培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第五单元 用字母表示数和数量关系 · 第 4 课
等式的基本性质
平衡的天平两边怎样变，才能一直保持平衡？怎样靠它求出未知的数？
本节路线：怎样改变两边，才能仍然相等？
从已经会算的 12 + 8 = 20 出发，先猜，再调天平验证，最后把共同做法说成等式的性质。
- 想一想：拿走一样多，会怎样？
- 摆一摆：改质量、改份数，观察两边。
- 讲道理：相等的量为何能一起改变？
- 看例题：用相同操作求未知数并检验。
- 练一练：判断操作，再解决问题。
天平怎样保持平衡：
天平两端平衡，表示左右两边的质量完全相等。就像数学里的等式：12 + 8 = 20。
先猜两边各加 3 克后是否仍相等，再点按钮核对。图中的 m 表示每边增加的同一个质量。
加上相同的量后还是一样重；反过来，两边都拿走一样多，会怎样？先选，再到实验台验证。
如果天平两边原本平衡，从两边同时拿走相同质量的物体 n，天平会怎样？
两边拿走的质量相同，天平两端依然平衡！用含字母的等式表示就是：12 + 8 − n = 20 − n。
让天平两边一起变化
先猜：从两边同时拿走 8 克，会失去平衡吗？再拖动“拿走进度”检验。实验台统一用 x 表示未知质量，字母换成 a 或 m，道理一样。
自己试试 ①：先用 x + 16 = 40，把拿走进度从 0 拖到 100；再把已知砝码改成 12、总质量改成 30，重新试。两边始终保持什么关系？
自己试试 ②：点“a·x = c”，把份数调成 4、总质量调成 36。先猜每份是多少，再把均分进度拖到 100。把份数改成 3、总量改成 27，再验证。
在拿走或均分的中途，点“只对左边执行当前操作”。观察倾斜方向，再恢复两边同时操作。点“重来”可重新验证。
从几次操作，找出共同的理由
- 先看总量：左边的 x + 16 与右边的 40 表示一样重的两份。都拿走 8 克后，一边少 8 克，另一边也少 8 克，所以仍一样重。
- 再看同减与同加：继续拿走，直到两边各拿走 16 克，左边只剩 x，右边剩 24。反过来给两边各放回 16 克，又回到原来的平衡。
- 换一组验证均分：4 个 x 与 36 克相等，把两边都平均分成 4 份，每份仍一样重：x 与 9 克相等。将每份都取 4 份，就回到 4x = 36；同除与同乘互相对应。
- 比较反例：只改变一边时，另一边没有同样改变，一般就不再相等。相同操作、同时做在两边，才是保持相等的关键。
等式的两条基本性质（如果 a = b）：
- 性质 ①（同加同减）：a + c = b + c，a − c = b − c（等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等）。
- 性质 ②（同乘同除）：ac = bc，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式两边仍然相等）。
利用等式性质求未知数时，一般把含未知数的部分写在左边，在两边同时做逆运算（如 4m = 10，两边同时除以 4：4m ÷ 4 = 10 ÷ 4，得 m = 2.5）。
等式两边同时加上或减去同一个数、同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，等式两边仍然相等。
为什么等式两边同时除以一个数时，必须强调“c ≠ 0”？
在除法运算里，0 不能作除数！比如 5 × 0 = 8 × 0 是成立的（两边都等于 0），但如果允许两边同时除以 0，就会得出“5 = 8”的荒唐结果。所以同时除以 c 时，必须保证 c ≠ 0。
两个容易错的地方
例题 · 求未知质量
一个盒子和 16 克砝码合起来是 40 克。用 x 表示盒子的质量，盒子有多重？先自己想，卡住时逐条打开提示。
① 读懂题意：哪两份质量相等？
盒子质量 + 16 克 = 总质量 40 克，所以写成 x + 16 = 40。
② 列式推导：怎样只留下盒子？
两边同时减去 16：x + 16 − 16 = 40 − 16，得到 x = 24。只减左边，会把原来的相等关系破坏。
③ 检验：把结果放回题里
24 + 16 = 40，左右相等；盒子比总质量轻，符合题意。答：盒子的质量是 24 克。
求等式 x − 18 = 30 中的未知数 x，正确的做法是（ ）。
左边是 x − 18，要消除“− 18”只留下 x，必须在等式两边同时加上 18：x − 18 + 18 = 30 + 18，求得 x = 48。
直接用
1. 如果 a = b，那么 a − 9 = b −（ ）。
等式两边必须同时减去同一个数 9，左右两边才仍然相等，所以填 9。
2. 在等式 x + 14 = 30 中，运用等式的基本性质，两边同时减去 14，求得未知数 x 是多少？
x + 14 − 14 = 30 − 14，求得 x = 16。
3. 如果 m ÷ 6 = 9，等式两边同时乘 6，求得 m 的值是多少？
两边同时乘 6：m ÷ 6 × 6 = 9 × 6，得到 m = 54。
容易错
4. 如果 m = n，根据等式的基本性质，下列式子不一定成立的是（ ）。
两边同时除以一个数时，只有除数不为 0 才成立。题目没有说明 k ≠ 0，当 k = 0 时除法没有意义，所以 C 不一定成立。
5. 已知 5y = 35，求 y 的值，等式两边应该同时（ ）。
两边同时除以 5：5y ÷ 5 = 35 ÷ 5，得到 y = 7。
想一想
6. 王红每分钟打字 45 个，打字时间为 t 分钟，打字总数是 45t 个。当打字总数达到 900 个时，45t = 900。求她打字的时间 t 是多少分钟？
等式两边同时除以 45：45t ÷ 45 = 900 ÷ 45，求得 t = 20（分钟）。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 3.1 列代数式表示数量关系小学初步学会用字母代替未知数或公式中的边长，初中将其系统化为代数式书写规范，支撑后续一切整式与方程运算。
- 初中 · 3.2 代数式的值小学把具体数值代入含字母的公式求值，在初中扩展为含负数、分数与乘方的代数式代入求值。
- 初中 · 5.1 方程小学通过天平平衡认识等式的基本性质并用含字母的式子表示数量关系，初中在此基础上正式引入方程概念，严格定义一元一次方程并用同解变形求解。