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综合与实践 学生体质健康调查与分析
学校要了解同学们的体质状况：调查谁？算哪些数？怎样下结论？用一次完整的“调查—整理—分析—结论”走一遍，把平均数、中位数、方差、四分位数用在真实的问题上，也看清每个统计量的局限。
本节导读 先修：数据的收集 · 数据的分析 · 本节路线
要用到：统计调查（回看 12.1）、平均数与中位数（回看 24.1）、方差（回看 24.2）、四分位数与箱线图（回看 24.3）、数据分组（回看 24.4）。
- 从两个班的跳绳成绩进入：平均数一样，能说两班一样吗？
- 设计调查：普查还是抽样？样本要有代表性。
- 算一个体质指标：BMI 的含义和单位。
- 用集中趋势和离散程度比较两组数据，注意“越小越好”的指标。
- 极端值对平均数、中位数、四分位数的影响。
- 动手拖数据、看箱线图，再做练习和巩固题。
甲、乙两班各随机抽 \(10\) 名同学测 \(1\) 分钟跳绳（单位：次）。两班平均数都是 \(170\) 次。先点按钮，看两班的数据分布：
平均数相同，哪个班的成绩更整齐（波动更小）？
A。甲班数据集中在 \(150\)～\(190\)，乙班从 \(120\) 到 \(210\)。算方差：甲班 \(105.8\)，乙班 \(665\)，甲班小得多，更整齐。C 只看了平均数；D：用方差就能比较波动。
1. 先认识几个词：普查、抽样、样本、体质指标
前置知识：统计调查（回看 12.1）、数据的集中趋势与离散程度（回看 24.1、24.2）。
- 普查：调查全体对象；抽样调查：从中抽一部分（样本）来调查，样本里的个体数叫样本容量。
- 代表性：样本要能代表全体。随机抽取，每个人被抽到的机会相同，样本才不容易“偏”。
- 体质指标：反映身体状况的数，如跳绳次数、\(50\) m 跑用时、BMI（体重指数）\(=\dfrac{\text{体重（kg）}}{\text{身高（m）}^2}\)。
- 看集中趋势（平均数、中位数、众数）回答“一般水平怎样”；看离散程度（方差）回答“整齐不整齐”；看四分位数与箱线图（箱体长度即四分位距）回答“排序中部对应怎样的数值范围”。
直觉微图解 ①样本抽得“偏”，估计就偏
本页设定：全年级 \(300\) 人跳绳的平均数是 \(169\) 次。用三种方法各抽 \(10\) 人：
自己试试 1：要了解全市八年级学生的视力情况，下面做法最合适的是哪一个？
C。对象很多，普查费时费力，适合随机抽样。A 能做但代价大；B 只取一所学校，D 只取戴眼镜的人，样本都不具代表性，会让估计偏离实际。
2. 核心点：算指标——单位要对
直觉微图解 ②BMI：体重除以身高的平方（身高用米）
自己试试 2：小吴体重 \(54\) kg，身高 \(150\) cm。他的 BMI 是多少？
A。身高先化成 \(1.5\) m，\(\dfrac{54}{1.5^2}=\dfrac{54}{2.25}=24\)。B 是没平方（\(54\div1.5\)）；C 是用厘米代入（\(54\div150^2\)）。
3. 核心点：比较两组数据——先看一般水平，再看整齐程度
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：完整分析一组数据）
甲班 \(10\) 人跳绳次数：\(150,160,165,168,170,170,172,175,180,190\)。求平均数、中位数、众数、方差和四分位数，并看最大值与最小值的差。
① 读懂题意：数据已从小到大排好，\(10\) 个（偶数个）。
提示 1：方差怎么算省事
先求平均数 \(170\)，再写出每个数与 \(170\) 的差：\(-20,-10,-5,-2,0,0,2,5,10,20\)。
看完整示范
④ 回头看：乙班平均数、中位数也是 \(170\)，但乙班方差 \(665\) 大于甲班的 \(105.8\)，说明乙班波动更大；从箱线图看，乙班箱体长度为 \(190-155=35\)，甲班为 \(175-165=10\)，乙班排序中部对应的数值区间更宽。
直觉微图解 ③一个极端值：平均数被拉走，中位数几乎不动
自己试试 3：两班 \(50\) m 跑测试，甲班平均用时 \(8.6\) s，乙班平均用时 \(8.2\) s。下面说法正确的是哪一个？
B。\(50\) m 跑是用时越短越好，平均用时短，说明一般水平好。A 把“数大”当成“好”；C 方差反映整齐程度，不决定一般水平；D 平均数只代表整体，不能推出每个人。
例 2（示范：合并两个班的平均数）
一班 \(30\) 人跳绳平均 \(160\) 次，二班 \(20\) 人平均 \(180\) 次。两班合起来的平均数是多少？
提示：能不能直接 \((160+180)\div2\)
两班人数不同，人多的班“分量”更重。先求两班总次数。
看完整示范
④ 回头看：本题直接平均得 \(170\)，与加权结果不同。一般应按人数加权；人数相同能保证直接平均正确，人数不同但两班平均数相同时也正确。
自己试试 4：\(9\) 名同学的立定跳远成绩（cm）已排序：\(150,155,160,168,172,175,180,185,190\)。下四分位数 \(Q_1\) 是多少？
A。\(9\) 个数，中位数是第 \(5\) 个 \(172\)，它不进两半。左半 \(150,155,160,168\)，\(Q_1=\dfrac{155+160}{2}=157.5\)。B 是把 \(172\) 也放进了左半；C 是中位数。
4. 用之前必查：三大翻车现场
边界与前提：这一页的数据和结论
① 页面里的班级成绩、身高体重都是为了练习编的数，不是真实学生数据。② BMI 只是筛查用的指标，不是诊断；青少年的判断标准随年龄、性别不同，要对照学校体检使用的标准表，本页不给分级界线。③ 方差只能比较同一种指标、同一单位的数据；跳绳次数的方差和 \(50\) m 跑用时的方差不能直接比大小。④ 四分位数按课本的取法：奇数个数据时中位数不放进两半。
① 两个班：点图和箱线图
每个方块是一名同学。切换班级，比较两班的分布、箱线图和各个统计量。
② 进阶：改一个人的成绩，谁变了？
把甲班成绩最低的那位同学的次数从 \(60\) 拖到 \(260\)。竖线：红色是平均数，绿色是中位数。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 小郑体重 \(48\) kg，身高 \(1.60\) m，他的 BMI 是多少？
A。\(\dfrac{48}{1.6^2}=\dfrac{48}{2.56}=18.75\)。B 没有平方；C 是乘了身高。
2. \(7\) 名同学立定跳远成绩（m）：\(1.8,1.9,2.0,2.0,2.1,2.2,2.4\)。中位数是多少？
C。\(7\) 个数已排序，第 \(4\) 个是 \(2.0\)。A 接近平均数（约 \(2.06\)）；D 是最大值与最小值的差。
易错
3. 两个小组 \(50\) m 跑用时（s）的平均数都是 \(8.0\)，甲组方差 \(0.02\)，乙组方差 \(0.13\)。下面说法正确的是哪一个？
提示
平均数相同，一般水平相同；方差回答的是“整齐不整齐”，不是“快不快”。
D。平均数相同，一般水平相同；甲组方差小，成绩波动小、更稳定。A、B 把方差当成了快慢；C：平均数相同不代表每个数据相同。
4. 某班 \(11\) 人仰卧起坐次数已排序：\(30,34,36,38,40,42,44,45,47,50,58\)。上四分位数 \(Q_3\) 是多少？
提示
中位数是第 \(6\) 个，不进两半；右半是后 \(5\) 个。
B。中位数是第 \(6\) 个 \(42\)；右半 \(44,45,47,50,58\) 的中位数是 \(47\)。A 是把 \(42\) 也放进右半（\(42,44,45,47,50,58\) 的中位数 \(46\)）；C 是中位数。
5. 为了解全校学生每天的锻炼时间，小东只调查了校篮球队的 \(20\) 名队员。这样做的主要问题是什么？
提示
篮球队员和全校学生在“锻炼时间”上一样吗？
C。篮球队员天天训练，锻炼时间比一般同学长，用他们估计全校会偏高。B：抽样可以用，关键是随机抽取；A：\(20\) 人不算大。
挑战
6. 一班 \(40\) 人跳绳平均 \(168\) 次，二班 \(50\) 人平均 \(177\) 次。两班合起来，平均每人多少次？
提示 1
先求两班的总次数。
提示 2
本题人数与两班平均数都不同，不能直接把两个平均数相加除以 \(2\)。
B。\(\dfrac{40\times168+50\times177}{90}=\dfrac{15570}{90}=173\)。A 是直接平均；D 是把两个平均数相加。
巩固练习 1：某小组 \(8\) 名同学 \(1\) 分钟仰卧起坐次数为：\(38,42,45,45,46,48,50,54\)。关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A。总和 \(38+42+45+45+46+48+50+54=368\)，平均数 \(368\div8=46\)；\(8\) 个数已排序，中位数 \(\dfrac{45+46}{2}=45.5\)；\(45\) 出现两次，众数 \(45\)。故选 A。
巩固练习 2：甲组 \(4\) 人 \(50\) m 跑用时（s）：\(7.8,8.0,8.0,8.2\)；乙组 \(4\) 人：\(7.5,7.9,8.1,8.5\)。下列说法正确的是（ ）
A。两组平均数都是 \(8.0\)。甲组 \(s^2=\dfrac{0.04+0+0+0.04}{4}=0.02\)；乙组 \(s^2=\dfrac{0.25+0.01+0.01+0.25}{4}=0.13\)。甲组方差小，更稳定。故选 A。
巩固练习 3：某校八年级共 \(600\) 名学生。从中随机抽取 \(50\) 人测视力，有 \(6\) 人需要复查。据此估计全年级需要复查的人数约为（ ）
A。样本中需要复查的比例 \(\dfrac{6}{50}=12\%\)，估计全年级 \(600\times12\%=72\) 人。故选 A。
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