培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
有了负数，“加”和“减”还照小学那样算吗？在数轴上走两步，就能看出和的符号、和的大小从哪里来；减法也能变成加法。
本节导读 先修：1.2 有理数 · 本节路线
要用到：数轴、相反数、绝对值（回看 1.2）；小学的加减法、加法交换律和结合律。
- 从温度变化进入：负数也要“加”。
- 在数轴上走两步，归纳加法法则：先定符号，再算绝对值。
- 换几组数验证：交换律、结合律对有理数仍然成立。
- 减法是加法的逆运算：减去一个数，等于加上它的相反数。
- 加减混合统一成加法；顺带看出数轴上两点的距离。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
冬天早上的气温是 \(-6\) ℃，到中午升高了 \(9\) ℃。中午是多少度？先点下面的按钮，看温度计上的红柱从 \(-6\) ℃ 往上升：
早上 \(-6\) ℃，升高 \(9\) ℃，中午的气温是多少？
B。先升 \(6\) ℃ 回到 \(0\) ℃，剩下的 \(3\) ℃ 继续往上，到 \(3\) ℃。选 A 是把 \(6\) 和 \(9\) 直接加起来，忘了 \(-6\) 在零下；选 C 是只看到“零下”就写了负号。
把“升高 \(9\) ℃”记作 \(+9\)，这件事就是 \((-6)+(+9)=3\)。这一节要回答：有负数参加的加法，和的符号由什么决定、和的大小怎么算？减法又怎么办？
1. 先认识几个词：把加法看成“在数轴上走两步”
前置知识：数轴、相反数、绝对值（回看 1.2）。把每个数看成一次移动：正负号说往哪边走（正数向右、负数向左），绝对值说走几个单位。点下面几组，看两步走完停在哪：
直觉微图解 ①从原点出发，先走 \(a\)，再接着走 \(b\)，停下的位置就是 \(a+b\)
有理数加法法则（看两件事：和的符号、和的绝对值）：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：\((-3)+(-2)=-(3+2)=-5\)。
- 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：\((-5)+2=-(5-2)=-3\)。
- 互为相反数的两个数相加得 \(0\)。
- 一个数同 \(0\) 相加，仍得这个数。
核心概念 ②先定符号，再算绝对值
先判断是同号、异号还是有 \(0\)，写下符号；再算绝对值。\((-5.6)+2.8\)：异号，\(5.6\) 大，符号取“−”，绝对值 \(5.6-2.8=2.8\)，所以等于 \(-2.8\)。
核心概念 ③“加”不一定变大
加一个正数，和比原数大；加 \(0\)，和不变；加一个负数，就是往左走，和比原数小：\(5+(-2)=3\)，比 \(5\) 小。法则是一种规定，温度、数轴只说明它合理；规定好了就按规定算。
2. 核心点：异号相加，符号跟谁走？
同号相加最好算。难的是一正一负：它们像拔河，往右拉的是正数，往左拉的是负数，谁的绝对值大，结果就偏向谁，剩下的是两个绝对值的差。
直觉微图解 ②正负拔河：比绝对值，定符号；大减小，得绝对值
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \((-7.5)+(+4.25)\)；(2) \(\left(-\tfrac34\right)+\left(-\tfrac56\right)\)。
① 读懂题意：两道都是两个有理数相加。先别急着算数字，第一件事做什么？
提示 1：先分类
(1) 一负一正，是异号；(2) 两个都是负数，是同号。类型不同，符号的定法不同。
看完整示范
④ 回头看：两道题都是“先定符号、再算绝对值”，分数只是在算绝对值时多了通分。
自己试试：\((-9)+5\) 等于多少？
C。异号：\(9>5\)，符号跟 \(-9\) 取“−”，绝对值 \(9-5=4\)。选 B 是把绝对值加起来了；选 D 是符号跟了 \(5\)。
3. 核心点：交换律、结合律还成立吗？
小学学过 \(a+b=b+a\)、\((a+b)+c=a+(b+c)\)，那时只有正数和 \(0\)。现在有了负数和新法则，运算律要重新验证：换几组数（含负数、绝对值不等的异号数）试，不能只看一个例子。
直觉微图解 ③换个先后顺序走，终点一样
这里 \(a,b,c\) 可以是正数、负数或 \(0\)；同一个式子里，同一个字母表示同一个数。
例 2（示范：怎样加更省事）
计算：\((-2.4)+3.5+(-4.6)+2.5\)。
提示：先找能凑整的
哪两个负数相加是整数？哪两个正数相加是整数？
看完整示范
回头看：常用的省事次序：先凑相反数，再把正数、负数分别相加，能凑整的放在一起。
4. 核心点：减法，就是加上相反数
某天最高气温 \(6\) ℃，最低气温 \(-3\) ℃，温差是多少？温度计上从 \(-3\) 数到 \(6\)，一共 \(9\) 格，所以 \(6-(-3)=9\)。这和加法有什么关系？
减法是加法的逆运算：\(6-(-3)\) 要找的是“和 \(-3\) 相加得 \(6\) 的数”。\(9+(-3)=6\)，所以这个数是 \(9\)；而 \(6+3\) 也正好是 \(9\)。换几组数都是这样，于是有：
减去一个数，等于加这个数的相反数。被减数不动，两处同时改。
直觉微图解 ④\(a-b\) 就是“从 \(b\) 走到 \(a\)”：往右走差为正，往左走差为负
例 3（示范）
计算：(1) \(0-7\)；(2) \((-3)-(-8)\)；(3) \(1.5-4.2\)。
提示：第一步只做一件事
减号变加号，减数变成它的相反数，被减数不动。
看完整示范
回头看：(3) 在小学是“不够减”，现在能减了，差是负数。
自己试试：\((-6)-(-6)\) 等于多少？
A。\((-6)-(-6)=(-6)+6=0\)。选 B 是只把减号变成加号、忘了把 \(-6\) 变成 \(6\)；选 C 是连被减数也改了符号。
5. 核心点：加减混合，统一成加法
先把减法都变成加法：\(8-(-5)+(-9)-3=8+5+(-9)+(-3)\)，再省略加号和括号，写成 \(8+5-9-3\)。这个式子要读作“\(8\)、\(5\)、\(-9\)、\(-3\) 的和”，这样才能放心交换、结合：
例 4（示范）
计算：\(8-(-5)+(-9)-3\)。
看完整示范
再试一个：算 \(-15+4+6-9\) 时，里面的“\(-9\)”应该怎么看？
B。省略括号前，它是 \(+(-9)\)。把整个式子看成 \(-15\)、\(4\)、\(6\)、\(-9\) 四个数的和，交换时带着符号走：\([(-15)+(-9)]+(4+6)=(-24)+10=-14\)。
顺带一个发现：数轴上点 \(A\) 表示 \(-3\)，点 \(B\) 表示 \(4\)，两点相距 \(7\) 个单位，正好是 \(4-(-3)\)。换几组试试（“动手”③），会发现：两点间的距离等于较大的数减去较小的数。
6. 用之前必查：三大翻车现场
① 加法：在数轴上走两步
拖动两个圆点（或点一下圆点再用方向键）改变 \(a\)、\(b\)。金色箭头是第一步 \(a\)，绿色箭头是第二步 \(b\)，红点是和。
② 减法：两种看法，同一个答案
拖动 \(a\)、\(b\)。上面一条（看法一）从 \(b\) 走到 \(a\)；下面一条（看法二）从原点先走 \(a\)，再走 \(-b\)（\(b\) 的相反数），红点是结果。两种看法的结果总相同。
③ 进阶：数轴上两点的距离
拖动 \(A\)、\(B\)，数一数两点相距几个单位，再和“大数减小数”比一比。
④ 自己改计划：含负数的加法运算律
自己选三个有理数，给它们甲、乙、丙三个加数卡片。亲自改变先后或先合并哪一对，先预测，再填写中间值与总和。至少一条比较要含负数，也可试0、相反数和分数。
请填精确数值：整数、有限小数（最多12位）或分数，分母写正整数，每个整数最多12位。数字中间不要留空格，首尾和分数线两侧可以留空格。可用全角数字和负号“−”，不要填算式、指数或单位。三个参数的绝对值不超过100，约分后分母不超过100；结果也要填精确值。
我的多组比较（最多12条）
先完成一次交换第一对、一次只移括号，且至少一条含负数，再打开自检。重复比较只更新理由，不增加条数。自由简算可同时用两条加法运算律。
教材运算律与我的应用
教材把加法交换律 \(a+b=b+a\)、结合律 \((a+b)+c=a+(b+c)\) 用于有理数。交换第一对时，比较的是同一对加数换先后；只移括号时，加数顺序不变，先合并的一对改变。本表的有限算例是应用练习，不是对所有有理数的一般证明。
重排时每张加数卡片恰用一次，并带着原符号走。可以先合并相反数凑0，或合并能凑整数、整十的数。理由要指出本组三个数中的具体一对；不是任意换法都更快，也不一定有唯一方便的计划。
算完自己检查：加数和符号有没有变？括号位置和第一步计算一致吗？两次总和与预测一致吗？简算理由是否适合这组数？电脑只核对数值和预测，怎样算更方便、理由是否说清楚，还要自己检查修改。
本活动练习加法交换律与结合律。填入的数、比较结果和理由只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \((-2.5)+(-1.75)\)。
D。同号相加：符号取“−”，绝对值相加 \(2.5+1.75=4.25\)。A、B 是把同号当成异号去“大减小”了；C 漏了符号。
2. 小明记零花钱，收入记正、支出记负。一周的记录是 \(+50\)、\(-18\)、\(-27.5\)、\(+12\)（单位：元）。这一周零花钱是多了还是少了，变化多少？
提示
把四个数加起来，看和的符号；收入、支出各自先合起来更省事。
B。\(50+(-18)+(-27.5)+12=(50+12)+[(-18)+(-27.5)]=62+(-45.5)=16.5\)，结果为正，多了 \(16.5\) 元。C 是把支出也当收入加了；D 只算了支出。
易错
3. 计算 \((-12)+7\)。
C。异号相加：\(12>7\)，符号跟 \(-12\) 取“−”，绝对值 \(12-7=5\)。A 是把绝对值加了起来（翻车现场 ①）；B 是符号跟错了。
4. 计算 \((-4)-(-9)\)。
提示
被减数不动；减号变加号的同时，减数 \(-9\) 变成什么？
A。\((-4)-(-9)=(-4)+9=5\)；也可以看成从 \(-9\) 往右走到 \(-4\)，走了 \(5\)。B 是只改了减号；C 是把被减数也变了号。
5. 下面说法正确的是哪一个？
D。减去一个负数等于加上一个正数，所以差变大，例如 \(3-(-2)=5>3\)。A：\(5+(-2)=3\) 比 \(5\) 小；B：\(2-5=-3\) 可以算；C：\(0-7=-7\)，得的是它的相反数。
挑战
6. 数轴上点 \(A\) 表示 \(-2.5\)。从 \(A\) 先向右移动 \(4\) 个单位，再向左移动 \(6\) 个单位，到达点 \(B\)。点 \(A\)、\(B\) 之间的距离是多少？
提示 1：把移动写成加法
向右记正、向左记负：点 \(B\) 表示 \((-2.5)+4+(-6)\)。
提示 2：距离怎么算
算出 \(B\) 表示的数，再用“较大的数减去较小的数”。
B。\(B\) 表示 \((-2.5)+4+(-6)=-4.5\)，距离 \(=(-2.5)-(-4.5)=2\)。也可以直接看：一共向左净移动了 \(6-4=2\) 个单位。C、D 算的是 \(B\) 表示的数或它的绝对值，不是距离；A 是把两次移动的路程加了起来。
本节中考真题
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四下第1单元 · 四则运算加减互逆关系与混合运算顺序在有理数域保持不变，初中只需叠加符号法则与绝对值比较即可把算术加减推广到有理数。
- 小学 · 五下第6单元 · 分数的加法和减法有理数加减中的分数计算依赖异分母分数找最小公倍数通分，熟练掌握正分数加减才能避免在带符号运算时顾此失彼。