培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
买东西超过多少打折、选哪种套餐更省、怎样安排最省钱——这些问题都能写成一次函数，再用图象和“增减性”来回答。
本节导读 先修：23.2 图象和性质、23.3 与方程（组）、不等式 · 本节路线
要用到：一次函数的图象、增减性、待定系数法（回看 23.2）；两直线的交点、比较函数值（回看 23.3）；一元一次不等式组（回看 11.3）。
- 从选健身卡进入：两种收费，次数不同，答案不同。
- 建模四步：抽象成一次函数 → 求解析式 → 用图象和性质分析 → 回到实际作答。
- 分段计价：按分界点分段写解析式，分界点只归入一段。
- 方案选择：先求“一样多”的那个点，再分三种情况作答。
- 求最省、最大：不等式组定范围，增减性定端点。
- 练习与中考真题。
某健身房有两种收费：甲方式每次 \(30\) 元；乙方式先办年卡 \(200\) 元，之后每次 \(10\) 元。点按钮看去不同次数时两种方式各花多少：
小林打算一年去 \(15\) 次，选哪种方式更省钱？
B。甲：\(30\times 15=450\) 元；乙：\(200+10\times 15=350\) 元，乙省 \(100\) 元。去 \(5\) 次时却是甲省钱，去 \(10\) 次时一样多。
记次数为 \(x\)，两种费用是 \(y_1=30x\)、\(y_2=10x+200\)，都是一次函数。这一节要回答：怎样把实际问题写成一次函数，再用它的图象和性质做决定？
1. 先认识几个词：建模、分段、分界点
前置知识：一次函数的图象和增减性（回看 23.2）。用一次函数解决实际问题，一般分四步：抽象（选自变量，找出均匀变化的量）→ 求解析式（列式或待定系数法，写清范围）→ 分析（看图象、用增减性、求交点）→ 作答（回到实际，注意取整）。有时价格“超过某个量就变”，要分段：
直觉微图解 ①分段计价：拐弯的那一点是分界点
核心概念 ②分段写解析式
每一段各写一个解析式，并注明范围。分界点只归入一段，比如 \(0\le x\le 5\) 和 \(x\gt 5\)。超出部分按新价：分界点处的总价 \(+\) 新单价 \(\times\)（超出的量）。
核心概念 ③有的段是常数
“包月不限量”“套餐内不另收费”那一段，费用不变，图象是水平线段。那一段 \(k=0\)，不是一次函数。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
某水果店苹果 \(10\) 元/kg；一次购买超过 \(5\) kg 时，超过的部分打八折。(1) 写出付款 \(y\)（元）关于购买量 \(x\)（kg）的解析式；(2) 买 \(8\) kg 付多少元？(3) 小芳付了 \(90\) 元，她买了多少千克？
① 读懂题意：价格在哪里变？“超过的部分打八折”指的是哪一部分？
提示 1：分界点
分界点是 \(5\) kg。不超过 \(5\) kg 都按原价；超过时，前 \(5\) kg 仍是原价，只有多出来的按 \(8\) 元/kg。
提示 2：(3) 先判断落在哪一段
买 \(5\) kg 正好 \(50\) 元。\(90\) 元比 \(50\) 元多，所以在第二段。
看完整示范
④ 回头看：每段都是一次函数（\(k=10\) 和 \(k=8\)）。第二段不能写成 \(y=8x\)：前 \(5\) kg 并没有打折。
自己试试：某地水价：每户每月用水不超过 \(15\) 吨的部分 \(3\) 元/吨，超过 \(15\) 吨的部分 \(5\) 元/吨。某户这个月用水 \(20\) 吨，水费多少元？
C。\(3\times 15+5\times(20-15)=45+25=70\)。A 是全部按 \(5\) 元算；B 是全部按 \(3\) 元算；D 漏了超出的 \(5\) 吨。
2. 核心点：方案选择——找“一样多”的点，分三段作答
直觉微图解 ②花钱少 = 点低：交点两侧，“低的那一列点”换了
例 2（示范）
手机流量有两种套餐：A 套餐不收月租，每 GB \(6\) 元；B 套餐月租 \(30\) 元，另外每 GB \(2\) 元。每月用流量 \(x\) GB，怎样选更省钱？
提示 1：写出两个函数
\(y_A=6x\)，\(y_B=2x+30\)（\(x\ge 0\)）。
提示 2：先求“一样多”
解方程 \(6x=2x+30\)。
看完整示范
回头看：A 的直线过原点但更陡，B 起点高但平缓：用得少选 A，用得多选 B。三段都要写，相等的情况不能漏。
自己试试：甲印刷厂收费 \(y_1=4x+100\)，乙印刷厂收费 \(y_2=6x\)（\(x\) 是份数）。印多少份时甲厂更便宜？
B。\(4x+100\lt 6x\)，\(2x\gt 100\)，\(x\gt 50\)。A 方向反了（份数少时，甲的 \(100\) 元固定费用划不来）；C 是两厂一样的时候；D 没比较。
3. 核心点：求最省、最大——范围定端点，增减定方向
在 \(a\le x\le b\) 这样两端都能取到的范围里，一次函数的最大值、最小值都在两个端点取到（整数问题就取允许的最小、最大整数）：\(k\gt 0\) 时左端最小、右端最大；\(k\lt 0\) 时反过来。所以先用不等式组把自变量的范围求出来，别漏了上限，也别忘了取整数。
直觉微图解 ③只看范围里那几个点：最低的点总在一端
例 3（示范）
学校要买篮球和足球共 \(40\) 个。篮球每个 \(120\) 元，足球每个 \(90\) 元。要求篮球的个数不少于足球个数的 \(\tfrac13\)，总费用不超过 \(4200\) 元。怎样买最省钱？最少花多少？
提示 1：选自变量
设买篮球 \(x\) 个，则足球 \(40-x\) 个。费用 \(w\) 是 \(x\) 的一次函数。
提示 2：范围从两个条件来
“不少于 \(\tfrac13\)”和“不超过 \(4200\)”各写一个不等式。
看完整示范
回头看：答：买篮球 \(10\) 个、足球 \(30\) 个最省，最少 \(3900\) 元。依据是“增减性 + 范围端点”，不是把 \(11\) 种方案一个个试。
自己试试：某问题中 \(w=-5x+800\)，且 \(3\le x\le 12\)（\(x\) 为整数）。\(w\) 的最小值是多少？
B。\(k=-5\lt 0\)，\(w\) 随 \(x\) 增大而减小，\(x\) 取最大的 \(12\) 时 \(w\) 最小：\(800-60=740\)。A 是在左端点 \(x=3\) 取了（那是最大值）；C 用了范围外的 \(x=0\)；D 没管范围。
4. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：两点建模，第三点吻合吗？
滴水量的实测记录：2分钟10 mL、5分钟25 mL、8分钟41 mL。选前两点求一次函数，再用第三点检验。这个模型是准确规律还是近似估计？
想好后看解释
前两点给y=5t，第三点预测40 mL，与实测41 mL有差。模型只是近似描述，选不同数据可能得到不同式子；估计很远时间的漏水量前，还要检查滴水速度能否保持稳定。
① 分段计价：分界点在哪一段
苹果原价 \(10\) 元/kg，超过分界点的部分打八折。先选分界点，再拖动 \(x\) 轴上的圆点（或用方向键）改变购买量。灰色虚线是不打折的价钱。
② 方案比较：两条直线谁低
A 套餐每 GB \(p\) 元、不收月租（绿线）；B 套餐月租 \(c\) 元、另外每 GB \(2\) 元（金线）。拖动 \(y\) 轴上的金圈改变月租 \(c\)，拖动 \(x=10\) 处的绿圈改变 \(p\)，看分界点怎么移动。
③ 进阶：在范围里找最省
接着例 3：共买 \(40\) 个球，篮球 \(x\) 个，足球 \(90\) 元/个。先选篮球的单价，再拖动 \(x\) 轴上的两个圆点定出范围（范围本应由题中的不等式组求出，这里直接拖两端看看）。图里纵轴从 \(3000\) 元开始画。
④ 项目工作台：测量、方案与音乐
在这里自己制订计划、记录、检验和修订。可独立练习，也可带着表格开展小组活动。记录只在当前页面，刷新会清空；可复制报告自行保存。不要填写真实姓名等个人信息。
软件只核对明确的数值条件；实测、合作与开放报告由你说明和互评，不由软件认证。音乐只作有限个音的体验，不会自动发声。回看音乐项目的背景与原有活动。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 某快递：首重 \(1\) kg 以内收 \(12\) 元，超过 \(1\) kg 的部分每千克加收 \(3\) 元（重量按整千克计）。寄 \(5\) kg 的包裹要付多少元？
A。\(x\gt 1\) 时 \(y=12+3(x-1)=3x+9\)，\(x=5\) 时 \(y=24\)。B 是把 \(5\) kg 都按续重算了（\(12+15\)）；C 是忽略首重规则，把 \(5\) kg 全按 \(3\) 元/kg 算了（\(3\times5=15\)）；D 是每千克都按 \(12\) 元算。
2. 两种话费：第一种 \(y_1=0.2x+20\)，第二种 \(y_2=0.4x\)（\(x\) 是通话分钟数）。每月通话 \(150\) 分钟，选哪种更省？
A。\(y_1=30+20=50\)，\(y_2=60\)，第一种省 \(10\) 元。两者在 \(x=100\) 时相等；通话超过 \(100\) 分钟，有月租的第一种更划算。
易错
3. 某书店：一次购书超过 \(100\) 元，超过的部分打九折。买了标价 \(300\) 元的书，实际付多少元？
提示
前 \(100\) 元不打折，只有后面的 \(200\) 元打九折。
B。\(100+0.9\times 200=280\)。A 是全部打九折（翻车现场 ①）；D 是只把前 \(100\) 元打了九折；C 没打折。
4. 两种方案的费用分别是 \(y_1=5x+200\)、\(y_2=9x\)。下面哪个结论写得完整、正确？
提示
先求 \(y_1=y_2\) 时的 \(x\)，再分三种情况。
C。\(5x+200=9x\)，\(x=50\)。\(x\lt 50\) 时 \(9x\lt 5x+200\)，第二种省；\(x\gt 50\) 时第一种省。A、B 不完整（翻车现场 ②）；D 方向反了。
5. 某问题中利润 \(w=20x+1000\)，由题意 \(5\le x\le 12\)，\(x\) 为整数。\(w\) 的最大值是多少？
提示
\(k=20\gt 0\)：\(x\) 取哪一端时 \(w\) 最大？
B。\(w\) 随 \(x\) 增大而增大，\(x\) 取最大的 \(12\)：\(240+1000=1240\)。A 是在 \(x=5\) 取的（那是最小值）；C 用了范围外的 \(x=0\)；D 忘了范围有上限（翻车现场 ③）。
挑战
6. 班级用不超过 \(3000\) 元买 A、B 两种笔记本共 \(50\) 本，A 每本 \(70\) 元，B 每本 \(50\) 元，并且 A 的本数不少于 B 的一半。共有几种购买方案？最少花多少元？
提示 1：设 A 买 \(x\) 本
B 买 \(50-x\) 本，费用 \(w=70x+50(50-x)=20x+2500\)。
提示 2：两个不等式
\(x\ge \tfrac12(50-x)\)，\(20x+2500\le 3000\)。解出后别忘了 \(x\) 是整数。
A。由 \(x\ge \tfrac12(50-x)\) 得 \(x\ge \tfrac{50}{3}\approx 16.7\)；由 \(20x+2500\le 3000\) 得 \(x\le 25\)。整数 \(x=17,18,\dots,25\)，共 \(9\) 种。\(k=20\gt 0\)，\(x=17\) 时最少：\(340+2500=2840\) 元（A \(17\) 本、B \(33\) 本）。B 是从 \(18\) 开始数了；C 没取整数；D 取错了端点。
本节中考真题
共 28 道，含 22 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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实际问题是一次函数的中考大题：分段计价、方案选择、在范围内求最省，常和方程（组）、不等式（组）一起出现。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 一元线性回归模型及其应用初中在散点图上取两点或顺势画一条直线用一次函数 $y=kx+b$ 作近似预测，在高中升级为使残差平方和最小的最小二乘线性回归方程。