培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第五章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
两边都有 \(x\)、带括号、带分母的方程怎么解？每一步仍是“两边做同样的事”，只是有了更快的写法：移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为 1。
本节导读 先修：5.1 方程、4.2 整式的加减 · 本节路线
要用到：等式的性质、方程的解（回看 5.1）；合并同类项、去括号法则（回看 4.2）；有理数的四则运算（回看 2.1）。
- 从天平进入：两边各拿走同样多的盒子。
- 移项：“两边同减这一项”的快写法，跨过等号就变号。
- 去括号：括号前的数乘括号里每一项。
- 去分母：两边每一项都乘最小公倍数。
- 一般步骤：看方程的样子来选，不是死套路。
- 练习与中考真题，回看三大翻车现场。
天平两边一样重。用 \(x\) 表示一个盒子的质量。点“两边各拿走 1 个盒子”，看看还剩什么。
两边各拿走 \(1\) 个盒子后，天平表示的是哪个等式？
A。左边剩3个盒子和3克，右边只剩15克，所以是 \(3x+3=15\)。两边拿走同样重的东西，仍一样重。
详细解释
A。左盘少 \(1\) 个盒子剩 \(3\) 个，右盘的盒子拿光了：\(3x+3=15\)，天平仍平衡（等式的性质 1：两边减同一个式子 \(x\)）。再两边减 \(3\)、除以 \(3\)，得 \(x=4\)。选 B 是只拿了右边；选 C 是把右边的 \(x\) “搬”到左边时没变号，加成了 \(5x\)。
对照原方程看：右边的 \(x\) 跑到了左边，变成了 \(-x\)。这一节就把这种“跨过等号就变号”的写法讲清楚，再处理括号和分母。
1. 先认识几个词：移项、合并同类项、系数化为 1
前置知识：等式的性质（回看 5.1）；合并同类项、去括号（回看 4.2）。
解方程的目标：把方程变成 \(x=m\)（\(m\) 是常数）。每一种变形都朝这个目标走一步：
- 移项：把方程一边的某一项改变符号后移到另一边。依据是等式的性质 1。“项”连同它前面的符号一起算：\(5x-8=12-3x\) 要移的是 \(-8\) 和 \(-3x\)。
- 合并同类项：方程里的同类项只有两类——含 \(x\) 的项、常数项，用分配律合起来，如 \(5x+3x=8x\)。
- 系数化为 1：把 \(ax=b\) 两边除以 \(a\)（\(a\) 是不为 \(0\) 的已知数），依据是等式的性质 2。
直觉微图解 ①移项，就是“两边同减（同加）这一项”的快写法
上面一行是原方程 \(6x-7=2x+9\)，下面一行是变形后的样子；红框是新出现的项。
核心概念 ②移项 vs 换位置
把 \(3+x=7\) 写成 \(x+3=7\)：在同一边交换加数，不变号。把 \(3\) 移到右边写成 \(x=7-3\)：跨过等号，才变号。没有移动的项，符号不变。
核心概念 ③按变形结果检查
每一步写“移项，得……”“合并同类项，得……”，一行一个等式。求出 \(x\) 后代入原方程，左右两边算出来相等才放心。
2. 核心点：移项与合并同类项
通常把含 \(x\) 的项移到左边，常数项移到右边；没有移动的项不变号。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
解方程 \(8x-5=3x+20\)。
① 读懂题意：两边都有 \(x\)，也都有常数项。离 \(x=m\) 还差什么？
提示：哪些项要搬家
把右边的 \(3x\) 搬到左边，把左边的 \(-5\) 搬到右边。搬过去时符号怎么变？
看完整示范
④ 回头看：移项那一步，其实是“两边减 \(3x\)、再两边加 \(5\)”两步并成一步写。
自己试试：解方程 \(2x+9=6x-7\)，得 \(x=\)？
A。移项，得 \(2x-6x=-7-9\)；合并，得 \(-4x=-16\)；两边除以 \(-4\)，得 \(x=4\)。检验：左边 \(17\)，右边 \(24-7=17\) ✓。B 是除以 \(-4\) 时符号算错；C 是 \(9\) 移过去没变号（写成 \(-7+9\)），得 \(-4x=2\)。
3. 核心点：去括号
括号前的数要乘括号里每一项；括号前是负的，括号里每一项都变号。去括号用的是分配律，和整式运算一样。
直觉微图解 ②括号前的数，要“分”给括号里每一项
例 2（示范）
解方程 \(5-2(x-3)=x+2\)。
① 读懂题意：左边有括号，括号前是 \(-2\)。先做哪一步？
提示：先去括号
\(-2\) 乘 \(x\) 得 \(-2x\)，\(-2\) 乘 \(-3\) 得多少？
看完整示范
④ 回头看：也可以先合并左边的 \(5+6=11\) 再移项：步骤的次序看方程的样子定。
自己试试：解方程 \(3(x-1)-(2x+5)=4\)，得 \(x=\)？
A。去括号，得 \(3x-3-2x-5=4\)；移项合并，得 \(x=12\)。检验：\(3\times11-29=4\) ✓。B 是把 \(-(2x+5)\) 写成了 \(-2x+5\)，括号里第二项没变号；C 是把 \(3(x-1)\) 写成了 \(3x-1\)，只乘了第一项。
4. 核心点：去分母
依据是等式的性质 2。分数线有括号的作用：分子是多项式时，去分母后要整体加括号。
直觉微图解 ③\(\tfrac{x}{2}-\tfrac{x-1}{3}=1\) 两边乘 \(6\)：三种写法，只有一种对
例 3（示范）
解方程 \(\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{2x-1}{3}=1\)。
① 读懂题意：有分母 \(2\) 和 \(3\)，两个分子都是多项式，第二个分数前是减号。
提示：乘几？哪里要加括号？
\(2\) 和 \(3\) 的最小公倍数是 \(6\)。右边的 \(1\) 也要乘 \(6\)；\(\tfrac{2x-1}{3}\) 乘 \(6\) 得 \(2(2x-1)\)，括号不能丢。
看完整示范
④ 回头看：不要“对角相乘”：等号一边有两个分数时它根本用不上。统一用“两边乘最小公倍数”。
自己试试：解方程 \(\dfrac{x}{3}-1=\dfrac{x-2}{4}\)，得 \(x=\)？
A。两边乘 \(12\)，得 \(4x-12=3(x-2)\)，即 \(4x-12=3x-6\)，\(x=6\)。检验：\(2-1=1\)，\(\tfrac44=1\) ✓。B 是漏乘了不带分母的 \(1\)（写成 \(4x-1\)）；C 是右边分子没加括号，只乘了 \(x\)（写成 \(3x-2\)）。
5. 一般步骤：看方程的样子来选
- 去分母：两边每一项乘各分母的最小公倍数（性质 2）。
- 去括号：括号前的数乘括号里每一项（分配律）。
- 移项：含 \(x\) 的项移到一边，常数项移到另一边，移过去的变号（性质 1）。
- 合并同类项：化成 \(ax=b\)（分配律）。
- 系数化为 1：两边除以 \(a\)（性质 2）。系数是负数或分数时先口算符号：\(-\tfrac35x=9\)，两边乘 \(-\tfrac53\)，得 \(x=-15\)，不是 \(9\times(-\tfrac35)\)。
这不是五步全走的套路：没有分母就不去分母，系数已经是 \(1\) 就不用除；有时先合并再移项更顺。
检验时把求出的值代回原方程，分别算两边，检查计算是否出错。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：怎样消掉循环小数的尾巴？
把 \(0.555\cdots\) 写成分数。设它为 \(x\)，把它乘几后，才能通过相减消去相同的循环尾部？
想好后看解释
选学：\(0.555\cdots\) 写成分数。设 \(x=0.555\cdots\)，则 \(10x=5.555\cdots\)，两式相减得 \(9x=5\)，\(x=\tfrac59\)。
① 一步一步解：每一步看依据
选一个方程，拖动下方的圆点（或点一下圆点再用方向键）一步步走。上一行是上一步，下一行是这一步：金框是这一步算出来的项，红框是跨过等号、变了号的项。
② 系数化为 1：\(ax+b=c\) 的解从哪来
拖动三个圆点改变 \(a\)、\(b\)、\(c\)（\(a\) 不取 \(0\)）。下面数轴上的红点是方程的解。
③ 进阶：去分母为什么乘“最小”公倍数
方程 \(\tfrac{x}{m}+\tfrac{x}{n}=m+n\)。拖动 \(m\)、\(n\)，上面一排点是 \(m\) 的倍数，下面一排是 \(n\) 的倍数，竖线是公倍数。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 解方程 \(5x-4=2x+11\)，得 \(x=\)？
A。移项，得 \(5x-2x=11+4\)；合并，得 \(3x=15\)；\(x=5\)。B 是 \(-4\) 移项没变号（\(3x=7\)）；D 是忘了系数化为 1；C 是符号算错。
2. 解方程 \(4(x+1)=7x-8\)，得 \(x=\)？
A。去括号，得 \(4x+4=7x-8\)；移项，得 \(4x-7x=-8-4\)；合并，得 \(-3x=-12\)；\(x=4\)。B 是去括号只乘了第一项（\(4x+1\)）；C 是除以 \(-3\) 时符号错。
易错
3. 方程 \(\dfrac{x-1}{2}-3=\dfrac{2x+1}{5}\) 去分母（两边乘 \(10\)），正确的是？
提示
三项都要乘 \(10\)，包括没有分母的 \(3\)；分子先加括号。
A。\(\tfrac{x-1}{2}\times10=5(x-1)\)，\(3\times10=30\)，\(\tfrac{2x+1}{5}\times10=2(2x+1)\)。B 漏乘了 \(3\)；C 去括号时只乘了第一项；D 右边的分子没乘 \(2\)。继续解得 \(x=37\)。
4. 解方程 \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}=2\)，得 \(x=\)？
提示
两边乘 \(4\)：\(\tfrac{x-3}{4}\) 变成 \((x-3)\)，前面是减号，括号去掉时里面每一项都变号。
A。两边乘 \(4\)，得 \(2x-(x-3)=8\)；去括号，\(2x-x+3=8\)；\(x=5\)。检验：\(\tfrac52-\tfrac24=2\) ✓。B 是分子没加括号（\(2x-x-3=8\)）；C 是右边的 \(2\) 漏乘了 \(4\)。
5. 解方程 \(-\tfrac23x=4\)，得 \(x=\)？
提示
要让 \(x\) 的系数变成 \(1\)，两边除以 \(-\tfrac23\)，也就是乘它的倒数 \(-\tfrac32\)。
A。两边乘 \(-\tfrac32\)，得 \(x=4\times\left(-\tfrac32\right)=-6\)。检验：\(-\tfrac23\times(-6)=4\) ✓。B 是乘反了，算成了 \(4\times(-\tfrac23)\)；C 丢了负号。
挑战
6. 两个正数的比是 \(2:7\)，它们的差是 \(35\)。较大的数是多少？
提示 1：怎么设
按比例设成 \(2x\)、\(7x\)，方程最简单。
提示 2：别急着交卷
解出 \(x\) 以后，题目问的是 \(x\) 吗？
C。两数都是正数，设为 \(2x\)、\(7x\)（\(x\) 是正数，所以 \(7x\) 较大），\(7x-2x=35\)，\(5x=35\)，\(x=7\)，较大的数 \(7x=49\)。A 只求出了 \(x\)；B 是较小的数；D 是把差当成了和：\(2x+7x=35\)。求出 \(x\) 后要回到题目，算出真正要问的量。
本节中考真题
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