24.1 数据的集中趋势

阅读小组 9 位同学记下了上周的课外阅读时间。前 8 位是 \(2,3,3,4,4,5,5,6\)（单位：小时），第 9 位小林读得多一些。点按钮换小林的时间，看红色虚线（平均数）往哪走：

1. 先认识几个词：平均数、权、加权平均数

前置知识：小学的平均数。\(n\) 个数据 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的平均数记作 \(\bar x\)（读作“x 拔”）：\(\bar x=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)，它反映数据的平均水平。

有时几项数据的重要程度不同。比如一次招新，笔试、面试、实操的成绩是 \(70,80,95\)，社团觉得实操更重要。给每一项配一个数表示它有多重要，这个数叫权（“权”原来指秤锤）。把平均数看成天平的平衡点，点下面几组权，看平衡点怎么移：

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

2. 核心点：分组数据的平均数，以人数为权

一班 \(40\) 人数学平均 \(80\) 分，二班 \(10\) 人平均 \(90\) 分，两个班合起来平均多少？“\((80+90)\div2=85\)”是错的：一班人多，它在总分里占的分量大。合起来的平均数 \(=\dfrac{\text{总分}}{\text{总人数}}=\dfrac{80\times40+90\times10}{50}=82\)，正是以人数为权的加权平均数。

先分组算、再按人数合成，这种算法叫分布式计算的简单形式。各组人数也可以换成各组人数所占的比值（叫频率），作用一样。

只有频数分布表、不知道每个原始数据时，用每组的组中值（这一组两个端点的平均数）代表这一组，以频数为权求平均数。这样算出的是近似值。

3. 核心点：中位数，先排序再找中间

把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，处在中间位置的数叫中位数。数据个数是奇数时，就是正中间那个数；是偶数时，取中间两个数的平均数。排好序后，中位数所在的中间位置左右两侧的数据个数相同，它反映数据的中间水平。（注意：有重复的数时，严格大于中位数和严格小于中位数的数据不一定一样多，如 \(1,1,1,2,3\) 的中位数是 \(1\)，没有比它小的。）

4. 核心点：众数，出现次数最多的数据

一组数据中出现次数最多的数据叫众数。几个数据出现次数并列最多时，它们都是众数；每个数据都只出现一次时，这组数据没有众数。众数答的是数据本身，不是它出现了几次。

众数还能用于不是数的数据：全班投票选春游地点，得票最多的“植物园”就是众数，这时平均数、中位数都没法求。

5. 核心点：三个数怎么选

用样本估计总体：从全校随机抽取 50 名同学，算出平均每周运动 \(5.2\) 小时，就可以说“估计全校同学平均每周运动大约 \(5.2\) 小时”。前提是样本随机抽取（回看 12.1）；换一个样本结果可能不同，样本大一些估计更可靠。

6. 用之前必查：三大翻车现场

① 拖动数据点：平均数和中位数谁先动？

7 个数据。拖动圆点（或点一下圆点再用方向键）改变数据。红色虚线是平均数，绿色实线是中位数。试着把最右边的点拖到最远。

② 改权：同样三项成绩，总评跟着变

笔试 \(70\)、面试 \(92\)、实操 \(80\)。拖动下面三条滑轨上的圆点改各项的权（\(0\) 到 \(5\)），上面每摞方块的个数就是权，红三角是加权平均数。

③ 进阶：两组合并，平均数落在哪

在数轴上拖动两组的平均数 \(a_1\)、\(a_2\)，在滑轨上拖动两组人数 \(n_1\)、\(n_2\)。实心红三角是合并后的平均数，空心三角是两个平均数直接平均。

④ 自主用水探究：我列表、我计算

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

易错

挑战

中考常考：求中位数、众数，按权算成绩，再用统计量做判断。填空题直接填，做完看解析。