培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
平均数说“一般水平”，方差说“波动大小”，可它们都回答不了：大部分数据落在哪个范围？把排好序的数据切成四份，就看得清了；再画成箱线图，几组数据一眼就能比。
本节导读 先修：24.1 中位数、24.2 方差 · 本节路线
要用到：中位数的求法，奇数个、偶数个两种情形（回看 24.1）；方差与波动（回看 24.2）；直方图（回看 12.2）。
- 从“12 个跳绳成绩切四份”进入。
- 百分位数的意义；四分位数 \(Q_1,Q_2,Q_3\)。
- 求法：先求中位数 \(Q_2\)，再求左、右两半各自的中位数。
- 数据个数是奇数时，中位数本身不放进两半。
- 箱线图：最小值、\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)、最大值；四分位距。
- 读箱线图、比较两组数据。
12 名同学 1 分钟跳绳的个数已经从小到大排好：\(98,105,112,118,120,126,131,135,140,146,152,170\)。点按钮，一刀一刀地切：
切完以后，第一刀和第三刀之间（\(Q_1\) 到 \(Q_3\)）大约有多少同学？
A。三刀把 12 个数分成 4 份，每份 3 个。\(Q_1=115\) 到 \(Q_3=143\) 之间是中间两份，共 6 人，正好一半。选 D 是把中间这段当成了全部数据的范围。
这样切出来的三个数叫四分位数。这一节要回答：四分位数怎么求？怎样用它画箱线图、比较几组数据？
1. 先认识几个词：百分位数、四分位数
前置知识：中位数（回看 24.1）。中位数从中间把排好序的数据分成 2 等份。
把一组数据从小到大排列，百分位数描述排序中相应百分比位置的数值。比如身高的 90% 分位数，描述靠近排序 90% 位置的身高。有限个数据的分点要按约定求；遇到重复值，小于或不超过分点的人数比例可能相差很大，不能把位置百分比直接当作人数比例。最常用的是三个四分位数：
直觉微图解 ①先看排序位置，再看数值
核心概念 ②三个四分位数
\(Q_1,Q_2,Q_3\) 从小到大叫第一、第二、第三四分位数。\(Q_2\) 就是中位数；\(Q_1\) 又叫下四分位数（25% 分位数），\(Q_3\) 又叫上四分位数（75% 分位数）。
核心概念 ③位置与人数比例要分清
四分位数来自排序中约四分之一、一半、四分之三的位置。重复值会落在同一数值上，不能保证小于或不超过分点的比例。例如 20 个数全是 2，三个四分位数都是 2；小于 2 的占 0%，不超过 2 的占 100%，箱体闭区间内也占 100%。加上“约”不能修复这种差别。
儿童体检有时会写“身高在同龄人的第 80 百分位”，描述他在同龄人身高排序中靠近 80% 的位置；同身高的人多时，不能直接断言 80% 的人比他矮。它说的是位置，不是分数：第 80 百分位不等于“考了 80 分”。四分位数就是第 25、50、75 这三个百分位数。
2. 核心点：求四分位数——先求中位数，再求两半的中位数
数据个数是奇数时，中位数本身是一个数据，它不放进左右两半。
直觉微图解 ②奇数个、偶数个，两半各是哪几个
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
11 名同学一周做家务的时间（单位：分钟）：\(20,35,15,40,60,25,30,45,30,50,90\)。求这组数据的四分位数。
① 读懂题意：要求 \(Q_1,Q_2,Q_3\)。数据没排序，个数 11 是奇数。
提示 1：中位数是第几个
11 个数，中位数是第 6 个。它左边 5 个、右边 5 个，它自己不进两边。
看完整示范
④ 回头看：如果错把 \(35\) 也放进左半（6 个数），会得到 \(Q_1=\dfrac{25+30}{2}=27.5\)，和课本的取法不同。初中一律按“中位数不进两半”来求。
自己试试：12 个数据 \(2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,15,18\)（已排序），\(Q_3\) 是多少？
A。偶数个，右半是后 6 个 \(9,10,12,13,15,18\)，它们的中位数 \(\dfrac{12+13}{2}=12.5\)。B、C 是偶数个只取了一个；D 是 \(Q_2\)。
再试一个：9 个数据 \(4,7,1,9,6,3,8,5,10\) 的 \(Q_1\) 是多少？
A。排序 \(1,3,4,5,6,7,8,9,10\)，\(Q_2=6\)（第 5 个），左半 \(1,3,4,5\)，\(Q_1=\dfrac{3+4}{2}=3.5\)。B 是把中位数 \(6\) 也放进了左半（\(1,3,4,5,6\) 的中位数）；C 是偶数个只取了一个。
3. 核心点：箱线图——五个数画一张图
用最小值、\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)、最大值五个数可以画箱线图：从 \(Q_1\) 到 \(Q_3\) 画一个矩形箱体，箱体里在 \(Q_2\) 处画一条线；从箱体两端各画一条线段（须线）伸到最小值和最大值，两端各画一条短竖线。整个箱体的长度 \(Q_3-Q_1\) 叫四分位距。
直觉微图解 ③三步画出例 1 的箱线图
例 2（示范：读箱线图）
从例 1 的箱线图，你能说出哪些信息？说不出什么？
提示：按五个数逐个说
范围、中位数、箱体两端、五数图形的左右长短。
看完整示范
回头看：人数比例需要原始数据支持：例 1 超过 50 分钟的是 60、90，共 2 人，占 2/11；不能只凭箱线图说有固定的 25%。
自己试试：只看一张箱线图，能读出下面哪一项？
C。箱体从 \(Q_1\) 到 \(Q_3\)，对应排序中部的数值范围。区间内的人数比例受重复值影响；箱线图只有五个数，个数、平均数、每个数据都读不出。
4. 核心点：用箱线图比较两组数据
几组数据的箱线图画在同一条数轴上，比较的顺序是：先比中位线（中间水平）；再比四分位距、极差与须线的长短（分别描述不同的数值跨度，不能据此保证方差的大小顺序）；最后看五数图形的对称性和特殊位置。若原始数据对称，最小值与最大值、\(Q_1\) 与 \(Q_3\) 必须分别关于中位数对称；不满足就能排除原始数据对称。反过来，即使五数严格对称，也不足以确定完整原始分布对称。
直觉微图解 ④两个班的测验成绩，三个角度比一比
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 拖动数据点，箱线图跟着变
拖动下面的圆点（或点一下再用方向键）改变数据，上面的箱线图按课本取法实时重画。用按钮在 9 个和 10 个数据之间切换，看奇偶两种取法。
② 拖动五个数，读箱线图
直接拖动箱线图的五个位置（最小值、\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)、最大值；拖过旁边的点会把它一起推走，顺序始终保持从小到大）。读数告诉你这张图在说什么。
③ 进阶：两个班比一比
一班 12 人的跳绳成绩固定。二班由一班的成绩变化得到：拖动“平移”整体加减，拖动“伸缩”让成绩离中间更远或更近。比较两张箱线图，再和方差对照。
④ 自己画：定刻度、描五点、连箱须
采用一份已提供的五数概括，不是把这五个数当成五条原始数据。自行录入，或选一份给定练习；这里不另定四分位数求法、不替原数据复核五数。
按最小值 ≤ Q₁ ≤ Q₂ ≤ Q₃ ≤ 最大值录入，允许相等。所有数只收半角整数或至多两位小数，整数部分最多三位；负号用 -，不用正号、多余前导0、单位、算式、指数或内部空格。
1. 我定均匀刻度
起点小于终点，覆盖五数；间隔为正，正好分成1～20小格。数轴只标部分刻度的数，其余按相同间隔数。五数全等时也要选一条有长度的数轴。修改五数或刻度会撤下旧图，须重新建立刻度。
2. 我逐个描点
选标记后点数轴描点，或输入自己按刻度算的位置。键盘聚焦图：Home/End放到轴端，方向键每次0.01，按Shift每次一小格。五点分行显示，沿竖向虚线看同一数轴位置；相等数可重合，不会强行错开数值。
3. 我画箱体、中位线和须线
先选构件，再点两个已描的标记作端点；中位线只选一个。允许重复选同一标记以画零长度部分。点的标记可用Tab、回车或空格选；上方绘图区只画你亲自指定的构件，不自动连成答案。
尚未定刻度。
箱线图只表示五数，不保证各段恰有25%观测，也不能仅凭一般五数图形的对称外观认定完整分布对称。箱体宽为0不等于全部数据相同；只有已知最小值等于最大值，才可判全组等值。草稿只在本页内存，刷新/清空即清除，不认证实物或合作经历。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 求数据 \(12,15,18,20,22,25,28,30\) 的四分位数。
B。8 个，\(Q_2=\dfrac{20+22}{2}=21\)；左半 \(12,15,18,20\)，\(Q_1=16.5\)；右半 \(22,25,28,30\)，\(Q_3=26.5\)。A、C 是偶数个只取了一个数。
2. 一张箱线图的五个数依次是 \(30,45,52,60,80\)。四分位距是多少？
A。四分位距是箱体长度 \(Q_3-Q_1=60-45=15\)。B 是最大值减最小值；C 是 \(Q_2-Q_1\)；D 是中位数。
易错
3. 7 个数据 \(3,4,6,7,9,11,12\)（已排序），求 \(Q_1\) 和 \(Q_3\)。
提示
中位数 \(7\) 是第 4 个，它进不进两半？
A。左半 \(3,4,6\) 的中位数 \(4\)，右半 \(9,11,12\) 的中位数 \(11\)。B 是把 \(7\) 放进了两半（翻车现场 ①）；C 是把两半当成了 \(3,4\) 和 \(11,12\)。
4. 关于箱线图，下面说法正确的是：
提示
箱体两端、须线两端分别是哪两个数？
C。箱体两端是 \(Q_1\) 和 \(Q_3\)。A 不一定；当 \(Q_1\) 等于最小值且 \(Q_3\) 等于最大值时，闭箱包含全部数据，全等是其中一种情况。B 混淆了端点；D 看不出个数。一般不能给箱体内的人数指定固定百分比，要先检查这些可确定的边界。
5. 甲班成绩箱线图的五个数是 \(60,70,78,85,98\)，乙班是 \(55,75,80,83,90\)。下面说法正确的是：
提示
先比中位数，再比箱体长度，再看甲班 \(Q_3\) 和乙班最大值。
B。\(80>78\)。A：甲班箱体长 \(15\)，乙班 \(8\)，乙班四分位距更小，但不能据此保证乙班方差更小；C：甲班 \(Q_3=85\) 低于乙班最高分 \(90\)，说不出这一点；D：\(75\) 到 \(83\) 只是乙班箱体范围，乙班最小值 55、最大值 90 都不在其中。
挑战
6. 20 名同学的测验成绩排好序后，\(Q_1=68\)，\(Q_3=86\)。下面哪个说法一定正确？
提示 1：Q₁ 是哪两个数的平均
20 个数，左半是前 10 个，\(Q_1\) 是第 5、第 6 个的平均数。
提示 2：两个数的平均数是 68 说明什么
第 5 个不超过 \(68\)，第 6 个不小于 \(68\)。它们可能都等于 \(68\)。
B。第 6 个及以后都不小于 \(68\)，所以低于 \(68\) 的只可能在前 5 个里，最多 5 人。A 不一定：第 5 个可能正好是 \(68\)；C 不一定：第 16 个可能正好是 \(86\)；D：第 15 个及以前都不大于 86，高于 86 的最多 5 人，不可能有一半。
本节真题与练习
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下面三道中考统计题练习排序、中位数和数据比较；解析中再用四分位数分析数据分布。四分位数、箱线图是解析的延伸，不是原题的设问。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 用样本估计总体新版初中教材新增的四分位数（下四分位数、中位数、上四分位数），在高中直接推广为任意第 $p$ 百分位数。