并排比较

2025 年山东预赛

P006367 · 组合计数综合

记 $[2025]=\{1,2,\dots ,2025\}$。设集合族 $\mathcal{F}$ 由 $[2025]$ 的若干个元素个数不超过 $2$ 的子集构成，且满足 $\varnothing \in \mathcal{F}$。记

对 $i=0,1$，已知：若集合 $X\in {\mathcal{F}}_i$，则 ${\mathcal{F}}_{i+1}$ 中至少有 $13$ 个不同集合 $Y$ 满足 $X\subseteq Y$。

（1）求 $\mathcal{F}$ 所含子集个数 $|\mathcal{F}|$ 的最小可能值 $f$；

（2）当 $|\mathcal{F}|=f$ 时，求不同集合族 $\mathcal{F}$ 的个数。

2022 年吉林预赛

P006863 · 组合计数综合

$n$ 个学生参加一次数学考试，试卷由 $m$ 道题组成，考虑如下的统计结果：设 $\alpha (0<\alpha <1)$ 是一个实数，至少有 $\alpha m$ 道题为难题（一道题是难题是指至少有 $\alpha n$ 个学生未解出此题），且至少有 $\alpha n$ 个学生及格（一个学生及格是指至少解决了 $\alpha m$ 道题）。试就

确定上述情形是否可能。