培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第六单元 多边形的面积 · 第 1 课
平行四边形的面积
长方形面积会算，平行四边形呢？先猜怎样剪拼，再用长方形的办法讲清理由。
🧭 本节路线导读转化思想 · 割补守恒 · 底高对应
核心问题：平行四边形有斜边，方格数不整，怎样用“沿高割补平移”把它转化为长方形，找到面积的算法，并分清“邻边”与“高”？
- 想一想：拉动长方形木框，看看周长不变时，高和面积怎样变化。
- 摆一摆：连续调节底、高、倾斜度与剪开位置，亲手把平行四边形割补成长方形。
- 讲道理：看懂剪拼前后什么没变，再看短片，比较三个容易做错的地方。
- 看例题：分步看懂“两组底和高”与“草坪小路平移巧算”。
- 练一练：先看图认准底和高，再比面积大小、解决实际问题。
拉一拉木框四根木条长度没变，为什么面积越拉越小？
用四根木条钉成一个长 6 cm、宽 4 cm 的长方形木框，铺在 1 cm² 的方格纸上，正好占 6 × 4 = 24 格（24 cm²）。现在捏住对角慢慢往右拉斜，依次点下面的按钮看变化：
底是 6 cm、斜边是 4 cm，能用“6 × 4 = 24”算面积吗？想一想：把木框压扁成一条细缝，框里的面积已经很小，怎么还会是 24 cm² 呢？
从上面的拉木框实验可以看出，决定平行四边形面积大小的真正关键是什么？
答对了！底边固定为 6 cm 时，木框越往右拉斜，上底往下掉，垂直高度 h 就越矮，框住的方格面积就越小。那为什么面积正好等于“底 × 高”？进下一步亲手剪拼验证！
连续割补实验台沿高剪、平移拼，再换几组底和高
回想长方形面积是长 × 宽。先猜：沿高剪开，剪下的部分只平移，能不能拼成长方形？拖“平移拼合”到 100% 验证，再换底、高和倾斜偏移。
再换几组数，试一试木框
试底 4、高 2；底 6、高 4；底 8、高 5。每次记录拼成的长和宽，看看它们分别对应原图的什么。切换“底边中间剪”后要重新拖到 100%。
另做木框实验：点“重来”，调底 6、高 4、倾斜偏移 0，再点“拉动木框”，慢慢增加“木框偏离直角”。比较周长与面积；再点一次可回到剪拼。
在实验台里，保持底 a = 7 cm、高 h = 4 cm 不变，无论你把“倾斜偏移”调成 1 cm 还是 3 cm，或者把“剪开位置”从顶点换到底边中间，拼成的长方形有什么共同点？
你核对了底和高！只要底 a = 7 cm 和对应高 h = 4 cm 不变，无论图形怎么倾斜、从哪条高剪开，平移后都拼成同一个长 7 cm、宽 4 cm 的长方形，面积都是 7 × 4 = 28（cm²）。
一块平行四边形光伏板，底边长 9 分米，斜边长 6 分米，底边上的垂直高是 5 分米。它的面积是多少平方分米？
找准互相垂直的底和高：底 a = 9 分米，对应高 h = 5 分米（斜边 6 分米是多余干扰条件），面积 S = ah = 9 × 5 = 45（平方分米）。
🔍 想一想：为什么平行四边形的面积 S = ah？
- 剪拼前后什么没有变：把平行四边形沿高剪开再平移拼成长方形，形状虽然变了，但：① 总面积不变（没有多出一块，也没少掉一块）；② 平行四边形的底 a ＝ 长方形的长；③ 平行四边形的高 h ＝ 长方形的宽。因为长方形面积 ＝ 长 × 宽，所以平行四边形面积 ＝ 底 × 高（S = ah）。
- 为什么必须沿着“高”剪，不能斜着剪？长方形的四个角都是直角（90°）。只有沿着垂直于底的高剪开，切口处才会产生直角；而平行四边形对边平行且相等，平移过去后左右两条斜边才能严丝合缝地重合。
- 为什么割补后面积不变，但周长反而变小了？拼成长方形后，上下两条长还是原来的底 a，但左右两条宽变成了垂直高 h。因为直角三角形里垂线段最短（高 h ＜ 斜边），所以拼成长方形后周长变短了，而面积一分没少！
公式正用与逆用知二求一
已知底 a 和对应高 h，求面积：S = a × h；
已知面积 S 和底 a，反求对应高：h = S ÷ a；
已知面积 S 和高 h，反求对应底：a = S ÷ h。
注意：同一平行四边形里，底越长，它对应的高就越短，但乘积 S 始终相等（a₁h₁ = a₂h₂）。
观察发现平行线间的“等底等高”
两条平行线之间的垂直距离处处相等。因此，夹在两条平行线之间、底边长度相等的所有平行四边形，不论倾斜得有多厉害，它们的高都相等，面积也一定相等！
带着问题看短片：① 一摞扑克牌推斜后，每张牌的宽度和总高度变了吗？截面积为什么不变？② 剪下的直角三角形平移了多少距离才刚好拼上？
平行四边形的面积 ＝ 底 × 对应的高（S = ah）；底和高必须互相垂直对准，等底等高的平行四边形面积相等。
三个容易错的地方
• 拉动长方形木框变平行四边形：木条没短 → 周长不变；高变矮 → 面积变小。
• 沿高剪拼平行四边形变长方形：纸片没少 → 面积不变；斜边变垂直宽 → 周长变小。
如图，一个平行四边形零件的两条邻边分别是 10 cm 和 8 cm，其中 10 cm 底边上的高是 6 cm。（1）这个零件的面积是多少平方厘米？（2）8 cm 那条边对应的高 h₂ 是多少厘米？
先想一想：先用哪一对底和高？
先找直角对应，写出已知条件；涉及去掉小路时，先比较小路与草坪的高。
第一步（先求面积）：用已知的一对底高求出平行四边形面积 S = a₁ × h₁ = 10 × 6 = 60（cm²）。
第二步（用面积除以另一条底）：同一个平行四边形面积不变，换以 a₂ = 8 cm 为底时，h₂ = S ÷ a₂ = 60 ÷ 8 = 7.5（cm）。
一个平行四边形木牌，底边长 18 cm，这条底边上的高是 10 cm。如果它的另一条底边长 15 cm，那么 15 cm 这条底边对应的高是多少厘米？
先用对应底高算面积：S = 18 × 10 = 180（cm²）；再反求 15 cm 底上的高：h = 180 ÷ 15 = 12（cm）。检验：15 cm ＜ 18 cm，所以对应高 12 cm ＞ 10 cm，正确！
一块平行四边形草坪，底是 16 米，高是 9 米。草坪中间修了一条底宽 2 米、从上通到下的平行四边形石子小路（如图）。除去小路后，实际种草的面积是多少平方米？
先想一想：先用哪一对底和高？
先找直角对应，写出已知条件；涉及去掉小路时，先比较小路与草坪的高。
• 方法一（总面积 − 小路面积）：16 × 9 − 2 × 9 = 144 − 18 = 126（平方米）。
• 方法二（平移拼起来）：把右边那块草坪往左平移 2 米，跨过小路与左边草坪拼在一起，直接合成一个底为 (16 − 2) = 14 米、高为 9 米的新平行四边形！面积 ＝ 14 × 9 = 126（平方米）。
一块底 20 米、高 8 米的平行四边形菜地，中间有一条底宽 2.5 米、连接上下边的平行四边形水渠。把左右两块菜地平移拼合后，实际种菜的面积是多少平方米？
平移拼合后新平行四边形的底是 20 − 2.5 = 17.5（米），高仍是 8 米，种菜面积 S = 17.5 × 8 = 140（平方米）。
直接用（看图与公式算理）
1. 如图，一个平行四边形标准停车位，底边长 6 米，斜边长 3 米，垂直于底边的高是 2.5 米。这个停车位的面积是多少平方米？
选准互相垂直的底和高：S = ah = 6 × 2.5 = 15（平方米）。
2. 一块平行四边形宣传展板的面积是 72 平方分米，它的底是 9 分米。这条底对应的高是多少分米？
逆用公式：h = S ÷ a = 72 ÷ 9 = 8（分米）。
容易错：先观察，再判断
3. 把一个用木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，它的周长和面积会怎样变化？（ ）
木条长度没变，所以周长不变；拉斜后上底往下掉，垂直高度变矮，底乘高算出的面积变小。
4. 如图，夹在两条平行线之间的甲、乙两个平行四边形，它们的底边都是 5 cm。不用计算具体数值，比较甲和乙的面积：（ ）
等底等高模型：平行线间的距离处处相等，甲和乙底都是 5 cm、高也相等，所以面积完全相等（但乙的斜边更长，所以乙的周长比甲大）。
想一想（多步综合应用）
5. 一个平行四边形相框，底是 10 cm，这条底对应的高是 6 cm。如果把它立起来，以另一条长 12 cm 的边为底，那么 12 cm 这条底对应的高是多少厘米？
不变量是面积：S = 10 × 6 = 60（cm²）；12 cm 底边上的高为 60 ÷ 12 = 5（cm）。
6. 一块平行四边形示范麦田，底是 50 米，对应的高是 30 米。如果平均每平方米收小麦 0.72 千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？
第一步求麦田面积：S = 50 × 30 = 1500（平方米）；第二步求总产量：1500 × 0.72 = 1080（千克）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 20.1 勾股定理及其应用小学平行四边形、三角形、梯形的割补拼图与等积变形方法，正是赵爽弦图与毕达哥拉斯拼图证明勾股定理的核心工具。