修：1.1 正数和负数 · 本节路线

要用到：正数、负数和 \(0\)（回看 1.1）；小学的分数、小数，分数化小数、通分比大小。

  1. 从冰箱和室外的温度进入：两个负数，谁更低？
  2. 有理数：按“整数、分数”和按“正、负、0”两种分法。
  3. 数轴：原点、正方向、单位长度，三样缺一不可；在数轴上描点。
  4. 相反数：原点两侧、离原点一样远；\(-a\) 不一定是负数。
  5. 绝对值：到原点的距离；比大小：数轴上左小右大，两个负数绝对值大的反而小。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

冰箱冷藏室、冬天的室外、冰箱冷冻室，三个地方的温度。点一点，看温度计的红柱停在哪：

室外 \(-6\) ℃，冷冻室 \(-18\) ℃。哪个温度更低？

A。零下18℃的红柱更低，所以比零下6℃更冷。

详细解释

A。零下 \(18\) ℃ 比零下 \(6\) ℃ 冷得多：红柱停得更靠下。\(18\) 比 \(6\) 大，\(-18\) 却比 \(-6\) 小。

把温度计横过来放，就是这一节的主角：数轴。这一节要回答：有理数有哪些？它们在数轴上站在哪？怎样比大小？

1. 先认识几个词：整数、分数、有理数

前置知识：正数、负数和 \(0\)（回看 1.1）。正整数、\(0\)、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。像 \(2.5\)、\(-0.4\) 这样的有限小数可以写成分数（\(2.5=\tfrac52\)，\(-0.4=-\tfrac25\)），也算分数。点一点，看哪些数属于哪一类：

直觉微图解 ①同一批数，两种分法

分法 ②按“整数、分数”分

整数：正整数、\(0\)、负整数；分数：正分数、负分数。\(0\) 是整数。

分法 ③按“正、负、0”分

正有理数、\(0\)、负有理数。\(0\) 单独一类：它既不是正数，也不是负数。

自己试试：关于 \(-0.6\)，下面说法正确的是？

C。\(-0.6=-\tfrac35\)，是负分数；分数都是有理数。有限小数能写成分数，所以“是小数”并不妨碍它是有理数。

2. 核心点：数轴把数变成位置

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。通常画成水平的，向右为正方向；原点表示 \(0\)，右边是正数，左边是负数。每个有理数都能用数轴上的一个点表示。

\(\text{数轴}=\color{#966524}{\underbrace{\text{原点}}_{\text{表示 }0}}+\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{正方向}}_{\text{通常向右}}}+\color{#B5452F}{\underbrace{\text{单位长度}}_{\text{每格一样长}}}\)

直觉微图解 ②三样缺一样，就不是数轴

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

画一条数轴，在上面画出表示 \(-\tfrac72\)、\(1.5\)、\(-1\)、\(4\) 的点。

① 读懂题意：四个数里有分数、小数，最小的在哪、最大的在哪？

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3.5 -1 1.5 4
每相邻整数相隔1个单位。−7/2 = −3.5；−3.5和1.5分别在两相邻整数的正中间。
提示 1：先把分数化成好找的样子

\(-\tfrac72=-3.5\)，在 \(-3\) 和 \(-4\) 正中间；\(1.5\) 在 \(1\) 和 \(2\) 正中间。

看完整示范
② 想办法：最左到 \(-3.5\)，最右到 \(4\)，数轴至少画 \(-4\) 到 \(4\)，一格取 \(1\) 个单位长度。
③ 执行：画直线，定原点、画向右的箭头、等距标出 \(-4\) 到 \(4\)。负数从原点往左数：\(-1\) 在左边第 1 格；\(-3.5\) 在左边第 3 格和第 4 格的正中间。\(1.5\) 在右边第 1、2 格正中间，\(4\) 在右边第 4 格。
执行中检查：三样齐不齐（原点、箭头、等距刻度）？每个点上方标没标它表示的数？\(-3.5\) 有没有错画到 \(-3\) 和 \(-2\) 之间？

④ 回头看：画好以后，四个点从左到右是 \(-\tfrac72\)、\(-1\)、\(1.5\)、\(4\)，这也正好是从小到大的顺序（第 5 小节会用到）。

3. 核心点：相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如 \(3\) 和 \(-3\)；\(0\) 的相反数是 \(0\)。在数轴上，互为相反数的两点在原点两侧、到原点的距离相等，像原点处立了一面镜子。在一个数前面加“−”号，就表示它的相反数：\(-(-4)\) 是 \(-4\) 的相反数，等于 \(4\)。

直觉微图解 ③原点是镜子：相反数左右对称

\(a\ \text{的相反数是}\ \color{#B5452F}{\underbrace{-a}_{\text{不一定是负数}}}\qquad a=-3\ \text{时},\ -a=3\)

字母 \(a\) 可以表示正数、负数或 \(0\)。“−”号只说“取相反数”，不保证结果是负的。

自己试试：\(-(-7)\) 等于多少？

B。\(-(-7)\) 是 \(-7\) 的相反数。\(-7\) 照一下原点的镜子，落在 \(7\)。

4. 核心点：绝对值是到原点的距离

数轴上表示数 \(a\) 的点到原点的距离，叫做 \(a\) 的绝对值，记作 \(\lvert a\rvert\)。距离不会是负的，所以 \(\lvert a\rvert\ge 0\)。从数轴上看：正数的绝对值是它本身，\(0\) 的绝对值是 \(0\)，负数的绝对值是它的相反数。

直觉微图解 ④量一量，离原点几格

例 2（示范）

(1) 求 \(\lvert -6\rvert\)、\(\left\lvert +\tfrac35\right\rvert\)、\(\lvert 0\rvert\)；(2) 已知 \(\lvert x\rvert=2.5\)，求 \(x\)。

提示：都回到“距离”

(1) 每个点离原点几个单位？(2) 离原点 \(2.5\) 个单位的点，左右各有一个。

看完整示范
执行：(1) \(\lvert -6\rvert=6\)，\(\left\lvert +\tfrac35\right\rvert=\tfrac35\)，\(\lvert 0\rvert=0\)。(2) 原点右边 \(2.5\) 处表示 \(2.5\)，左边 \(2.5\) 处表示 \(-2.5\)，所以 \(x=2.5\) 或 \(x=-2.5\)。
检查：(1) 三个结果都不是负数 ✓；(2) 把两个答案代回去：\(\lvert 2.5\rvert=2.5\)，\(\lvert -2.5\rvert=2.5\) ✓，一个都不能少。

回头看：求绝对值只有一个答案；反过来，已知绝对值（不为 \(0\)）求这个数，有两个答案。

自己试试：绝对值等于 \(7\) 的数是？

D。离原点 \(7\) 个单位的点有两个，分别表示 \(7\) 和 \(-7\)。只写一个是最常见的漏解（翻车现场 ②）。

5. 核心点：怎样比大小

数轴上的数，从左到右越来越大。所以正数大于 \(0\)，\(0\) 大于负数，正数大于负数。两个负数呢？越往左，离原点越远，绝对值越大，数反而越小。

\(\color{#B5452F}{\underbrace{\text{负数}}_{\text{原点左边}}}\;<\;\color{#966524}{0}\;<\;\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{正数}}_{\text{原点右边}}}\)

两个负数比较，绝对值大的反而小。写两步：先比绝对值，再下结论。

例 3（示范）

比较 \(-\tfrac56\) 和 \(-\tfrac45\) 的大小。

提示 1：先分类

两个都是负数，直接看不出谁在左边，先比它们的绝对值。

看完整示范
想办法：两个负数：先比绝对值，绝对值大的反而小。
执行：\(\left\lvert -\tfrac56\right\rvert=\tfrac56=\tfrac{25}{30}\)，\(\left\lvert -\tfrac45\right\rvert=\tfrac45=\tfrac{24}{30}\)。\(\tfrac{25}{30}>\tfrac{24}{30}\)，所以 \(-\tfrac56<-\tfrac45\)。
检查：绝对值大的 \(-\tfrac56\) 离原点更远，在更左边，所以更小 ✓。别把“\(\tfrac56\) 大”直接抄成结论。

自己试试：\(-\tfrac23\) 和 \(-0.7\) 比，应填哪个符号？\(-\tfrac23\ \bigcirc\ -0.7\)

A。\(\tfrac23=0.666\cdots<0.7\)，\(-\tfrac23\) 的绝对值小，离原点近，在 \(-0.7\) 的右边，所以 \(-\tfrac23>-0.7\)。

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）负数也按“后面的数大就大”来比
❌ 典型错解：“\(5\) 比 \(3\) 大，所以 \(-5>-3\)。”
✅ 看图秒懂：\(-5\) 在 \(-3\) 的左边，左边的数小，所以 \(-5<-3\)。像温度：零下 \(5\) ℃ 比零下 \(3\) ℃ 冷。
翻车现场 ②已知绝对值，只写一个答案
❌ 典型错解：“\(\lvert a\rvert=2\)，所以 \(a=2\)。”
✅ 一眼看清：离原点 \(2\) 个单位的点有两个，一左一右，所以 \(a=2\) 或 \(a=-2\)。只有 \(\lvert a\rvert=0\) 时才只有 \(a=0\) 一个。
翻车现场 ③以为带“−”号的一定是负数
❌ 典型错解：“\(-a\) 前面有负号，一定是负数”“绝对值就是把负号去掉，所以 \(\lvert a\rvert=a\)”。
✅ 一眼看清：取 \(a=-3\)：\(-a=3\) 是正数；\(\lvert a\rvert=3\)，不等于 \(a\)。“去掉负号”只对写出来的具体数字管用，对字母不行。
再深一点（可以先跳过）：正方向换了，怎样标数？

画一条水平数轴，规定向左为正，单位长度为 1。请标出 \(2\)、\(-3\)，再比较它们的大小。原来的“左小右大”还适用吗？

想好后看解释

这里 2 在原点左边，−3 在原点右边，仍有 2＞−3。温度计就是一条竖着的数轴，向上为正方向。只要原点、正方向、单位长度都定好了，竖着画、甚至规定向左为正，都是合格的数轴；只是习惯上水平画、向右为正。规定变了，“左小右大”也要跟着变成“沿正方向越走越大”。

① 相反数和绝对值

拖动点 \(A\)（或点一下圆点再用方向键）。绿色的点是 \(A\) 表示的数的相反数，金色线段的长就是它的绝对值。

② 两个数比大小

拖动 \(P\)、\(Q\)，看谁在左边。两个都拖到原点左边，再看“绝对值大的反而小”。

③ 进阶：到点 C 距离为 d 的点

拖动点 \(C\)，再拖动下面滑块上的圆点改变距离 \(d\)。从 \(C\) 往左、往右各数 \(d\) 格，两边都要算上。把 \(C\) 拖到原点，看看和绝对值有什么关系。

④ 选学深化：我自己定三要素、标点

先用 −3、0、2 画一条数轴，再把三个数标上去。浅灰小格是尺上的位置。

怎么输入？

数与位置只收半角整数、至多两位小数或简单分数（如用斜线写分数，分母为1～99的正整数）；整数或分子最多四位。负号用 -，不用正号、多余前导0、单位、算式、指数或内部空格。不作无限循环小数化分数练习。重复的同一个数必须标在同一位置。

怎么输入？

这里的原点位置填0～16的整数，每单位用1～8个等宽小格。正数朝规定的正方向数，负数朝反方向数，0 在原点。这个选学活动也可以规定向左为正方向；换方向不改变数本身。画布放不下时，重新选原点和单位长度，这些数仍然可以用数轴表示。

    怎么输入？

    也可选点后点数轴，按0.01小格记录；需精确分数位置时输入分数。图上Home/End到尺端，方向键每次0.01小格，Shift每次一小格。相同位置的点分行显示，沿虚线读轴；核对按精确数值，不把接近当相等。

    先自己定三要素，尚未自动标点。

    先画轴、自己标点，再核对。

    选学：这幅轴画得一致吗？

    ⑤ 选学深化：先观察记录，再写我自己的归纳

    先完成甲组观察，再看下一组。四组完成后，用自己的话写规律。

    四组都还没留下自己的观察。

    先观察、自己记录，再写自己的话。

    电脑只核对图中的数值记录，文字归纳和作图理由请自己检查。草稿只在本页保留，刷新或点击相应的清空按钮就会清除。

    从易到难排好了。卡住时先展开提示。

    直接用

    1. 下面哪个数是负分数？

    B。\(-0.75=-\tfrac34\)，是负分数。\(-4\) 是负整数，\(\tfrac23\) 是正分数，\(0\) 是整数。

    2. 化简 \(-\left(-\tfrac49\right)\)。

    B。\(-\left(-\tfrac49\right)\) 是 \(-\tfrac49\) 的相反数，就是 \(\tfrac49\)。相反数只改符号，不把分数倒过来（C、D 是另一回事）。

    易错

    3. 下面说法正确的是哪一个？

    提示

    每个选项都试一个反例：取 \(a=-3\)、取 \(0\) 看看。

    C。A：\(a=-3\) 时 \(-a=3\)；B：\(\lvert 0\rvert=0\)，\(0\) 也满足；D：负数都比 \(0\) 小，没有最小的有理数。

    4. 比较大小：\(-3.2\ \bigcirc\ -3.02\)。

    提示

    两个负数：先比 \(3.2\) 和 \(3.02\)（注意小数位对齐：\(3.20\) 和 \(3.02\)）。

    B。\(\lvert -3.2\rvert=3.20>3.02=\lvert -3.02\rvert\)，绝对值大的反而小，所以 \(-3.2<-3.02\)。

    5. 数轴上到原点的距离是 \(4.5\) 的点，表示的数是？

    提示

    从原点往右、往左各数 \(4.5\) 个单位。

    C。原点两侧各有一个，它们互为相反数，绝对值都是 \(4.5\)（翻车现场 ②）。

    挑战

    6. 点 \(A\) 在原点左边，离原点 \(3\) 个单位，表示数 \(a\)；\(b\) 是 \(a\) 的相反数。把 \(a\)、\(b\)、\(-1.5\)、\(\lvert -2\rvert\) 从小到大排列，正确的是？

    提示 1：先把字母和绝对值都变成具体的数

    \(a=-3\)，\(b=3\)，\(\lvert -2\rvert=2\)。

    提示 2：画在数轴上

    四个点从左到右读出来，就是从小到大。

    A。\(a=-3\)，\(b=3\)，\(\lvert -2\rvert=2\)。从左到右：\(-3\)、\(-1.5\)、\(2\)、\(3\)。B 是把 \(-3\) 当成比 \(-1.5\) 大（翻车现场 ①）；C 把 \(\lvert -2\rvert\) 当成了 \(-2\)。

    本节中考真题

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