培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第八章 实数
8.2 立方根
知道正方体的体积，怎样求棱长？把“立方”倒过来做，就是开立方。和平方根比一比：这回负数也能开，而且答案只有一个。
本节导读 先修：2.3 有理数的乘方、8.1 平方根 · 本节路线
要用到：立方，尤其“负数的立方是负数”（回看 2.3）；平方根的意义、记号和估算方法（回看 8.1）；小学的正方体体积。
- 从正方体收纳盒进入：已知体积，倒回去找棱长。
- 立方根和记号 \(\sqrt[3]{a}\)：根指数 \(3\) 不能省。
- 每个数都有立方根，而且只有一个，符号跟着被开方数走。
- \(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)：负数先把负号提出来。
- 和平方根对照；用夹逼估算立方根，看小数点移动的规律。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
用棱长 \(1\) dm 的小正方体搭大正方体。点下面几种棱长，数一数一共用了多少块：
一个正方体鱼缸，里面的容积正好是 \(343\) dm³。它里面的棱长是多少？
A。正方体体积 \(=\) 棱长 \(\times\) 棱长 \(\times\) 棱长，也就是棱长的立方。已知立方是 \(343\)，倒回去找“谁的立方是 \(343\)”：\(7^3=343\)。B 是除以 \(3\)；C 是找了“谁的平方约是 \(343\)”；D 错在没有考虑棱长必须是正数；负数的立方也是负数，不可能等于这个正体积。
上一节说负数没有平方根。那负数有没有“谁的立方是它”？这一节要回答：开立方的答案有几个？负数能不能开立方？
1. 先认识几个词：立方根与开立方
前置知识：正数的立方是正数，负数的立方是负数，\(0\) 的立方是 \(0\)（回看 2.3）；平方根的意义（回看 8.1）。点下面几个 \(a\)，找出所有“立方等于 \(a\)”的数：
直觉微图解 ①谁的立方等于 \(a\)？每次都正好一个
定义：如果 \(x^3=a\)，那么 \(x\) 叫作 \(a\) 的立方根（也叫三次方根）。求一个数的立方根的运算叫开立方，它和立方互为逆运算。
记号：\(a\) 的立方根记作 \(\sqrt[3]{a}\)，读“三次根号 \(a\)”。\(a\) 叫被开方数，左上角的 \(3\) 叫根指数，不能省略。\(\sqrt[3]{a}\) 里的 \(a\) 可以是正数、\(0\)，也可以是负数。平方根的 \(\sqrt{a}\) 其实是省略了根指数 \(2\)，也可以读“二次根号 \(a\)”。
核心概念 ②人人都有，而且只有一个
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\) 的立方根是 \(0\)：\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(\sqrt[3]{-64}=-4\)，\(\sqrt[3]{0}=0\)。所以写立方根不加 \(\pm\)。
核心概念 ③\(\sqrt[3]{\ }\) 和 \(\sqrt{\ }\) 只差一个小“3”
\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(\sqrt{64}=8\)。根指数 \(3\) 一省略，就从“谁的立方是 \(64\)”变成了“谁的平方是 \(64\)”，完全是另一个数。
先开立方再立方：\(\left(\sqrt[3]{6}\right)^3=6\)，\(\left(\sqrt[3]{-6}\right)^3=-6\)；先立方再开立方：\(\sqrt[3]{(-3)^3}=-3\)。对任何数都回到原数。
2. 核心点：立方根只有一个，符号跟着被开方数走
为什么立方根总是正好一个？因为立方保留符号：正数立方还是正数，负数立方还是负数，而且数越大，立方越大，不同的数立方后不会撞到一起。点一点看：
直觉微图解 ②立方把每个数送到不同的地方，正负不变
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
求 \(-0.729\) 和 \(2\tfrac{10}{27}\) 的立方根。
① 读懂题意：一个负数、一个带分数。立方根有几个？符号是什么？
提示 1：先处理形式
负数的立方根是负数，先想 \(0.729\) 是谁的立方（\(9^3=729\)）。带分数先化成假分数：\(2\tfrac{10}{27}=\tfrac{64}{27}\)。
看完整示范
④ 回头看：和平方根的写法一样先写“因为……的立方是……”，区别只在于：答案只有一个，负数也有。
自己试试：\(1331\) 的立方根是多少？
B。\(11^3=1331\)；而 \((-11)^3=-1331\)，不是 \(1331\)。写 \(\pm 11\) 是把平方根的习惯搬过来了；C 是除以 \(3\)。
3. 核心点：负数的立方根，先把负号提出来
\(10^3=1000\)，\((-10)^3=-1000\)：两个互为相反数的数，立方后仍互为相反数。倒过来看，就得到：
对任何数 \(a\) 都成立（\(a\) 可以是正数、\(0\) 或负数）。求负数的立方根时，可以先求它的绝对值的立方根，再取相反数。
例 2（示范）
求值：(1) \(\sqrt[3]{-\tfrac{125}{216}}\)；(2) \(-\sqrt[3]{0.008}\)；(3) \(\sqrt[3]{(-4)^3}\)。
提示：负号在根号里面还是外面？
(1) 负号在里面，先提出来；(2) 负号在外面，先算根号；(3) 先算根号里的立方。
看完整示范
回头看：比较上一节：\(\sqrt{(-4)^2}=4\)，平方会“吃掉”负号；而 \(\sqrt[3]{(-4)^3}=-4\)，立方把负号保留了下来。
自己试试：\(\sqrt[3]{-343}\) 等于多少？
B。\((-7)^3=-343\)，所以 \(\sqrt[3]{-343}=-\sqrt[3]{343}=-7\)。D 是把“负数没有平方根”错搬到了立方根上。
4. 核心点：和平方根对照；立方根也能夹逼估算
| 平方根 | 立方根 | |
|---|---|---|
| 正数 | 两个，互为相反数 | 一个，是正数 |
| \(0\) | 一个：\(0\) | 一个：\(0\) |
| 负数 | 没有 | 一个，是负数 |
| 记号 | \(\pm\sqrt{a}\)（\(a\ge 0\)） | \(\sqrt[3]{a}\)（\(a\) 任意） |
| 根指数 | \(2\)，可以省略 | \(3\)，不能省略 |
差别的根源：任何数的平方都不是负数，而立方保留符号。立方根也有“被开方数越大，立方根越大”的规律，所以照样能夹逼：
直觉微图解 ③把 \(\sqrt[3]{20}\) 一位一位夹出来
像 \(\sqrt[3]{2}\)、\(\sqrt[3]{20}\) 这样开不尽的立方根，也是无限不循环小数，计算器上显示的是近似值。
例 3（示范）
\(\sqrt[3]{100}\) 在哪两个相邻整数之间？在哪两个相邻的一位小数之间？
提示：找最近的两个立方数
\(1,8,27,64,125,\ldots\) 里，\(100\) 夹在哪两个之间？
看完整示范
自己试试：\(\sqrt[3]{500}\) 在哪两个相邻整数之间？
A。\(7^3=343<500<512=8^3\)，所以 \(7<\sqrt[3]{500}<8\)。B 是平方根 \(\sqrt{500}\) 的范围；C 是除以 \(3\)；D 没注意 \(500\) 比 \(512\) 小。
小数点规律：\(\sqrt[3]{0.343}=0.7\)，\(\sqrt[3]{343}=7\)，\(\sqrt[3]{343000}=70\)。被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点向同一方向移动一位（平方根是“两位对一位”）。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：不用计算器，能猜出这个立方根吗？
已知 \(117649\) 是一个正两位整数的立方。请先猜这个整数，再用立方检验。你能分别确定它的十位和个位吗？
想好后看解释
口算立方根：数学家华罗庚讲过一个故事——别人报出一个两位整数的立方，要说出这个整数。比如 \(117649\)：去掉后三位剩 \(117\)，\(4^3=64\le117<125=5^3\)，十位是 \(4\)；个位是 \(9\)，只有 \(9^3=729\) 的个位是 \(9\)，所以个位是 \(9\)。答案 \(49\)，验算 \(49^3=117649\) ✓。
① 被开方数和它的立方根
上面一条数轴表示被开方数 \(a\)，下面一条表示 \(\sqrt[3]{a}\)。拖动上面数轴的圆点改变 \(a\)（或点一下圆点再用方向键，每次 ±1）。下面数轴上的红点就是 \(\sqrt[3]{a}\)，负数也照样有。
② 正方体：体积和棱长
拖动正方体右上角的圆点改变体积 \(V\)（方向键每次 ±1）。看体积变了，棱长 \(\sqrt[3]{V}\) 怎么变：体积翻好几倍，棱长只长一点。
③ 进阶：同一个数，平方根和立方根放在一起看
上面一条数轴表示 \(a\)，下面一条画出它的根。拖动圆点改变 \(a\)（方向键每次 ±1）。绿点是平方根（可能两个、一个或没有），红点是立方根（总是一个）。
④ 自己输入：立方根计算器
使用本页立方根计算器：输入被开方数，选精度，再按“∛ 计算”。依次试 \(20\)、\(-20\)、\(0\)、\(-\tfrac18\)，每次读屏幕后，自己写四舍五入的结果。它使用浏览器的立方根近似计算，不是上面的拖动图。
数值框支持小数、分数、括号及四则运算，乘号用 * 或 ×，幂用 ^；不会把上标当作普通数字。复杂写法可保留交教师核对。计算器范围：绝对值不超过一万亿；非零数不小于万亿分之一。
本次计算记录（刷新后清空）
⑤ 先算，再写自己的发现
⑥ 先写立方检验，再写根式结论
求 \(-\tfrac8{27}\) 的立方根。先写“哪个数的立方等于它”的等式（带负号的底数请加括号），再写结论。可以用 ^3 或 ³ 表示立方。
⑦ 报数：已知完全立方数才这样猜
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. \(\sqrt[3]{-1.331}\) 等于多少？
B。\((-1.1)^3=-1.331\)。负数的立方根是负数，只有一个。
2. 一个正方体石墩的体积是 \(0.512\) m³，它的棱长是多少？
A。设棱长为 \(x\) m，\(x^3=0.512\)，\(x=\sqrt[3]{0.512}=0.8\)（\(0.8^3=0.512\)）。B：\(0.08^3=0.000512\)，小数点位置不对；C：立方根只有一个；D 是除以 \(3\)。
易错
3. 下面说法正确的是哪一个？
提示
每一项都立方回去验一验；再看根指数写对没有。
C。\((-1)^3=-1\)。A：\((-5)^3=-125\)，负数有立方根；B：\((-4)^3=-64\)，\(64\) 的立方根只有 \(4\)；D：根指数 \(3\) 不能省，\(\sqrt{27}\) 是 \(27\) 的算术平方根，表示立方根时必须在根号左上角写明根指数。
4. \(\sqrt{64}\) 的立方根是多少？
提示
先算 \(\sqrt{64}\)（注意是平方根号），再求它的立方根。
B。\(\sqrt{64}=8\)，\(8\) 的立方根是 \(2\)。A 是把题目看成了“\(64\) 的立方根”；C 多写了 \(\pm\)；D 只算了第一步。
5. 下面哪个数的立方根比它本身大？
提示
把四个数的立方根都算出来，一个一个比。
B。\(\sqrt[3]{0.001}=0.1>0.001\)。A：\(\sqrt[3]{8}=2<8\)；C：\(\sqrt[3]{1}=1\)，相等；D：\(\sqrt[3]{-0.001}=-0.1\)，在数轴上比 \(-0.001\) 更靠左，反而更小。在正数里，只有 \(0\) 和 \(1\) 之间的数开立方后变大；负数要单独比，不能套用正数的结论。
挑战
6. 已知 \((2x-1)^3=-27\)，求 \(x\)。
提示 1：看成一个整体
把 \(2x-1\) 看成一个数：它的立方是 \(-27\)，它是几？有几个？
提示 2
\(2x-1=-3\)，再解出 \(x\)。
A。\(2x-1=\sqrt[3]{-27}=-3\)，\(2x=-2\)，\(x=-1\)。检验：\(2\times(-1)-1=-3\)，\((-3)^3=-27\) ✓。立方根只有一个，不会出现“或”：C 是错用了 \(\pm 3\)，B 是只用了 \(+3\)；D 是把 \(-27\) 当成了 \(2x-1\) 的值。
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