培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第三册 · 第 8 章 成对数据的统计分析
8.2 一元线性回归模型及其应用
散点大致排成一条斜线时，画一条“最贴近”它们的直线，就能用 \(x\) 估计 \(y\)。这一节讲：哪条线算最贴近、怎么算出来、用它预测时要小心什么。
小卖部记下了 \(5\) 天的最高气温和卖出的冰棍数。先根据题目数据作答，再操作图示核对。
| 气温 / ℃ | \(20\) | \(22\) | \(24\) | \(26\) | \(28\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 冰棍 / 根 | \(40\) | \(46\) | \(50\) | \(55\) | \(59\) |
按这个势头，明天预报 \(30\) ℃，大约能卖多少根？
C。气温每高 \(2\) ℃，大约多卖 \(5\) 根，从 \(28\) ℃ 的 \(59\) 根再往上走一步，约 \(64\) 根。
你其实在心里画了一条直线：五个点并不正好在一条线上（每一步多卖 \(6,4,5,4\) 根），但大致沿着一条斜线往上走。
这一节把这件事做准：在所有直线里，按一个明确的标准挑出最贴近这些点的那一条（最小二乘法），再用它估计。也要讲清楚：这样的估计是“平均来说大约多少”，不是“一定是多少”。
1. 先认识几个词
要用到：8.1 散点图与相关系数（回看 8.1）；必修一 2.3 二次函数最值（回看 2.3）。线性回归是用一条最优直线去拟合散点的宏观规律。
课本用词：回归线用于样本范围内的估计；远离样本范围的外推风险很大，残差应看实际值与预测值的差。
一元线性回归模型：描述因变量 \(Y\) 随自变量 \(x\) 线性变化并伴随随机波动的数学模型：
$$Y = bx + a + e$$
在所研究范围内，假定给定x时的平均趋势可近似表示为bx+a。这里 \(a\) 是截距，\(b\) 是斜率（总体参数，未知）；\(e\) 是随机误差项（受测量误差、潜变量扰动等不可控因素产生，满足 \(E(e) = 0\)）。
最小二乘法（残差平方和最小化）：如何在一大群散点中画出“最完美”的一条直线？
高斯准则：不比水平距离，也不比垂直绝对值，而是比较每个样本点到直线的竖直偏差（残差 \(e_i = y_i - \hat{y}_i\)）的平方和：
$$Q(a, b) = \sum_{i=1}^n (y_i - (bx_i + a))^2$$
使这个二次函数达到全域最小值的直线，就是经验回归方程 \(\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}\)！
样本中心点 \((\bar{x}, \bar{y})\)：所有样本点的均值构成的坐标点。由最小二乘法可知：经验回归直线一定穿过样本中心点 \((\bar{x}, \bar{y})\)。
$$\bar{y} = \hat{b}\bar{x} + \hat{a} \Longrightarrow \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$$
无论大题怎样出，只要算出斜率 \(\hat{b}\)，截距 \(\hat{a}\) 直接代入样本中心点秒解！
残差 \(e_i\) 与决定系数 \(R^2\)：
• 残差：真实观测值减去模型预测值：\(e_i = y_i - \hat{y}_i\)（点在线上方残差为正，在下方为负）；
• 决定系数 \(R^2\)：模型解释因变量波动的能力占比，\(R^2\) 越接近 1，拟合精度越高（在一元线性回归中，恰好等于相关系数的平方：\(R^2 = r^2\)）。
形式：\(Y = bx + a + e\)。
内涵：选定情境与范围内的近似模型，参数 \(a, b\) 恒定但未知，含随机误差项 \(e\)。
特质：不同人抽样，估计出来的 \(\hat{b}\) 围绕真值 \(b\) 波动。
形式：\(\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}\)。
内涵：带帽子表示估计值，由最小二乘法计算得出。
特质：必定经过样本中心点 \((\bar{x}, \bar{y})\)，主要用于样本范围内估计，外推需另作评估。
2. 经验回归主公式与残差计算法则
回归方程两步求法与核心公式：
经验回归方程：\(\hat{y} = \color{#1976d2}{\hat{b}}x + \color{#2e7d32}{\hat{a}}\)
前提：含截距的普通最小二乘，且x不全相同（分母大于0）。
第 1 步求斜率：\(\color{#1976d2}{\hat{b}} = \dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} = \dfrac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}\)
第 2 步求截距（含截距的最优线必过样本中心）：\(\color{#2e7d32}{\hat{a}} = \color{#ef4444}{\bar{y}} - \color{#1976d2}{\hat{b}}\color{#ef4444}{\bar{x}}\)
残差定义式：\(e_i = \color{#1976d2}{y_i} - \color{#2e7d32}{\hat{y}_i} = \text{真实观测值} - \text{模型预报值}\)
自己试试：某校调查了 \(50\) 名高三男生的身高 \(x\)（cm）与体重 \(y\)（kg），建立经验回归方程 \(\hat{y}=0.8x-85\)。关于式中的 \(0.8\)，下列说法正确的是？
B。\(\hat b\) 带帽子，是样本算出的估计值，换一个样本，估计值可能改变。A 把估计当成了总体参数；C 漏了“平均”：具体两个人之间，体重差多少还受 \(e\) 影响。
自己试试：一组数据 \(\bar x=4\)，\(\bar y=10\)，算得 \(\hat b=2\)。\(\hat a\) 是？
A。\(\hat a=\bar y-\hat b\bar x=10-2\times4=2\)。可以验：\(x=4\) 时 \(\hat y=2\times4+2=10=\bar y\)，直线过样本中心。选 B 的同学把减号写成了加号；选 C 的同学忘了乘 \(\hat b\)。
自己试试：经验回归方程 \(\hat y=0.5x+3\)，数据点 \((4,6)\) 的残差是？
A。\(\hat y=0.5\times4+3=5\)，残差 \(=y-\hat y=6-5=1\)，点在直线上方。选 B 是减反了（残差是“真实减预测”）；选 C 只算了预测值。
3. 三步破题思维链例题
典型例题：已知某成对样本数据满足：\(\bar{x} = 5,\; \bar{y} = 12\)，且 \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 30,\; \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = 15\)。
① 求 \(y\) 关于 \(x\) 的经验回归方程；
② 预测当自变量 \(x = 10\) 时，\(y\) 的预报值；
③ 样本中包含一个数据点 \((4, 11)\)，求该点的残差 \(e\)。
② 要写方程 → 想到先求斜率，再用 \((\bar x,\bar y)\) 求截距；预测代入，残差用实际值减预测值。
斜率：\(\hat{b} = \dfrac{30}{15} = 2\)；
截距（代入中心点）：\(\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} = 12 - 2 \times 5 = 2\)；
所求经验回归方程为：\(\hat{y} = 2x + 2\)。
• ② 预报代入：
当 \(x = 10\) 时，\(\hat{y} = 2 \times 10 + 2 = 22\)；
• ③ 计算点 \((4, 11)\) 的残差：
当 \(x = 4\) 时，预测值为 \(\hat{y} = 2 \times 4 + 2 = 10\)；
残差为：\(e = y - \hat{y} = 11 - 10 = +1\)。
4. 三大翻车现场红绿对比卡
❌ 翻车：求残差时没有标清真实值与预测值，随意交换减法顺序。
✔ 自查：残差公式是“真实观测值减去模型估计值”：\(e = y - \hat{y}\)。先将横坐标代入模型求出预测值，再按公式作差。最后看数据点在直线上方还是下方，核对残差的符号是否一致。
❌ 翻车：求截距时把斜率与均值的乘积直接加到纵坐标均值上，漏了移项变号。
✔ 自查：由 \(\bar{y} = \hat{b}\bar{x} + \hat{a}\) 移项得 \(\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}\)。请自行代入题目中的均值与斜率求截距，再把样本中心 \((\bar{x}, \bar{y})\) 代回回归方程验算。
❌ 翻车：由体重身高模型算出 \(\hat{y} = 0.8x - 85\)，得出“身高多 1 cm 的人体重一定正好重 0.8 kg”的确定性断言。
✔ 正确：线性回归是统计平均趋势，每个个体身上都存在随机误差 \(e\)，只能说“身高增加 1 cm，体重平均增加约 0.8 kg”。同时不能把婴儿或姚明的身高代入该经验模型进行无度外推。
① 自己画一条线，和最小二乘比一比
拖动绿线两端的空心圆（或选中后按 ↑↓）改变直线；金色竖线是残差。黑点也能拖（选中后按方向键移动）。菱形是样本中心 \((\bar x,\bar y)\)。试着让 \(Q\) 尽量小，再点“显示最小二乘直线”对答案。
② 进阶：残差图、\(R^2\) 和外推
选一组数据。上图是散点和经验回归直线（虚线部分在数据范围之外），下图是残差图：横轴 \(x\)，纵轴残差。拖滑块改变要预测的 \(x_0\)，看它跑出数据范围会怎样。
从易到难排好了。前两道直接用，后三道是最常见的错。
直接用
1. 一组成对数据算得 \(\bar x=2\)，\(\bar y=5\)，\(\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=12\)，\(\sum(x_i-\bar x)^2=4\)。经验回归方程是？
A。\(\hat b=\dfrac{12}{4}=3\)，\(\hat a=5-3\times2=-1\)。验：\(x=2\) 时 \(\hat y=5\)，过样本中心。B 是 \(\hat a\) 的减号写成了加号；C 是把分子分母颠倒了；D 是把 \(\bar y\) 直接当成了 \(\hat a\)。
2. 某店广告费 \(x\)（万元，数据在 \(2\)～\(8\) 之间）与销售额 \(y\)（万元）的经验回归方程是 \(\hat y=2.5x+4\)。广告费 \(6\) 万元时，销售额估计约多少万元？
B。\(2.5\times6+4=19\)，\(6\) 在数据范围里。意思是“广告费 \(6\) 万元时，销售额平均约 \(19\) 万元”，某一次具体是多少会上下浮动。A 漏加了 \(4\)；D 是把 \(6\) 当成了 \(y\) 去反解。
易错
3. 最小二乘法求经验回归直线，是让哪个量最小？
C。最小二乘量的是竖直方向的偏差：同一个 \(x_i\)，真实 \(y_i\) 和直线上的 \(bx_i+a\) 差多少，再平方相加。“点到直线的距离”是垂直于直线量的，是另一回事，A、B 都不对。
D 也不行：只要直线过样本中心，不管斜率多少，残差之和都是 \(0\)，挑不出最好的那条。在“动手”①里点“画出残差的平方”，看到的金色方块就是要压小的东西。
4. 调查 \(7\)～\(12\) 岁的孩子，得到身高 \(y\)（cm）对年龄 \(x\)（岁）的经验回归方程 \(\hat y=6x+76\)。哪句话对？
C。经验回归方程给的是平均趋势的估计。A 错在“一定”：个体有随机误差 \(e\)，同岁孩子高矮不一。B 错在外推：\(25\) 岁远在 \(7\)～\(12\) 岁的数据范围外，那里身高早已不按每年 \(6\) cm 涨了。“动手”②里把 \(x_0\) 拖出数据范围，可以看到弯曲数据的直线预测差得多远。
5. 三对数据 \((1,1),(2,3),(3,2)\)，\(y\) 对 \(x\) 的经验回归方程是 \(\hat y=0.5x+1\)。现在知道 \(y=3\)，想估计 \(x\)，应该用哪个结果？
B。最小二乘压的是 \(y\) 方向的偏差；要估计 \(x\)，该压的是 \(x\) 方向的偏差，得重新拟合：\(\bar x=\bar y=2\)，\(\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=1\)，\(\sum(y_i-\bar y)^2=2\)，所以 \(\hat x=\dfrac12(y-2)+2=0.5y+1\)，\(y=3\) 时 \(\hat x=2.5\)。
反解得 \(4\)，差得很远（数据都在 \(1\)～\(3\) 之间）。只有点全在一条直线上时，两种做法才一样。
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 23.4 实际问题与一次函数初中在散点图上取两点或顺势画一条直线用一次函数 $y=kx+b$ 作近似预测，在高中升级为使残差平方和最小的最小二乘线性回归方程。