培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十四章 数据的分析
24.4 数据的分组
把一组数据分成“高的一组、低的一组”，按名次切、按分数线切，都可能把挨得很近的两个数拆开。这一节换一个标准：让每组里的数据尽量接近，用“组内离差平方和”来量。
本节导读 先修：24.2 离差平方和、16.3 完全平方公式 · 本节路线
要用到：平均数（回看 24.1）；离差、离差平方和 \(d^2\)（回看 24.2）；完全平方公式（回看 16.3）；七下按组距分组的直方图（回看 12.2），这一节的“分组”和它不一样。
- 从“怎样分两组才合理”进入。
- 分组原则：组内差异最小，用组内离差平方和刻画。
- 先排序，只在相邻两个数之间切：\(n\) 个数有 \(n-1\) 种分法。
- 逐一计算、列表比较，选组内离差平方和最小的。
- 知道：离差平方和 \(=\) 组内 \(+\) 组间。
- 把分组结果还原成对象，说说合不合理。
体育课上 7 名同学 1 分钟仰卧起坐的个数是 \(28,31,33,45,47,50,52\)。老师想把他们分成两组分别训练。点按钮试三种分法：
哪种分法让每一组里的成绩彼此最接近？
C。A 把只差 2 个的 \(45\) 和 \(47\) 拆开了；B 把 \(31\) 和 \(45\)、\(52\) 放在一组，组里差得很远。C 的两组各自挤在一起，中间有一大段空隙。
名次、分数线都是人定的标准，没看数据自己长什么样。这一节要回答：怎样用一个数衡量“组里接不接近”，并据此找出最好的分法？
1. 先认识几个词：组内差异、组内离差平方和
前置知识：离差平方和 \(d^2\)（回看 24.2），它越大，数据越分散。七下画直方图时也分过组（回看 12.2），但那是先定组距、按固定区间归类，不看组里的数接不接近。
直觉微图解 ①两种分组：按固定区间，还是按接近程度
这一节的原则是组内差异最小：把取值相近的数据分到同一组。一组数据的差异用它的离差平方和来量（每组用自己的平均数）。两组的离差平方和分别记作 \(d_1^2,d_2^2\)，它们的和
叫组内离差平方和。比较各种分法，选它最小的那一种。只有一个数据的组，离差平方和是 \(0\)。
核心概念 ②组是由数据决定的
不事先规定分数线，也不规定每组几人；两组可以一多一少。
核心概念 ③每组用自己的平均数
算 \(d_1^2\) 时用第一组的平均数 \(\bar x_1\)，算 \(d_2^2\) 时用 \(\bar x_2\)，不用全部数据的平均数。
2. 核心点：先排序，只在相邻两个数之间切一刀
数据从小到大排好后，接近的数挨在一起。把挨着的数拆到两组、却把远的数凑到一组，不会更好。所以只要考虑“在第几个间隔切一刀”：\(n\) 个数据有 \(n-1\) 个间隔，就有 \(n-1\) 种分法，逐一算出组内离差平方和，比较即可。
直觉微图解 ②跳着分，组内差异大得多
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
按组内离差平方和最小的原则，把 \(2,3,5,10,12\) 分成两组。
① 读懂题意：5 个数已排好序，有 4 个间隔，也就有 4 种分法。
提示 1：一种分法怎么算
例如切在 \(3\) 和 \(5\) 之间：第一组 \(2,3\)，平均数 \(2.5\)，\(d_1^2=0.25+0.25=0.5\)；第二组 \(5,10,12\)，平均数 \(9\)，\(d_2^2=16+1+9=26\)。合计 \(26.5\)。
看完整示范
| 分法 | \(d_1^2\) | \(d_2^2\) | 组内 |
|---|---|---|---|
| \(2\mid3,5,10,12\) | \(0\) | \(53\) | \(53\) |
| \(2,3\mid5,10,12\) | \(0.5\) | \(26\) | \(26.5\) |
| \(2,3,5\mid10,12\) | \(\tfrac{14}{3}\) | \(2\) | \(\approx6.67\) |
| \(2,3,5,10\mid12\) | \(38\) | \(0\) | \(38\) |
④ 回头看：最小的是第三种：\(\{2,3,5\}\) 和 \(\{10,12\}\)，这一组数据里它恰好也在空隙最大的地方（\(5\) 到 \(10\)）。但最优切点不一定总在最大空隙处（“动手”① 就有反例），要靠逐一计算比较。数据多时，这些计算交给计算器或电子表格。
自己试试：按组内离差平方和最小的原则，\(1,2,4,9,10,11\) 应该怎么分？
A。A 的组内离差平方和 \(\tfrac{14}{3}+2\approx6.67\)；B 是 \(0.5+29=29.5\)；C 是 \(38+0.5=38.5\)；D 跳着分，\(42+\tfrac{134}{3}\approx86.67\)，最差。
3. 核心点：比较所有切法，选最小
直觉微图解 ③例 1 的四刀：哪一刀让组内离差平方和最小
例 2（示范：还原成对象）
六个社团的报名人数：书法 12，围棋 35，摄影 15，机器人 38，合唱 14，篮球 33。按组内离差平方和最小，把社团分成“报名多”“报名少”两组。
提示：先排序，并带上名字
书法 12，合唱 14，摄影 15，篮球 33，围棋 35，机器人 38。5 个间隔，5 种分法。
看完整示范
回头看：答案要写成社团，不能只写“第 3 个间隔”。这组数据里 15 和 33 之间空隙最大，算出来的最优分法也恰好在这里；判断还是要以计算比较为准。
4. 核心点：离差平方和 = 组内 + 组间
\(n\) 个数据的平均数为 \(\bar x\)，离差平方和为 \(d^2\)。分成前 \(m\) 个和后 \(n-m\) 个两组，平均数分别为 \(\bar x_1,\bar x_2\)。把每一项写成 \((x_i-\bar x_1+\bar x_1-\bar x)^2\) 用完全平方公式展开、整理（中间项因为离差和为 \(0\) 而消去），可以得到：
组间离差平方和表示两组之间的差异。不管怎么切，\(d^2\) 都不变，所以“组内最小”和“组间最大”是同一件事。这个式子知道就行，不要求自己推导。
直觉微图解 ④总长不变：组内少一点，组间就多一点
自己试试：一组数据的离差平方和 \(d^2=100\)。某种分法的组内离差平方和是 \(36\)，它的组间离差平方和是多少？
A。组内 \(+\) 组间 \(=d^2\)，组间 \(=100-36=64\)。
再想一个：按这个原则分两组，两组的人数一定相等吗？
B。例 1 分成 3 个和 2 个；\(3,4,20,21,22,23,24\) 最好的分法是 \(\{3,4\}\) 和其余 5 个。从中位数切开反而把 \(20\) 和 \(21\) 拆散了。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：8个数据分三组有几种两刀方案？
把8个排序后的数据分成三个非空的连续组，只在相邻数据间切两刀。怎样不重不漏列出所有方案？先试着计数。
想好后看解释
有7个间隙。第一刀按从左至右固定后，第二刀只能在其右侧，方案数为6+5+4+3+2+1=21。逐一计算三组的离差平方和再比较；即使数据有重复，也按排序位置确定切刀。
① 拖动切刀：找组内离差平方和最小的一刀
8 名同学的身高（cm）已排好序。拖动上方的圆点（或点一下再用方向键）把切刀移到不同的间隔，下面的条形是 7 种切法各自的组内离差平方和，金色是当前这一刀。
② 拖动数据：最好的分法会跳到哪
拖动 7 个数据点，计算机自动比较 6 种切法，把最好的两组涂成两种颜色。下面的长条是离差平方和 \(d^2\)：绿色是组内，金色是组间。
③ 进阶：切两刀，分成三组
还是 8 名同学的身高。拖动两把切刀（第一刀总在第二刀左边），看三组的组内离差平方和；计算机也会告诉你所有切法里最小的是哪一种。
④ 自己输入、逐刀列表：我的两组分法
把一组无身份的一元数据分成两个非空连续组。本工具只列排序后相邻间隔的切法，最多10项、9刀，不代表任意分组或分三组的全部方案。请勿输入姓名、个人成绩或健康数据。数据与解释只留本页内存，刷新或重置即清空，不进入学习记录。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 按组内离差平方和最小的原则，把 \(4,6,7,15,18\) 分成两组。
A。四种切法的组内离差平方和依次是 \(105\)、\(\approx66.67\)、\(\approx9.17\)、\(70\)，第三种最小。
2. 把 \(2,4,9,10,11\) 分成 \(\{2,4\}\) 和 \(\{9,10,11\}\)，组内离差平方和是多少？
A。\(\{2,4\}\)：平均数 \(3\)，\(d_1^2=1+1=2\)；\(\{9,10,11\}\)：\(d_2^2=1+0+1=2\)；和为 \(4\)。B 是两组方差之和 \(1+\tfrac23\)；C 是全部 5 个数的离差平方和。
易错
3. 数据 \(9,2,10,3,4\) 按组内离差平方和最小分成两组，结果是：
提示
第一步做什么？
B。先排序 \(2,3,4,9,10\)。B 的组内离差平方和 \(2+0.5=2.5\)；C 是 \(0.5+\tfrac{62}{3}\approx21.17\)；A 是在没排序的原始顺序上切的（翻车现场 ②）。
4. 把 \(1,3,6,8,10\) 分成 \(\{1,3\}\) 和 \(\{6,8,10\}\)。这种分法的组间离差平方和是多少？
提示
可以直接用组间公式；也可以先算整体 \(d^2\) 和组内，再相减。
A。\(\bar x=5.6\)，\(\bar x_1=2\)，\(\bar x_2=8\)，组间 \(=2\times3.6^2+3\times2.4^2=25.92+17.28=43.2\)。验算：整体 \(d^2=53.2\)，组内 \(2+8=10\)，\(53.2-10=43.2\) ✓。B 是把“两组平均数之差的平方”\((8-2)^2\) 当成了组间；C 是组内；D 是整体。
5. 下面关于本节分组方法的说法，正确的是：
提示
回想例 1 两组各几个、算 \(d_1^2\) 用的是哪个平均数。
C。组内 \(+\) 组间 \(=d^2\) 不变。A：可以一多一少；B：每组用自己的平均数；D：直方图按固定区间分，不看组内接近程度。
挑战
6. 5 名同学的跳绳成绩是 \(10,11,12,13,30\)（单位：个/10 秒）。按组内离差平方和最小分成两组，结果是：
提示 1：一个数也能单独成组
只有一个数据的组，离差平方和是 \(0\)。
提示 2：算四种切法
依次在四个相邻间隔处切开；每种分法都先求各组自己的平均数，再算两组的离差平方和并相加，列表比较大小。
A。四种切法依次是 \(245\)、\(0.5+\tfrac{614}{3}\approx205.17\)、\(2+144.5=146.5\)、\(5\)，最后一种最小。B、C 都把 \(13\) 和 \(30\) 放进一组；D 是以为两组要一样大（翻车现场 ①）。
本节中考真题
共 2 道，含 2 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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下面三道中考统计题练习离差平方和、方差与数据波动比较；解析中再联系本节的分组方法。按组内离差平方和选择分组是解析的延伸，不是原题的设问。