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八年级下册 · 第二十四章 数据的分析

24.2 数据的离散程度

两个人平均成绩一样，一个次次差不多，一个忽高忽低。平均数说不出这种区别。这一节用“离差”“离差平方和”“方差”给数据的波动大小一个数。

本节导读　先修：24.1 平均数、乘方 · 本节路线

要用到：平均数（回看 24.1）；有理数的减法和乘方（回看 2.1）；用样本估计总体（回看 12.1）。

  1. 从“平均数一样，谁更稳”进入。
  2. 离差：每个数据减去平均数；离差加起来总是 \(0\)。
  3. 离差平方和 \(d^2\)：把离差平方再相加。
  4. 方差 \(s^2\)：离差平方的平均数，分母是数据个数 \(n\)。
  5. 用方差比较波动；离差平方和只能在个数相同时比。
  6. 练习与中考真题：先看平均水平，再看稳不稳。

甲、乙两位同学各投 6 轮篮，每轮投 10 个，命中数如下。甲：\(5,6,7,7,8,9\)；乙：\(2,10,7,9,4,10\)。点按钮，一步步看两人的成绩：

谁的发挥更稳定？

A。两人平均数都是 \(42\div6=7\)，可甲的点都挨着平均数线，乙的点离得远（最低 \(2\)、最高 \(10\)）。选 C 是只看了平均数。

“离得远近”要变成一个数才好比较。这一节要回答：怎样用一个数刻画数据的波动（离散程度）？

1. 先认识几个词：离散程度、离差

前置知识：平均数（回看 24.1）。数据分布越分散，数据和平均数的差异越大，我们说它的离散程度（波动）越大。

\(n\) 个数据 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的平均数是 \(\bar x\)，把 \(x_i-\bar x\)（\(i=1,2,\dots,n\)）叫作 \(x_i\) 关于平均数 \(\bar x\) 的离差。比平均数大，离差为正；比平均数小，离差为负。

直觉微图解 ①离差：从平均数出发，走到这个数据

核心概念 ②离差有正有负

离差的正负只说在平均数的哪一边，大小（绝对值）才说离得多远。

核心概念 ③都等于平均数，就没有波动

\(6,6,6,6\) 每个离差都是 \(0\)：数据完全不分散。

2. 核心点：离差加起来，总是 \(0\)

能不能把离差加起来表示波动？试几组就会发现，离差的和总是 \(0\)：

\((x_1-\bar x)+\cdots+(x_n-\bar x)=\color{#2F7A56}{\underbrace{(x_1+\cdots+x_n)}_{\text{总和}=n\bar x}}-\color{#B5452F}{\underbrace{n\bar x}_{n\text{ 个 }\bar x}}=0\)

直觉微图解 ②正离差和负离差，像跷跷板两边一样重

所以“离差的平均数”总是 \(0\)，不能区分甲和乙。办法是先把离差平方：平方后都不是负数，离得越远，平方越大。

自己试试：数据 \(3,7,8,10,12\) 的各个离差加起来等于多少？

A。平均数 \(40\div5=8\)，离差 \(-5,-1,0,2,4\)，和为 \(0\)；不算也知道是 \(0\)。B 是把离差的绝对值加起来了；C 是平均数。

3. 核心点：离差平方和 \(d^2\) 与方差 \(s^2\)

各离差的平方的和 \((x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2\) 叫离差平方和，记作 \(d^2\)。再除以数据个数 \(n\)，得到离差平方的平均数，叫方差，记作 \(s^2\)：

\(s^2=\dfrac{\color{#2F7A56}{\overbrace{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}^{\text{离差平方和 } d^2}}}{\color{#B5452F}{\underbrace{n}_{\text{数据个数}}}}\)

方差越大，数据越分散（波动越大）；方差越小，数据越集中（越稳定）。分母是 \(n\)。

直觉微图解 ③离差平方就是一个正方形的面积

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

求“从例子进入”中甲、乙两人命中数的方差，并说明谁更稳定。

① 读懂题意：平均数已经知道都是 \(7\)。方差要三步：离差 → 平方相加 → 除以个数。

提示 1：列出离差

甲：\(-2,-1,0,0,1,2\)。乙呢？写完先检查离差和是不是 \(0\)。

看完整示范
② 想办法：按定义分三步算，列离差时顺手验算“离差和为 0”。
③ 执行：甲：\(d^2=4+1+0+0+1+4=10\)，\(s^2_{\text{甲}}=\dfrac{10}{6}=\dfrac53\approx1.67\)。乙：离差 \(-5,3,0,2,-3,3\)，\(d^2=25+9+0+4+9+9=56\)，\(s^2_{\text{乙}}=\dfrac{56}{6}=\dfrac{28}{3}\approx9.33\)。
执行中检查：甲的离差和 \(-2-1+0+0+1+2=0\) ✓；乙的离差和 \(-5+3+0+2-3+3=0\) ✓。

④ 回头看：平均数相同，\(s^2_{\text{甲}}<s^2_{\text{乙}}\)，所以甲更稳定，和看图的感觉一致。

自己试试：求数据 \(4,6,8,6\) 的方差。

A。\(\bar x=6\)，离差 \(-2,0,2,0\)，\(d^2=4+0+4+0=8\)，\(s^2=8\div4=2\)。B 是离差平方和，忘了除以 \(4\)；C 是离差的平均数；D 是除以了 \(3\)，课本的方差分母是 \(n\)。

4. 核心点：比波动，比方差

离差平方和也能刻画波动，但数据越多，它往往越大。两组个数相同时，比 \(d^2\) 和比 \(s^2\) 结论一样；个数不同时，要比方差。

直觉微图解 ④个数不同，离差平方和会“骗人”

例 2（示范：既看平均，也看波动）

小周、小吴 5 天的 1 分钟跳绳个数。小周：\(160,165,170,175,180\)；小吴：\(168,172,170,171,169\)。谁的成绩更稳定？比赛要“稳拿 170 左右”，派谁？

提示：先比什么

先算两人平均数，平均数相近时比方差才有意义。

看完整示范
平均数：两人都是 \(850\div5=170\)。
方差：小周离差 \(-10,-5,0,5,10\)，\(s^2=\dfrac{250}{5}=50\)；小吴离差 \(-2,2,0,1,-1\)，\(s^2=\dfrac{10}{5}=2\)。
结论：平均数相同，\(s^2_{\text{小吴}}<s^2_{\text{小周}}\)，小吴更稳定，派小吴。

回头看：方差只说稳不稳，不说高不高。如果比赛要“冲 180”，小周反而有机会——结论要结合平均数和问题要什么。

自己试试：A 组 4 个数据，离差平方和是 \(12\)；B 组 12 个数据，离差平方和是 \(24\)。哪组数据更分散？

A。个数不同要比方差：A 组 \(12\div4=3\)，B 组 \(24\div12=2\)，A 组方差大，更分散。选 B 是直接比了离差平方和。

用样本方差估计总体方差：由随机抽取的样本算出的方差叫样本方差，可以用它估计总体方差，比如“抽查 20 袋，方差很小，可以推测这批产品的重量比较稳定”。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）方差算成离差平方和，或分母用错
❌ 典型错解：\(3,5,9,7\) 的方差是 \(20\)，或 \(20\div3\)。
✅ 看图秒懂：四个正方形面积加起来是 \(d^2=20\)；方差是“平均每个”的面积，\(20\div4=5\)。分母是个数 \(4\)。
翻车现场 ②方差大，成绩就差（或好）
❌ 典型错解：“\(s^2_{\text{甲}}=9<s^2_{\text{乙}}=27\)，所以甲成绩更好。”
✅ 一眼看清：方差只说波动大小：甲更整齐、更稳定。成绩高低要看平均数。
翻车现场 ③离差平方和大，方差就一定大
❌ 典型错解：“B 组 \(d^2=12\) 比 A 组 \(d^2=8\) 大，B 组更分散。”
✅ 一眼看清：A 组 3 个数，\(s^2\approx2.67\)；B 组 8 个数，\(s^2=1.5\)。个数不同，比方差。
再深一点（可跳过）：为什么离得远的影响更大？

一个离差从2变成4，绝对值扩大几倍，平方扩大几倍？这怎样说明方差对远离平均数的数据更敏感？

想好后看解释

绝对值由2到4扩大2倍，平方由4到16扩大4倍。一般地，离差的绝对值乘t，其平方乘t²；平方会更强调远离平均数的数据。离差相加抵消的原因正文已说明。

① 拖动数据：离差有正有负，和总是 0

6 个数据各占一行。拖动圆点（或点一下再用方向键）改变数据；红色竖线是平均数，彩色横条是离差（绿为正、红为负）。

② 离差方块：方差是平均每块的面积

拖动数轴上的 5 个点。下面每个正方形的边长是一个离差的绝对值，面积是离差的平方；面积加起来是 \(d^2\)，再除以 \(5\) 是 \(s^2\)。

③ 进阶：整体平移、加一个“平均数”，方差怎么变？

原数据 \(3,5,6,8,13\)。拖动滑轨上的圆点，让每个数据都加上 \(k\)；点按钮在数据里加入一个等于平均数的数。自己算一算，再看读数。

④ 用水数据探究：自己列表、计算，再比较

为同一种用途自拟多组“一天用水量”，每个数代表一次相同时长的观察，不需要姓名或个人资料。先用2—5个数的小组按定义手算，再录入6—20个数，用本页计算工具对照。重复值和0都可保留，不把工具填表说成独立手算完成。

每项用逗号或换行分隔，不留空项或尾逗号；空格不能分隔两个数。数值支持整数、小数、整数分数，首尾与分数线两侧可空格，数字内部不能空格；支持全角数字/负号“−”，不支持指数、算式或单位词。每组1—20项，水量在0—10000之间、约分后分母不超过100。数值每个整数块最多120位、小数最多100位；核对精确值，不以近似值代替。

本轮计算记录

数据、计算和解释只留本页内存，刷新清除；不输入任何人员身份资料。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 求数据 \(2,4,6,8,10\) 的方差。

A。\(\bar x=6\)，\(d^2=16+4+0+4+16=40\)，\(s^2=40\div5=8\)。B 是离差平方和；C 是除以了 \(4\)；D 是离差的平均数。

2. 两台机器包装食盐，各抽 10 袋，平均重量都是 \(500\) g，方差分别是 \(s^2_{\text{甲}}=0.8\)，\(s^2_{\text{乙}}=2.1\)。哪台机器包装的重量更稳定？

A。平均数相同，方差小的波动小，甲更稳定。

易错

3. 一班 40 人身高的离差平方和是 \(1600\)，二班 50 人身高的离差平方和是 \(1800\)（单位：cm²）。哪个班的身高更整齐？

提示

人数不同，先把离差平方和换成方差。

B。一班 \(s^2=1600\div40=40\)，二班 \(s^2=1800\div50=36\)，二班方差小，更整齐。A 是直接比离差平方和（翻车现场 ③）。

4. 数据 \(1,2,3\) 的方差是 \(\tfrac23\)。把每个数都加上 \(10\)，得 \(11,12,13\)，新数据的方差是多少？

提示

别猜，按定义算：新平均数是多少？每个离差变了吗？

A。新平均数 \(12\)，离差仍是 \(-1,0,1\)，\(s^2=\tfrac{2}{3}\)。数据都变大了，但离平均数的远近没变。B、C 是以为“数据大，方差就大”。

5. 甲、乙两组的数学平均分都是 \(85\)，\(s^2_{\text{甲}}=24\)，\(s^2_{\text{乙}}=6\)。下面说法正确的是：

提示

方差回答的是“高不高”还是“齐不齐”？

C。平均分相同，乙组方差小，成绩更整齐。方差不说明成绩高低，A、B 都没有根据（翻车现场 ②）；D 把方差大小的意义弄反了。

挑战

6. 数据 \(3,5,x,7,9\) 的平均数是 \(6\)，求这组数据的方差。

提示 1：先求 x

5 个数的和是 \(6\times5=30\)。

提示 2：再按三步算方差

离差、平方相加、除以 \(5\)。

A。\(x=30-24=6\)；离差 \(-3,-1,0,1,3\)，\(d^2=9+1+0+1+9=20\)，\(s^2=20\div5=4\)。B 没除以 \(5\)；C 是除以了 \(4\)。

本节中考真题

共 16 道，含 9 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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中考常把平均数、中位数、众数、方差放在一张表里，再让你“从稳定性的角度”做选择。做完看解析。

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