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选择性必修第三册 · 第 8 章 成对数据的统计分析

8.1 成对数据的统计相关性

两个量“有关系，但又不是一个公式能算死的”，怎么描述？先画散点图看趋势，再用一个数 \(r\) 量出这种关系有多“直”。

一家小店记了 6 天的最高气温和冰淇淋销量。先根据题目数据作答，再操作图示核对。

气温 / ℃222527303335
销量 / 支415048627076

从这张表的数据看，气温越高，销量一般会怎样？

1. 先认识几个词

要用到：必修二 9.2 样本均值与方差（回看 9.2）；7.3 协方差与离散度（回看 7.3）。成对数据研究的是两个变量之间的联动共变趋势。

课本用词：相关系数只描述线性相关强弱，不等于因果关系；绝对值越接近 1 只说明线性趋势更明显。

成对数据与散点图：对同一个个体同时观测两个变量得到的数据对 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\)。在直角坐标系中将这些数据对画成点，得到的图形叫散点图。

散点图是洞察两变量关系的望远镜：若散点从左下向右上延展，呈正相关（一多俱多）；若从左上向右下延展，呈负相关（此消彼长）；散点是否有线性趋势还要结合实际计算；零相关只表示样本相关系数为0，仍可能呈现曲线结构。

样本相关系数 \(r\)（线性紧密度的纯数标尺）：定量度量两个变量之间线性相关程度的无量纲数值：

$$r = \dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}}$$

计算前必须有至少两对数据，且两个变量的离均差平方和都大于0；任一变量恒定时，分母为0，r无定义。
相关系数的两个基本性质：
① 有界性：\(-1 \le r \le 1\)；
② 符号管方向，绝对值管强弱：\(r > 0\) 为正相关，\(r < 0\) 为负相关；\(|r|\) 越接近 \(1\)，散点越紧密贴合一条直线；\(|r|\) 越接近 \(0\)，线性趋势越弱，但仍可能有明确的非线性结构。

相关性 \(\ne\) 因果性（潜变量陷阱）：两个变量具有高度线性相关，并不意味着一个变量是另一个变量发生的原因！

例：假设观察到“雨伞销量”与“道路拥堵时长”正相关，也不能仅凭这一点断定买雨伞导致拥堵。降雨可能同时增加雨伞需求、降低道路通行速度，是需要进一步调查的共同影响因素。

统计相关性直觉微图解：散点图方向与紧密度、强弱标尺与因果辨析
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相关关系（不确定性统计规律） 趋势伴随

特征：自变量确定后，因变量带有随机扰动，但宏观呈现趋势。

实例：父亲身高与儿子身高、复习时长与考试成绩。

度量：用相关系数 \(r\) 度量线性趋势的紧密程度。

函数关系（确定性刚性法则） 完全确定

特征：自变量取定后，因变量有唯一确定的数值相对应。

实例：圆的半径与面积 \(S = \pi r^2\)、自由落体距离 \(h = \frac{1}{2}gt^2\)。

特质：零随机扰动，散点全部严密落在函数曲线上。

2. 相关系数色彩语义主公式与分级

样本相关系数主公式：

$$r = \dfrac{\sum_{i=1}^n (\color{#1976d2}{x_i - \bar{x}})(\color{#2e7d32}{y_i - \bar{y}})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (\color{#1976d2}{x_i - \bar{x}})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (\color{#2e7d32}{y_i - \bar{y}})^2}}\qquad (-1 \le r \le 1)$$

• 强弱比较看 \(|r|\)，但不存在适用于一切情境的固定强、中、弱阈值；

• 本页用0.95、0.70、0.20三组同尺度散点比较线性紧密程度；

• 不能只由r判断预测误差的绝对大小或因果关系；

• \(r = 0\)：无线性相关（注意：不等于无任何关系，可能存在完美的非线性抛物线等关系！）。

自己试试：\(3\) 对数据 \((1,1)\)、\((2,3)\)、\((3,2)\)。\(r\) 等于？

A。\(\bar x=\bar y=2\)；偏离 \(-1,0,1\) 和 \(-1,1,0\)；乘积和 \(1+0+0=1\)；两个平方和都是 \(2\)。\(r=\dfrac{1}{\sqrt{2\times2}}=0.5\)。选 B 的同学忘了开根号，算成 \(\dfrac{1}{2\times2}\)。

自己试试：\(r_1=0.8\)，\(r_2=-0.9\)。哪组数据的点更贴近一条直线？

B。\(|-0.9|=0.9>0.8\)。选 A 的同学按 \(-0.9<0.8\) 比了大小。负号只说方向（一个大另一个小），不说强弱。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：两组变量的相关系数分别为 \(r_1 = 0.82\) 和 \(r_2 = -0.91\)。
① 比较两组变量线性相关关系的强弱，并描述各自散点图的形态特征；
② 若将第 1 组数据进行线性变换：\(x'_i = x_i + 10,\; y'_i = 2y_i\)，求变换后新数据集的相关系数 \(r'\)。

👀 第一眼破题信号： ① 看到比较相关方向或强弱 → 想到方向看 \(r\) 的正负，强弱看 \(|r|\)。
② 数据作正比例平移缩放 → 想到用相关系数的线性变换性质判断是否改变。
🔧 第二步量化对比与性质应用：
• ① 强弱判定与散点特征：
\(|r_2| = |-0.91| = 0.91 > |r_1| = 0.82\)。
因此第 2 组数据的线性相关程度更强！
– 第 1 组（\(r_1 = 0.82\)）：正相关，散点带从左下向右上延伸，分布较为紧凑；
– 第 2 组（\(r_2 = -0.91\)）：负相关，散点带从左上向右下延伸，且散点更加狭窄紧贴一条直线。
• ② 线性变换的尺度不变性：
平移 \(+10\) 在离均差 \((x'_i - \bar{x}') = (x_i + 10 - (\bar{x} + 10)) = (x_i - \bar{x})\) 中完全相互抵消；
放大 \(2\) 倍在分子提出 \(2\)，在分母 \(\sqrt{2^2}\) 同样提出 \(2\)，分子分母完美约去：
$$r' = r_1 = 0.82$$
🛡️ 第三步防坑结论核查： 防坑 1：切忌把 \(-0.91 < 0.82\) 当作“第 2 组更弱”，负号是方向，绝对值才是紧密度！防坑 2：平移加常数、正比例缩放不改变相关系数 \(r\) 的绝对大小。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

翻车现场 1：见负号误判为弱相关，按代数大小排强弱

❌ 翻车：对比 \(r_1 = 0.5\) 与 \(r_2 = -0.9\)，因为 \(-0.9 < 0.5\)，误判第 1 组相关性更强。

✔ 正确：符号只表示走向（正向变化还是反向变化），强弱只看绝对值 \(|r|\)！\(|-0.9| = 0.9 > 0.5\)，第 2 组的点远远比第 1 组更贴近直线，属于极强线性相关。

翻车现场 2：将相关系数 \(r=0\) 等同于两变量“没有任何关系”

❌ 翻车：算得 \(r=0\)，得出结论“变量 \(X\) 与 \(Y\) 毫无关联”。

✔ 正确：\(r\) 只是线性相关的度量标尺！例如在抛物线 \(y=x^2\) 上关于对称轴成对等权取点，算出的 \(r\) 为 \(0\)；任意一组抛物线上的点则未必如此。两者具有 100% 确定性的函数关系，只是不能用直线去拟合而已。

翻车现场 3：把相关性直接当因果性做出荒谬推断

❌ 翻车：发现学生穿鞋码数与词汇量呈现强正相关，得出“买大码鞋能提高语文成绩”的荒谬结论。

✔ 正确：相关性说明两者有统计关联，但背后往往潜藏着真正的共因（这里是年龄增长，随着年龄长大，脚变大且词汇量自然增多）。相关不等于因果，更不能指导控制手段。

反例微图解：y = x² 严格确定函数关系，但线性相关系数 r = 0 直觉示意
图中9个等权点关于y轴成对分布，离均差乘积恰好抵消，r=0；它们仍完全满足y=x²。r=0不意味着两变量独立。

① 散点图：拖点看 \(r\) 怎么变

拖动任意一个点；点空白处加一个点（最多 20 个）。点的颜色：绿色在右上或左下，乘积 \((x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\) 为正；红色为负。选中一个点后可以按方向键移动，按 Delete 删掉它。

② 进阶：一个异常点能把 \(r\) 拉多大

灰色的 \(8\) 个点挤在左下角，看不出趋势。金色的点可以拖（或按方向键），把它拖到右上角远处看看。

③ 进阶：点都在一条曲线上，\(r\) 却可能是 \(0\)

\(9\) 个点都在抛物线 \(y=0.12(x-h)^2+0.5\) 上，\(y\) 完全由 \(x\) 决定。拖滑块改变顶点位置 \(h\)，看 \(r\) 怎么变；\(h=5\) 时左右对称。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. \(x\)：\(1,2,3\)；\(y\)：\(6,4,2\)。样本相关系数 \(r\) 是？

B。\(\bar x=2\)，\(\bar y=4\)；偏离 \(-1,0,1\) 和 \(2,0,-2\)；乘积和 \(-2+0-2=-4\)；平方和 \(2\) 和 \(8\)。\(r=\dfrac{-4}{\sqrt{16}}=-1\)。三个点正好在直线 \(y=-2x+8\) 上。选 A 的同学把斜率 \(-2\) 当成了 \(r\)：\(r\) 不会超出 \([-1,1]\)。

2. 四组成对数据的相关系数：\(0.3\)、\(-0.85\)、\(0.6\)、\(-0.1\)。线性相关最强的是哪一组？

B。比 \(|r|\)：\(0.85\) 最大。选 A 的同学只在正数里挑了最大的；选 C 的同学以为数小就“最负、最强”，可 \(|-0.1|\) 是最小的。

易错

3. 一组成对数据算出 \(r=0\)。下面哪句话对？

C。\(r\) 只量直线关系。“讲清楚”里 \(y=x^2\) 取 \(x=-2,\dots,2\) 的 \(5\) 个点，\(r=0\)，可 \(y\) 是 \(x\) 的函数，A、B 都错。“动手”③里 \(h=5\) 就是这种情形。

4. 某城市逐月统计，冰淇淋销量和溺水人数的相关系数接近 \(1\)。下面哪个结论合理？

B。相关不等于因果。天热时买冰淇淋的人多，去游泳的人也多，气温同时推高两者。A、C 都把“一起变”当成了“一个导致另一个”。

5. 三对数据 \((5,1)\)、\((5,3)\)、\((5,8)\)。它们的样本相关系数是？

C。\(x\) 全是 \(5\)，\(\sum(x_i-\bar x)^2=0\)，分母是 \(0\)，\(r\) 没有定义。选 A 的同学看到分子也是 \(0\) 就写了 \(0\)，可 \(\dfrac00\) 不是 \(0\)。点都在竖线 \(x=5\) 上，竖线不是“\(y\) 随 \(x\) 变”的直线。

挑战

6. 一组成对数据 \((x_i,y_i)\) 的相关系数是 \(0.6\)。把每个 \(x_i\) 换成 \(-2x_i+1\)，每个 \(y_i\) 换成 \(3y_i\)，新数据的相关系数是？

B。新的 \(x\) 偏离值是原来的 \(-2\) 倍（加的 \(1\) 被平均数抵消），\(y\) 偏离值是 \(3\) 倍。

分子变成原来的 \((-2)\times3=-6\) 倍；分母 \(\sqrt{4\sum(x_i-\bar x)^2\cdot9\sum(y_i-\bar y)^2}\) 变成原来的 \(6\) 倍。所以 \(r\) 变成 \(-0.6\)：大小不变，方向反了。选 C、D 的同学只算了分子，\(-3.6\) 已超出 \([-1,1]\)，一看就不对。

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