培玉 · 小学数学← 返回主页四年级上册 · 第五单元 平行四边形和梯形 · 第 2 课
画垂线和点到直线距离
从一点走到一条直线，怎样找最短的一条路？怎样用三角尺画准？
上一课用三角尺的直角检验垂直。
回想后，再看研究办法
把一条直角边贴在线上，另一条直角边还要经过哪里？先指一指，再移尺。
小明站在马路边的 A 点，想要穿过马路到对面的笔直马路牙子。沿着哪条路线走距离最短？
对，垂直走过去路线最短！在数学上，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
怎样准确地画出这条垂直线段？什么叫“点到直线的距离”呢？
1. 用一把三角尺画垂线的三步法
无论是过直线上一点还是过直线外一点画垂线，都用三角尺按“一靠、二移、三画”三步完成（画完标上直角符号）。点按钮一步步试试！
准备就绪：请依次点击“① 一靠”“② 二移”“③ 三画（标直角）”。
画法口诀（一靠、二移、三画）：
① 一靠：把三角尺的一条直角边紧靠在已知直线上；
② 二移：沿着直线平移三角尺，使另一条直角边正好经过已知点 A（无论点 A 在直线上还是直线外）；
③ 三画：沿着另一条直角边画出垂线，并在交点处标上直角符号。
2. 垂直线段最短与点到直线的距离
先猜哪条路线最短，再沿直线移动端点量一量。把点 A 换远一点、近一点，最短路线的方向会变吗？
垂直线段 ③：长 3 cm（最短！这就是点 A 到直线的距离）。
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。
点 A 的位置改变，距离也会改变；只移动直线上的端点，点 A 到直线的距离不变。
从操作中讲清道理
- 一条直角边靠紧已知直线，另一条直角边就和它垂直。移动时不能转歪，直到这条边经过指定点。
- 把线段的另一端沿直线左右移动，比较显示的长度；再换点 A 离直线的远近，重复比较。
- 垂直时最短。我们把这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离；距离要带单位，不能只指着一条线。
回到实验台，再换两个位置或形状检验。用自己的话说说：什么变了，什么没变？
1. 画垂线：一直角边靠线，另一直角边过点，画线并标直角符号。
2. 垂直线段最短：从直线外一点到直线所画的垂直线段最短。
3. 距离是长度：垂直线段的长度叫作点到直线的距离。
两个容易错的地方
画出来的线与原直线不是 90°，不是真正的垂线。
画线前摸一摸三角尺的直角，确保贴线的边和画线的边夹着直角。
说“这条垂直线段就是距离”。
线段是一条具体的几何线段，而距离是这条线段的“长度（数值和单位）”。
先自己想，再逐步看提示
点 P 到直线的垂直线段长 5 厘米，另一条斜线段长 8 厘米。点 P 到直线的距离是多少？
① 读懂题意
圈出“垂直线段”，再找它的长度。
② 说明理由或列式
距离是垂直线段的长度，所以是 5 厘米，不是 8 厘米。
③ 检查与易错提醒
检验：5 比 8 小，符合垂直线段最短；不用把两条线段相加。
用三角尺画已知直线的垂线，三角尺的哪一条边必须紧贴已知直线？
A。必须用三角尺的一条直角边靠在直线上，沿另一条直角边画线，画出来的角才是 90° 直角。
从点 P 向直线画了三条线段，分别长 5 厘米、4 厘米、6 厘米，其中有一条是垂直线段。点 P 到这条直线的距离是多少厘米？
垂直线段最短，所以长 4 厘米的是垂直线段。点 P 到直线的距离是 4 厘米。
直接用
1. 村庄 A 要引一条水渠到小河。怎样修水渠所挖的水渠长度最短？
B。根据“垂直线段最短”，从村庄 A 向小河画垂线，沿垂直方向修水渠长度最短。
2. 直角三角形 ABC 中，直角边 AB 长 2 厘米，斜边 AC 长 3 厘米。顶点 A 到底边 BC 的距离是多少厘米？
AB 与 BC 互相垂直，AB 的长度就是点 A 到 BC 的距离，是 2 厘米。
3. 过直线外一点 A，可以画出已知直线的多少条垂线？
A。在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
容易错
4. 下面关于“点到直线的距离”的说法中，正确的是：
C。距离指的是垂直线段的“长度”，带有单位，是一个数值。
5. 过直线上的一点，在同一个平面内能画出多少条这条直线的垂线？
无论点在直线外还是直线上，过该点画已知直线的垂线都只有 1 条。
想一想
6. 跳远比赛时，裁判员是怎样测量选手的成绩的？怎样确定落脚点到起跳线的距离？
B。跳远成绩测量正是应用了“点到直线的距离（垂直线段最短）”原理，从最近落点向起跳板所在直线拉垂线测量。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 7.2 平行线小学通过三角尺与直尺画垂线和平行线、认识点到直线的距离，初中在此基础上用同位角、内错角、同旁内角建立平行线的判定与性质定理。
- 初中 · 21.2 平行四边形小学直观认识平行四边形对边平行且相等、认识底和高，初中通过连接对角线构造全等三角形，严格证明边、角、对角线互相平分的充要条件。