2022 年中科大少年班复试

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本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

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第 1 题

在 $△ A BC$ 中，记 $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边长。已知 $A = 2 C$ ，且 $a^{2} = b (b + c) = 1$ ，求 $△ A BC$ 的面积。

本题整理中，不计分。

已知 $f (x) = x^{4} + p x^{3} + q$ 。

(1) 求 $p, q$ 满足什么条件时 $f (x) > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立；

(2) 若存在 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in R$ ，使得

f (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) (x - a_{3}) (x - a_{4}),

求 $p, q$ 满足什么条件。

有90位学生参加面试，学生来自 $A, B, C$ 三校，其中 $A$ 校20人， $B$ 校30人， $C$ 校40人。面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕后再进行下一位。求 $A$ 校学生先于其他两校学生全部完成面试的概率。

设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是五个矩形区域（边平行于坐标轴）。证明：总能找到两个集合，使得剩下三个集合的交集包含于这两个集合的并集。例如：

(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) \subset (A_{4} \cup A_{5}) .