培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第五单元 用字母表示数和数量关系 · 第 5 课
找规律用字母表示
图形一节一节拼下去，怎样找出“不变的起步数”和“每次多出的数”？
本节路线导读
核心问题：拼接图形时，怎样把“始终不变”和“每次增加”写进同一个式子？
先修：用字母表示倍数关系 · 先修：等式的基本性质 · 初中衔接：用含有字母的式子解释规律。
先从已学的“几个几”猜规律，再拆图、拖动验证，最后用字母说明为什么。
以前算“4 个 6”可以用乘法。现在把 4 张桌子拼在一起，还能直接算 4 × 6 吗？先猜，再看图。
学校阅览室把长方形阅览桌拼成一长排，每张长桌上下两侧各坐 2 人（共 4 人），整排的左右两端各坐 1 人（共 2 人）：
依次数出 1、2、3 张桌子的座位。哪部分没有变？哪部分随桌子增加？
先猜 4 张桌子能坐多少人，再选一种拆法说给同伴听。
如果用 n 表示 m 张长桌拼成一排可坐的总人数，怎样用含字母的式子表示 n 和 m 之间的关系？
左右两端固定坐 2 人，每张长桌上下两侧坐 4 人，所以 m 张长桌上下共坐 4m 人。合起来一共可以坐 n = 2 + 4m 人！
搭一搭，再用线段验证
先在纸上画 1、2、3 个相连的正方形，逐根数火柴棒。第一个用 4 根，后面每多一个，真的还要 4 根吗？
把“正方形个数”先记作 x。下面线段台用 a 表示同一个个数：a 就是这里的 x。三条同色线段分别表示上边、下边、右边各 x 根，另加起步的 1 根。
自己试试：先猜 x = 4、x = 6 各需几根，再拖滑块验证。把个数增加 1，火柴棒总数每次增加多少？本台只研究至少 1 个正方形。
照上面的规律，搭 x 个连续的正方形，一共需要多少根火柴棒？
最左边 1 根竖边固定起步，后面每搭 1 个正方形都需要添 3 根（上、下、右），所以 x 个正方形一共需要 1 + 3x（也就是 3x + 1）根火柴棒。
为什么是“起步数 + 每次增加数 × 个数”？
- 先列几例：连续正方形用 4、7、10 根。只看数，猜出每次多 3 根；还要看图说明原因。
- 再拆图：先留最左边 1 根。每个正方形只添上、下、右 3 根，左边借用已有的边。所以 x 个就是 1 + 3x 根。
- 换一个情境：拼桌的两端固定 2 人，每张桌子两侧添 4 人，得到 2 + 4m。两个式子都要保留固定部分。
- 用图保证一直成立：无论继续拼多少个，公用边和新增部分的摆法相同。几次代入能检查错式子，拆图才说明为什么一直这样。
找图形拼接规律时，先找固定不变的“起步数”，再看每增加 1 个图形固定多出多少，就能写出含有字母的式子。
找规律三步法秘籍：
- 第一步（列一列）：把第 1、2、3 个图形的具体数量算出来。
- 第二步（拆一拆）：分清“哪一部分固定不变”“哪一部分每次增加相同的数”。
- 第三步（验一验）：写出含有字母的式子后，把 n = 1、n = 2 代入算一算，检验和图里对不对！
两个容易错的地方
例题 · 连续正方形
用火柴棒连续搭 9 个正方形，一共需要多少根？先想，再逐步打开提示。
① 读懂题意：哪条边可以共用？
相邻两个正方形共用中间的竖边。先留下最左边 1 根，再给每个正方形添 3 根。
② 列式推导：怎样代入个数？
需要 1 + 3x 根。x = 9 时，1 + 3 × 9 = 28（根）。先乘后加。
③ 检验：比单独搭少多少根？
单独搭需 4 × 9 = 36 根，相连后 8 处公用边少用 8 根，36 − 8 = 28，与结果一致。
连续搭 7 个正方形，需要多少根火柴棒？
1 + 3 × 7 = 22（根）。也可用 4 × 7 − 6 = 22 检验。
直接用
1. 在本课阅览室拼长桌模型中，可坐人数关系式为 n = 2 + 4m。当拼 8 张长桌（m = 8）时，一共可以坐多少人？
将 m = 8 代入：n = 2 + 4 × 8 = 2 + 32 = 34（人）。
2. 观察一列双数（偶数）：2，4，6，8，10，…，这列数中的第 n 个数是（ ）。
第 1 个是 2 × 1 = 2，第 2 个是 2 × 2 = 4，第 3 个是 2 × 3 = 6，所以第 n 个数是 2n。
3. 观察一列单数（奇数）：1，3，5，7，9，…，第 n 个数可以表示为 2n − 1。这列数中的第 15 个数是多少？
将 n = 15 代入：2 × 15 − 1 = 30 − 1 = 29。
容易错
4. 如图，用火柴棒搭连续的一排三角形，搭 1 个用 3 根，搭 2 个用 5 根，搭 3 个用 7 根……搭 k 个连续的三角形需要（ ）根火柴棒。
最左边 1 根斜边起步，每增加 1 个三角形多用 2 根（另一条斜边和一条横边），搭 k 个连续的三角形需要 1 + 2k（即 2k + 1）根火柴棒。
5. 在阅览室拼长桌模型中，可坐人数关系式是 n = 2 + 4m。如果现在来了 30 位同学（n = 30），一共需要拼多少张长桌？
2 + 4m = 30，等式两边同时减 2 得 4m = 28，两边再同时除以 4 得 m = 7（张）。
想一想
6. 观察正方形点阵：第 1 幅图有 1 个圆片（1×1），第 2 幅图有 4 个（2×2），第 3 幅图有 9 个（3×3）……第 n 幅图的圆片个数是 n²。第 8 幅图一共有多少个圆片？
第 8 幅图的圆片个数是 8² = 8 × 8 = 64（个）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 3.1 列代数式表示数量关系小学初步学会用字母代替未知数或公式中的边长，初中将其系统化为代数式书写规范，支撑后续一切整式与方程运算。
- 初中 · 3.2 代数式的值小学把具体数值代入含字母的公式求值，在初中扩展为含负数、分数与乘方的代数式代入求值。
- 初中 · 5.1 方程小学通过天平平衡认识等式的基本性质并用含字母的式子表示数量关系，初中在此基础上正式引入方程概念，严格定义一元一次方程并用同解变形求解。