培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
直觉常常会骗人。把实际问题翻译成方程，解出来，再回到问题里检查一遍——这就是“设、列、解、检、答”。
本节导读 先修：5.1 方程、5.2 解一元一次方程 · 本节路线
要用到：列方程、等式的性质（回看 5.1）；解一元一次方程（回看 5.2）；用含字母的式子表示数量（回看 3.1）。
- 从先涨价、再降价的外套进入：直觉可靠吗？
- 设、列、解、检、答五步，检验有两层。
- 先列表再找相等关系：工程、配套问题。
- 检验的第二层：解要合乎实际。
- 方案比较：先找“一样多”，再看两边。
- 练习与中考真题，回看三大翻车现场。
一件外套先涨价 \(20\%\)，过了一个月又降价 \(20\%\)，现在卖 \(96\) 元。点下面两个按钮，看价钱的长条怎样变化：
这件外套原来卖多少元？
B。设原价 \(x\) 元。涨价后是 \(1.2x\) 元，再降价 \(20\%\) 是 \(1.2x\times0.8=0.96x\) 元，所以 \(0.96x=96\)，\(x=100\)。检：涨到 \(120\) 元，再降 \(24\) 元，得 \(96\) 元 ✓。选 A 是以为“涨 \(20\%\)、降 \(20\%\)”正好抵消；选 C 是拿现价又乘了 \(0.96\)。
两个 \(20\%\) 的“基数”不一样：涨价按原价算，降价按涨价后的价钱算，所以抵消不了。直觉说不清的事，列个方程就清楚了。这一节学：怎样把实际问题变成方程，解完又怎样回到问题里检查。
1. 先认识几个词：设、列、解、检、答
前置知识：列方程（回看 5.1）、解方程（回看 5.2）、用含字母的式子表示数量（回看 3.1）。
用方程解决实际问题，一般分五步：设未知数（带单位）→ 列方程（先用一句话说出相等关系）→ 解方程 → 检验 → 写出答案。
检验有两层：一是方程的解有没有算错（代入原方程）；二是这个解合不合实际——人数、场数、题数要是整数且不为负，长度、时间要是正数，阶梯计价中的用量要落在所设的那一档。
直觉微图解 ①从实际问题出发，最后还要回到实际问题
核心概念 ②相等关系从哪来
最常用两种：同一个量算两遍（两种方案的费用、两人走过的路程）；部分之和 \(=\) 总量（甲做的 \(+\) 乙做的 \(=\) 全部工作）。读完题先列一张小表，把已知量和含 \(x\) 的式子填进去。
核心概念 ③方程的解 ≠ 问题的答案
方程 \(2x=9\) 的解是 \(x=4.5\)，没问题；但如果 \(x\) 表示人数，\(4.5\) 个人不合实际，要说“不合题意”。题目问的也可能是 \(5x\)、\(20-x\)，不一定是 \(x\) 本身。
把实际问题翻译成方程，解完再回到实际情境检验、作答，这样的方程就是描述问题的数学模型。
2. 核心点：先列表，再找相等关系
直觉微图解 ②工程问题：把全部工作看作 \(1\)，看合做几天正好填满
甲队单独修一条绿道要 \(12\) 天，乙队要 \(18\) 天。甲先修 \(2\) 天，再两队合修 \(x\) 天。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一条绿道，甲队单独修要 \(12\) 天完成，乙队单独修要 \(18\) 天完成。甲队先单独修 \(2\) 天，然后两队合修。还要合修几天才能完成？
① 读懂题意：工作总量没给具体数。甲一天能修全部的几分之几？
提示 1：效率怎么表示
把全部工作看作 \(1\)。甲 \(12\) 天修完，每天修 \(\tfrac{1}{12}\)；乙每天修多少？注意不是 \(12\)、\(18\)。
提示 2：列表
表头写“每天修 | 修几天 | 修了多少”，甲一行、乙一行。相等关系：甲修的 \(+\) 乙修的 \(=1\)。
看完整示范
| 每天修 | 修几天 | 修了多少 | |
|---|---|---|---|
| 甲 | \(\tfrac{1}{12}\) | \(2+x\) | \(\tfrac{2+x}{12}\) |
| 乙 | \(\tfrac{1}{18}\) | \(x\) | \(\tfrac{x}{18}\) |
④ 回头看：答：还要合修 \(6\) 天。甲修的天数是 \(2+x\)，不是 \(x\)：先做的 \(2\) 天别漏掉。
自己试试：车间有 \(27\) 名工人，每人每天能做 \(40\) 个瓶身或 \(100\) 个瓶盖，\(1\) 个瓶身配 \(2\) 个瓶盖。设 \(x\) 人做瓶身，要使每天做的正好配套，方程是？
A。瓶身有 \(40x\) 个，需要瓶盖 \(2\times40x\) 个；做出的瓶盖有 \(100(27-x)\) 个。相等关系：做出的瓶盖 \(=\) 需要的瓶盖。B 把比例写反了——先用小数字试：\(10\) 个瓶身要 \(20\) 个瓶盖，是“盖数 \(=2\times\) 身数”。解 A 得 \(x=15\)：\(15\) 人做瓶身，\(12\) 人做瓶盖。
3. 核心点：检验的第二层——解要合乎实际
方程算对了，不等于问题有答案。看一个例子：知识竞赛共 \(20\) 题，答对一题得 \(5\) 分，答错或不答扣 \(2\) 分。设答对 \(x\) 题，得分是 \(5x-2(20-x)\)，即 \(7x-40\)。
直觉微图解 ③答对的题数只能落在整数点上
自己试试：同一场竞赛，小明说“我得了 \(65\) 分”。可能吗？
A。\(7x-40=65\)，\(7x=105\)，\(x=15\)，是 \(0\) 到 \(20\) 之间的整数，合乎实际。检验：答对 \(15\) 题得 \(75\) 分，错 \(5\) 题扣 \(10\) 分，\(75-10=65\) ✓。C 是忘了扣分：\(5x=65\)。
4. 核心点：方案比较——先找“一样多”，再看两边
解出的 \(x\) 只是分界。题目问“选哪种”，还要在分界两边各代一个数看一看。
例 2（示范）
班级要打印复习讲义。甲店每页 \(0.4\) 元；乙店前 \(50\) 页每页 \(0.6\) 元，超过 \(50\) 页的部分每页 \(0.2\) 元。印多少页时选哪家更省钱？
① 读懂题意：乙店的价钱分两档。前 \(50\) 页乙店贵；印得多时乙店后面的页便宜。会不会在某个页数两家一样多？
提示 1：先看第一档
不超过 \(50\) 页时，甲店每页 \(0.4\) 元，乙店每页 \(0.6\) 元，谁省？
提示 2：超过 50 页时找分界
设印 \(x\) 页（\(x\) 超过 \(50\)）时两家一样多：甲 \(0.4x\) 元，乙 \(30+0.2(x-50)\) 元。
看完整示范
④ 回头看：答要分三段说：少于 \(100\) 页选甲店；正好 \(100\) 页两家一样（都是 \(40\) 元）；多于 \(100\) 页选乙店。只答“\(100\) 页”是没答完。
再试一个：照例 2 的价钱，印 \(60\) 页，选哪家？
A。\(60\) 比分界 \(100\) 小：甲 \(24\) 元，乙 \(30+0.2\times10=32\) 元，甲省 \(8\) 元，正好是 \(0.2\times(100-60)\)。“超过 \(50\) 页乙店就便宜”的直觉不对：前 \(50\) 页多花的钱，要到 \(100\) 页才赚回来。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：同一问题，能换个设法吗？
回到例 1，改设“甲一共修了多少天”为未知数。请重新列方程，再换算合修天数，和原来的结果比较。
想好后看解释
同一个问题可以设不同的未知数、列不同的方程。例 1 也可以设“甲一共修了 \(x\) 天”，方程变成 \(\tfrac{x}{12}+\tfrac{x-2}{18}=1\)，解得 \(x=8\)，合修 \(8-2=6\) 天，结果一样。挑一个让式子最简单的设法。
① 相向而行：两车什么时候相遇
甲、乙两地相距 \(360\) 千米。甲车从甲地出发，每小时 \(70\) 千米；乙车同时从乙地出发，每小时 \(50\) 千米，相向而行。拖动下方时间轴上的圆点（或用方向键）。
② 方案比较：甲店还是乙店
例 2 的两家打印店。拖动页数 \(n\)，比较两家收费的长条；竖线是乙店换档的 \(50\) 页。
③ 进阶：阶梯水价，先定档再列方程
每月用水 \(12\) 吨以内每吨 \(3\) 元，超出部分每吨 \(5\) 元。拖动用水量，看水费由哪两段组成；虚线是交了 \(66\) 元的那户。
自己完成：设、找关系、列、解、双检、答
沿用本页的水价、计分和印刷情境，换一组数据独立做。每步先写再核对；换设法或数据会清空这次过程。草稿只留在当前页面，刷新后可重做。
算式可用小数、分数、括号、加减乘除，乘号可写 *、× 或省略。未知量统一写 x。暂时无法识别的写法会提示“暂未核对”，请保留纸笔推导，不把它当成数学错误。
方案比较：理由也由你写
另一批印刷报价：甲店每页 0.5 元；乙店前 40 页每页 0.7 元，超过 40 页的部分每页 0.3 元。页数 n 是非负整数，不印不收费。先建费用式和分界方程，再比较三段。只求出“一样贵”还没有回答选哪家。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 两地相距 \(270\) 千米。一辆客车每小时行 \(50\) 千米，一辆货车每小时行 \(40\) 千米，两车同时从两地出发相向而行，几小时后相遇？
A。设 \(x\) 小时后相遇。相等关系：客车走的 \(+\) 货车走的 \(=\) 两地距离，\(50x+40x=270\)，\(x=3\)。B 用了速度差，那是同向追及；C、D 只算了一辆车。
2. 一件商品售价 \(99\) 元，利润率是 \(10\%\)。它的进价是多少元？
A。设进价 \(x\) 元，利润是 \(0.1x\)。相等关系：进价 \(+\) 利润 \(=\) 售价，\(1.1x=99\)，\(x=90\)。B 是 \(99\times0.9\)，把 \(10\%\) 当成了售价的 \(10\%\)；C 是 \(99\times1.1\)，方向反了。
易错
3. 一个水池，单开甲管 \(4\) 小时注满，单开乙管 \(6\) 小时注满。两管同时开，几小时注满？
提示
把一池水看作 \(1\)，甲每小时注 \(\tfrac14\)。两管一起开，一定比单开甲管快。
A。设 \(x\) 小时注满：\(\tfrac{x}{4}+\tfrac{x}{6}=1\)，两边乘 \(12\)，\(3x+2x=12\)，\(x=2.4\)。D 是把“\(4\) 小时”“\(6\) 小时”当成每小时注的量（\(4x+6x=1\)）：效率是 \(\tfrac14\)，不是 \(4\)。B、C 比单开还慢，一看就不对。
4. 某户用电每月 \(180\) 度以内每度 \(0.6\) 元，超过 \(180\) 度的部分每度 \(0.9\) 元。这户某月交电费 \(135\) 元，用电多少度？
提示
先定档：用满 \(180\) 度要交多少钱？\(135\) 元比它多还是少？
A。用满 \(180\) 度是 \(108\) 元，\(135\) 元超过了，在第二档。设用电 \(x\) 度，\(108+0.9(x-180)=135\)，\(x-180=30\)，\(x=210\)。B 是全按 \(0.6\) 元算；C 是全按 \(0.9\) 元算，而 \(150\) 度根本到不了第二档，自相矛盾。
5. 一件商品进价 \(80\) 元，售价 \(100\) 元。它的利润率是多少？
提示
先写定义式：利润率 \(=(\)售价 \(-\) 进价\()\div\) 进价，再代数。
B。利润 \(100-80=20\) 元，利润率 \(=20\div80=25\%\)。A 是除以了售价；C 是售价 \(\div\) 进价，那不是利润率。
挑战
6. 租车：甲公司收 \(50\) 元起步费，另外每千米 \(2\) 元；乙公司不收起步费，每千米 \(3\) 元。要行驶 \(40\) 千米，选哪家更省钱？
提示 1：先找分界
设行驶 \(x\) 千米时两家一样：\(50+2x=3x\)。
提示 2：再看 40 在哪一侧
分界是多少千米？\(40\) 比它多还是少？代进去各算一遍。
B。分界：\(50+2x=3x\)，\(x=50\)。\(40\) 千米比分界少：甲 \(50+80=130\) 元，乙 \(120\) 元，乙更省。D 只答出了分界，没回答“选哪家”；选 A 是以为有起步价的单价低就一定省。
本节中考真题
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