培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第五章 一元一次方程
5.1 方程
倒着推的算式想不出来时，让未知数也“上场”：先把相等关系写成含未知数的等式，再像天平一样两边一起动，把它一步步变成“\(x=\) 几”。
本节导读 先修：用字母表示数、整式、有理数运算 · 本节路线
要用到：用字母表示数、列式子（回看 3.1）；整式（回看 4.1）；有理数的加减乘除（回看 2.1）。方程这一节从头讲，不假定你学过。
- 从买酸奶进入：倒着推和“顺着说”两种想法。
- 认识方程、方程的解、一元一次方程，学会判断。
- 列方程：同一个量用两种方式表示，两式相等。
- 等式的性质：天平两边一起加减、一起乘除。
- 用等式的性质解简单方程，并代入原方程检验。
- 练习与中考真题，回看三大翻车现场。
妈妈给小林 \(40\) 元，让他买 \(3\) 盒一样的酸奶，付完钱找回 \(7\) 元。把每盒的价钱看成一个盒子 \(x\)，放上天平：左盘是 \(3\) 盒的钱加找回的 \(7\) 元，右盘是带去的 \(40\) 元。先试几个价钱，看天平什么时候平：
每盒酸奶多少元？
A。实际花了33元，买3盒，每盒11元。先扣掉找回的钱，再平均分。
详细解释
A。倒着推：花掉的是 \(40-7=33\) 元，\(33\div 3=11\) 元。选 B 是把找回的 \(7\) 元加了上去（\(47\div3\)）；选 C 是忘了扣掉找回的钱（\(40\div 3\)）。
换个想法：不急着倒推，先顺着事情的经过说一句话——“\(3\) 盒的钱 \(+\) 找回的钱 \(=\) 带去的钱”，写下来就是 \(3x+7=40\)。这种含有未知数的等式就是方程。这一节回答：什么样的式子是方程？怎样列方程？天平为什么能帮我们解方程？
1. 先认识几个词：方程、方程的解、一元一次方程
前置知识：用字母表示数（回看 3.1）、整式（回看 4.1）。小学可能没学过方程，这里从头讲。
方程：含有未知数的等式。等号左边的式子叫左边，右边的叫右边。等号和未知数缺一不可。
方程的解：使方程左边、右边的值相等的未知数的值。求方程的解的过程叫解方程。
一元一次方程：只含一个未知数（元），未知数的次数都是 \(1\)，等号两边都是整式。例如 \(3x+7=40\)。
直觉微图解 ①逐关检查：它是不是方程？是不是一元一次方程？
核心概念 ②“方程的解”是一个数，“解方程”是一件事
“\(11\) 是方程 \(3x+7=40\) 的解”说的是一个值；“我们来解这个方程”说的是一个过程。判断一个数是不是解，只有一个办法：代入原方程，左边、右边分别算，看相不相等。
核心概念 ③一元一次方程：三关都要过
一元：\(x+y=5\) 有两个未知数 ✕。一次：\(x^2=49\) 中 \(x\) 的次数是 \(2\) ✕。整式：\(\tfrac{6}{x}=2\) 分母里有未知数 ✕。而 \(\tfrac{x}{3}=4\) 的分母是数 \(3\)，\(\tfrac{x}{3}\) 是整式 ✓。
自己试试：下面哪个是一元一次方程？
C。分母是数 \(5\)，\(\tfrac{x+4}{5}\) 是整式；只有一个未知数，次数是 \(1\)。A 中 \(x\) 的次数是 \(2\)；B 有两个未知数；D 分母里有未知数，不是整式。
2. 核心点：列方程——同一个量，说两遍
列方程最常用的相等关系有两种：同一个量用两种方式表示，两式相等；部分之和 \(=\) 总量。关键是先用一句话把相等关系说出来，再翻译成式子。
四步：设未知数（带单位）→ 用含 \(x\) 的式子表示有关的量 → 用一句话说出相等关系 → 写成方程。
直觉微图解 ②两箱水：只在某一刻一样多
甲箱有水 \(60\) 升，每分钟放出 \(2\) 升；乙箱有水 \(15\) 升，每分钟注入 \(3\) 升。\(t\) 分钟后，甲箱 \((60-2t)\) 升，乙箱 \((15+3t)\) 升。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
学校买跳绳和毽子：一根跳绳比一个毽子贵 \(5\) 元，买 \(4\) 根跳绳和 \(6\) 个毽子一共花 \(70\) 元。毽子每个多少元？只列方程。
① 读懂题意：要求的是毽子的单价。知道的有：差价 \(5\) 元、两种东西的个数、总价 \(70\) 元。哪句话能写成等式？
提示 1：设谁为 \(x\)？
问什么就设什么：设毽子每个 \(x\) 元。跳绳每根多少元，能用 \(x\) 表示吗？
提示 2：一句话说出相等关系
“跳绳的钱 \(+\) 毽子的钱 \(=\) 总共花的钱”——这是“部分之和 \(=\) 总量”。
看完整示范
④ 回头看：代入 \(x=5\) 试一试：左边 \(4\times 10+6\times5=70\)，右边 \(70\)，相等，所以毽子每个 \(5\) 元。用算式倒推要先想“多出的 \(4\times5\) 元怎么处理”，绕一个弯；列方程只要顺着说一遍。
自己试试：\(x=-3\) 是不是方程 \(4-2x=x+13\) 的解？
A。代入原方程分别算：左边 \(=4-2\times(-3)=4+6=10\)，右边 \(=-3+13=10\)，左边 \(=\) 右边。容易错在 \(-2x\)：\(x=-3\) 时它是 \(+6\)，算成 \(-6\) 就会得到左边 \(-2\)，误判为“不是”。
3. 核心点：等式的性质——天平两边一起动
先说两个基本事实：等式两边可以交换（\(a=b\)，那么 \(b=a\)）；相等可以传递（\(a=b\)，\(b=c\)，那么 \(a=c\)）。再看怎样“动”一个等式，它仍然相等：
性质 2：\(a=b\;\Rightarrow\;\color{#966524}{\underbrace{ac=bc}_{\text{两边乘同一个数}}}\)，\(\color{#B5452F}{\underbrace{\tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{c}}_{\text{两边除以同一个数，}c\ne0}}\)
直觉微图解 ③天平上的 \(2x+6=14\)：两边一起动才平
解方程，就是用等式的性质把方程一步步变成 \(x=m\)（\(m\) 是一个常数）的样子。每一步都说清：两边做了什么，依据哪一条性质。
例 2（示范）
解方程：(1) \(5x+8=-7\)；(2) \(-\tfrac{x}{3}+2=6\)。
① 读懂题意：目标是让左边只剩 \(x\)。挡在 \(x\) 前面的有什么？先去掉哪一个？
提示：先去加减，再去乘除
(1) 先两边减 \(8\)，再两边除以 \(5\)。(2) 先两边减 \(2\)，再想：\(-\tfrac{x}{3}\) 乘几能变成 \(x\)？
看完整示范
④ 回头看：每一步都是“两边做同样的事”。(2) 里乘的是 \(-3\) 而不是 \(3\)：要把 \(-\tfrac13\) 变成 \(1\)。
自己试试：解方程 \(-\tfrac{x}{4}+3=5\)，得 \(x=\)？
A。两边减 \(3\)，得 \(-\tfrac{x}{4}=2\)；两边乘 \(-4\)，得 \(x=-8\)。检验：\(-\tfrac{-8}{4}+3=2+3=5\) ✓。B 丢了负号；C 是把 \(3\) 加到了右边（\(5+3=8\)，再乘 \(-4\)）；D 是两边除以了 \(-4\)，乘除弄反了。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：方程只能是一元一次吗？
正方形面积是 \(49\)，用 \(x\) 表示边长，可以列出什么等式？它是方程吗？是一元一次方程吗？先按定义判断，不要求本章求解。
想好后看解释
可列 \(x^2=49\)。它是含未知数的等式，所以是方程；未知数的次数是 \(2\)，不是一元一次方程。
① 试值找解：哪个 \(x\) 让两边相等
先选一个方程，再拖动下方 \(x\) 轴上的圆点（或点一下圆点再用方向键），把每个 \(x\) 代进去试。上方数轴上，金色三角是左边的值，绿色三角是右边的数；两个三角重合时，这个 \(x\) 就是方程的解。试完再用等式的性质解一遍，对一对。
② 进阶：只许两边一起动，把盒子“称”出来
盒子的重量藏起来了。只许对两边做同样的事，最后让左盘只剩一个盒子——右盘的数就是 \(x\)。也试试“只左边减 1”会怎样。
从算术尝试到自己的方程
给社团买 4 本同价笔记本，另付包装费 6 元，总共花 34 元。每本多少钱？先尝试算术方法，写出卡住的地方或你的算法，再让未知量参与运算。
怎么输入？
文字理由请对照准则自己检查。计算时可用一个小写英文字母、整数、有限小数、括号和 + − * /；数乘字母可省略乘号。网页不支持的写法请改写，分数用 /，不要填单位。核对时要用精确分数，不要用近似小数代替。
再解一个方程
解 −3x + 6 = 18。这一次，自己写下一行。
怎么做？
每次选择双边动作、写所用的数或式子，亲写下一行等式并选择依据。最终写成 x = 一个数，再回原方程检验。
把操作推广成一般的说理
自己先写：若 a=b，两边加（减）同一个数或式子，为什么仍相等？乘同一个非零数与乘 0 有什么差别？除以什么数必须拒绝？用一个含负数的相等等式试验，再用字母说明。
自核依据：a+c=b+c、a−c=b−c；ac=bc；c 不为 0 时 a/c=b/c。同乘 0 仍得到真的等式，但原来未知数的限制丢失，不能靠它求原方程的解。除以 0 无意义。乘除负数时等式仍用等号。请对照这些要点，自己检查文字说明。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下面哪个是方程？
C。方程要同时有等号和未知数。A 有等号但没有未知数；B、D 有字母但没有等号，只是式子。
2. \(x=-2\) 是下面哪个方程的解？
B。代入：\(3-(-2)=5\)，左右相等。A 左边是 \(-3\)；C 左边是 \(-1\)；D 左边是 \(-8\)。它们都是 \(x=1\) 或 \(x=2\) 时才成立，别把 \(-2\) 当成 \(2\)。
易错
3. 下面哪个是一元一次方程？
提示
按“一元 → 一次 → 整式”三关逐个过，分母里有没有未知数要看清。
D。\(\tfrac{x}{4}\) 的分母是数 \(4\)，是整式；一个未知数，次数是 \(1\)。B 看起来也只有一个 \(x\)，但分母里含未知数，不是整式；A 次数是 \(2\)；C 有两个未知数。
4. 由 \(a=b\)，一定能得到下面哪个等式？
提示
逐个看：两边做的是不是同一件事？除以的数会不会是 \(0\)？
C。两边乘 \(-1\) 得 \(-a=-b\)，再两边加 \(5\)。A、D 两边做的不一样；B 的 \(c\) 可能是 \(0\)，所以不能说“一定”——除以的数必须不为 \(0\)。
5. 小华说：“方程 \(7x=3x\) 两边都除以 \(x\)，得 \(7=3\)，所以这个方程没有解。”他说得对吗？
提示
代一个特别的数试试：\(x=0\) 时，两边各是多少？
B。\(x=0\) 时左边 \(0\)、右边 \(0\)，相等，所以 \(0\) 就是它的解。错在“两边除以 \(x\)”：\(x\) 可能是 \(0\)，性质 2 只允许除以不为 \(0\) 的数。
挑战
6. 已知 \(x=-2\) 是方程 \(4x+m=3-x\) 的解，那么 \(m\) 等于多少？
提示 1：“是解”是什么意思
把 \(x=-2\) 代进去，左右两边相等。代入后，方程里还剩哪个未知的字母？
提示 2：再解一个方程
代入后两边各算出来，得到一个关于 \(m\) 的方程，用等式的性质求 \(m\)。
A。代入：左边 \(4\times(-2)+m=-8+m\)，右边 \(3-(-2)=5\)。得 \(-8+m=5\)，两边加 \(8\)，\(m=13\)。选 B 是漏掉了系数 \(4\)，把 \(4x\) 当成 \(x\)：\(-2+m=5\)，误算 \(m=7\)；选 C 是把右边 \(3-(-2)\) 算成了 \(1\)：\(-8+m=1\)，\(m=9\)；选 D 是把 \(x\) 当成 \(2\) 代入：\(8+m=3-2=1\)，\(m=-7\)。
本节真题与练习
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各地中考常在选择题里考方程的解、等式的性质。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 五上第5单元 · 用字母表示数和数量关系小学通过天平平衡认识等式的基本性质并用含字母的式子表示数量关系，初中在此基础上正式引入方程概念，严格定义一元一次方程并用同解变形求解。