2015 年湖南高中数学竞赛

将某选手的 $9$ 个得分去掉 $1$ 个最高分，去掉 $1$ 个最低分，$7$ 个剩余分数的平均分为 $91$。现场做的 $9$ 个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 $x$ 表示，则 $7$ 个剩余分数的方差为（ ）。

1. (A)

   $\frac{116}{9}$

2. (B)

   $\frac{36}{7}$

3. (C)

   $36$

4. (D)

   $\frac{6\sqrt{7}}{7}$

若半径为 $R$ 的球的内部装有 $4$ 个有相同半径 $r$ 的小球，则小球半径 $r$ 可能的最大值是（ ）。

1. (A)

   $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}R$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}R$

3. (C)

   $\frac{1}{1+\sqrt{3}}R$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}R$

已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都有 $a_n>b_n$。当 $n\to +\infty$ 时，数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的极限分别是 $A$ 和 $B$，则（ ）。

1. (A)

   $A>B$

2. (B)

   $A\ge B$

3. (C)

   $A\ne B$

4. (D)

   $A$ 和 $B$ 的大小关系不确定