培玉 · 初中数学← 返回主页九年级上册 · 第二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数的概念
学过一次函数和二次函数，这一章认识第三类函数。从高铁的速度与时间、面积固定的矩形的长与宽出发，看清反比例函数的本质特征，掌握它的三种写法和待定系数法。
不需要预先学过“反比例”：先想面积固定的矩形，长 × 宽保持不变，再用表格逐行核对乘积。小学若接触过相关关系，可以联系旧经验；没有学过，也从这里开始。
本节导读 先修：18.1 分式概念 · 22.1 函数概念 · 23.1 一次函数 · 本节路线
要用到：分式的意义与分母不能为零（回看 18.1）、函数的基本概念与自变量取值范围（回看 22.1）、待定系数法求函数解析式（回看 23.1）。
- 从京沪高铁运行切入：为什么总路程一定时，速度与时间成反比例关系？
- 抽象出反比例函数的定义：形如 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \ne 0\)），自变量 \(x \ne 0\)。
- 解析式三种等价形态：分式形态、负指数形态 \(y=kx^{-1}\) 与乘积守恒形态 \(xy=k\)。
- 待定系数法：已知双曲线上一点坐标，代入即可唯一求出常数 \(k\)。
- 动手实验：面积守恒台和取值表，直观感受乘积守恒。
- 自检与中考真题演练，注意参数的指数限制和非零条件。
京沪高速铁路全长约为 \(1318\text{ km}\)。列车沿京沪线运行，由于车次和停靠站点不同，列车全程的平均运行速度 \(v\)（单位：\(\text{km/h}\)）与全程运行时间 \(t\)（单位：\(\text{h}\)）具有怎样的对应关系？
比较不同用时对应的速度，思考两个变量的数量关系。
路程固定为 \(s = 1318\text{ km}\)。由物理路程公式 \(s = vt\) 可知，平均速度 \(v\) 与运行时间 \(t\) 的函数关系式是 \(v = \frac{1318}{t}\)。这里的函数具有什么特点？
C。路程固定为 \(1318\text{ km}\)，因此 \(vt = 1318\)（常数），即 \(v = \frac{1318}{t}\)。
路程固定时，运行时间 \(t\) 越长，平均速度 \(v\) 就越小；反过来，要缩短时间，就得提高速度。两个变量的乘积为一个非零常数，自变量出现在分母中，这类函数叫作反比例函数。
1. 先认识几个词：什么是反比例函数？
前置知识：分式的意义（回看 18.1）、函数的概念（回看 22.1）。判断一个函数是不是反比例函数，要看是否满足三个条件：
- 形如分式：形如 \(y = \frac{k}{x}\)，自变量 \(x\) 单独处于分母位置，分子是常数 \(k\)。
- 系数非零：常数 \(k\) 叫作反比例系数，必须满足 \(k \ne 0\)。
- 自变量非零：因为分母不能为 0，所以自变量 \(x\) 的取值范围是 \(x \ne 0\) 的一切实数，对应函数值 \(y \ne 0\)。
直觉微图解 ①反比例函数识别门禁：核验三道关卡
关键条件 1为什么比例系数必须 \(k \ne 0\)？
若 \(k = 0\)，则 \(y = \frac{0}{x} = 0\)（对于 \(x \ne 0\)），函数退化为常数函数 \(y = 0\)（在 \(x\) 轴上挖掉原点的一条水平线），彻底失去两个变量反向互补变动的特征。
关键条件 2切记区分 \(y = \frac{k}{x}\) 与 \(y = \frac{x}{k}\)
分母是自变量还是常数有本质区别！\(y = \frac{x}{4} = \frac{1}{4}x\) 中自变量在分子，是正比例函数（一次函数）；只有自变量在分母 \(y = \frac{4}{x}\) 时才是反比例函数。
2. 核心特征：三种等价形态与乘积守恒
直觉微图解 ②反比例函数的三种写法与乘积不变的关系
衔接思考：从积不变到函数，哪些条件不能漏？
先从乘法认识积不变，不以“小学已经学过反比例”为前提。面积固定时，矩形的长与宽的积固定；实际问题还要另看量的意义和允许范围，例如长、宽都必须为正。
本节用已经学过的函数概念：每个允许的非零自变量都有唯一对应值，且积是同一个非零常数。纯数学表达式的自变量也可以是负数。图象的象限、增减性与作图方法留到 27.2；本页相关曲线只作后续预览，求系数用已知对应值相乘即可。
3. 待定系数法：只要一个点，就能定全局
直觉微图解 ③为什么求反比例函数只需一个已知点？
概念对比：为什么一次函数需要两个点，而反比例函数只要一个点？
一次函数 \(y = kx + b\) 中含有两个待定系数：斜率 \(k\) 与截距 \(b\)，根据二元一次方程组的解法，必须有两个独立方程（即两个已知点的坐标）才能唯一确定。
而反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 中只有一个待定系数 \(k\)！只要给出双曲线上任意一个非原点坐标 \((x_0, y_0)\)，利用乘积守恒直接计算 \(k = x_0 y_0\)，即可直接确定解析式，简便快捷。
解题关键：反比例函数参数题的“双重锁”原则
当中考题出现含字母参数的定义题（如 \(y = (m-1)x^{m^2-2}\) 为反比例函数）时，解题必须同时满足两把锁：
- 指数锁：自变量 \(x\) 的指数必须等于 \(-1\)（由 \(m^2 - 2 = -1\) 解出 \(m^2 = 1 \implies m = \pm 1\)）；
- 系数锁：系数必须不为零（\(m - 1 \ne 0 \implies m \ne 1\)）。
综合两把锁，排除增根 \(m = 1\)，唯一正确答案是 \(m = -1\)！遗漏系数非零是中考最易丢分的陷阱。
示范例题运用待定系数法求反比例函数解析式与求值
题目：已知 \(y\) 是 \(x\) 的反比例函数，并且当 \(x = 4\) 时，\(y = -3\)。
(1) 写出 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式；
(2) 当 \(x = -2\) 时，求 \(y\) 的值；
(3) 当 \(y = 1.5\) 时，求自变量 \(x\) 的值。
【Polya 审题与理解】
已知是反比例函数，这意味着可设解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \ne 0\)）。条件给出了一组对应值 \((4, -3)\)，要求解析式并进行自变量与函数值的双向互求。
先自己想一想，再展开：想办法、完整解答、回头看
【拟定计划】
第一步：设出标准式 \(y = \frac{k}{x}\)；第二步：代入 \(x = 4, y = -3\) 求出待定系数 \(k\)；第三步：代入 \(x = -2\) 算 \(y\)；第四步：令 \(y = 1.5\) 解关于 \(x\) 的方程。
【执行解答】
解：(1) 设 \(y\) 关于 \(x\) 的反比例函数解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \ne 0\)）。
因为当 \(x = 4\) 时 \(y = -3\)，把 \(x = 4, y = -3\) 代入解析式得：
\[ -3 = \frac{k}{4} \implies k = 4 \times (-3) = -12 \]
所以 \(y\) 关于 \(x\) 的函数解析式为 \(y = -\frac{12}{x}\)。
(2) 把 \(x = -2\) 代入 \(y = -\frac{12}{x}\) 得：
\[ y = -\frac{12}{-2} = 6 \]
(3) 把 \(y = 1.5\) 代入 \(y = -\frac{12}{x}\) 得：
\[ 1.5 = -\frac{12}{x} \implies x = -\frac{12}{1.5} = -8 \]
【回顾与反思】
检验乘积守恒：\(4 \times (-3) = -12\)，\((-2) \times 6 = -12\)，\((-8) \times 1.5 = -12\)，三组乘积都是 \(-12\)。\(xy = k\) 是最可靠的验算办法。
【自测 1 · 概念辨析】下列函数中，\(y\) 是 \(x\) 的反比例函数的是（ ）
B。A 为正比例函数；C 分母为 \(x+2\) 不是单一自变量；D 自变量次数为 2 不是反比例；唯有 B 满足 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k = -5\)）。
【自测 2 · 参数双重锁】若函数 \(y = (a-3)x^{a^2-10}\) 是反比例函数，则常数 \(a\) 的值为（ ）
A。反比例函数指数为 \(-1\)：\(a^2 - 10 = -1 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3\)；同时要求系数非零：\(a - 3 \ne 0 \implies a \ne 3\)。舍去 3，得 \(a = -3\)。
【自测 3 · 待定系数求值】反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 的图象经过点 \(P(-2, 5)\)，则当 \(x = 5\) 时，\(y\) 的值为（ ）
C。由点 \(P(-2, 5)\) 得 \(k = xy = (-2) \times 5 = -10\)，解析式为 \(y = -\frac{10}{x}\)。当 \(x = 5\) 时，\(y = -\frac{10}{5} = -2\)。
4. 用之前必查：三大翻车现场
自己列表：每一行的积都一样吗？
选一组待查数据，或自拟 2–10 行。先自己计算每行的积，再判断这些数据能否符合一个反比例函数。这里允许的自变量只指表内列出的全部不同 x；每一行都要检查，不能只看前两行。已知是反比例函数时，一个点就能求 k；这里要求至少两个不同 x，是为了练习比较。
x、y 支持整数（最多三位）、小数（小数部分最多两位）、简单分数（整数分子最多三位、正整数分母 1–99），可带负号；不接受加号、前导零、科学记数或数内空格。积支持最多十二位整数分子、最多四位小数或分母 1–999999 的分数。只可在整个数的两端留空格。
| x | y | 我算的 xy | 行操作 |
|---|
文字依据由你对照准则自核，程序只核对数值和选择。有限表符合，不代表已证明所有非零实数或原生活情境都符合；建立实际模型还需题设依据和实际范围。
先拉长宽，亲眼看“乘积守恒”；再拉 \(k\) 和 \(x\)，看表格里每一列的 \(y\) 怎样变、积怎样不变。
基础实验 ①面积守恒台：长 × 宽 = 24 平方米，长变了宽怎么变？
后续预览（27.2）：下面保留的曲线供提前观察，象限、增减性和作图方法不是本节判断的前提。本节只用表中的对应值计算 xy；曲线性质下一节再研究。
进阶实验 ②换 \(k\) 的值：表格里的 \(y\) 和积 \(xy\)（进阶）
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下列各选项中，两个变量成反比例函数关系的是（ ）
C。A：\(C=4a\)，正比例；B：\(S=\pi r^2\)，不是反比例；C：\(\frac12ah=20\)，\(h=\frac{40}{a}\)，反比例；D：\(y=3x\)，正比例。
2. 已知反比例函数 \(y=\frac{6}{x}\)，下列各点中不在它的图象上的是（ ）
D。点在图象上，当且仅当横纵坐标的积等于 \(k=6\)：A \(2\times3=6\)；B \((-1)\times(-6)=6\)；C \((-2)\times(-3)=6\)；D \(3\times(-2)=-6\ne6\)。
易错
3. 已知反比例函数的图象经过点 \(A(-4,3)\)，它的解析式是（ ）
提示
设 \(y=\frac kx\)，\(k=xy\)。两个坐标一正一负，积的符号是什么？
A。\(k=(-4)\times3=-12\)，所以 \(y=-\frac{12}{x}\)。B 丢了负号；C 是用 \(\frac{x}{y}\) 当 \(k\)（\(\frac{-4}{3}\)）；D 是 \(k=\frac yx=-\frac34\)，得到的是正比例函数。
4. 学校组织同学去相距 \(60\text{ km}\) 的科技馆，客车的平均速度 \(v\)（\(\text{km/h}\)）与所需时间 \(t\)（\(\text{h}\)）的函数关系式是（ ）
提示
路程一定：速度 × 时间 = 路程。再想想 \(t\) 能不能取 \(0\)。
B。\(vt=60\)，\(v=\frac{60}{t}\)，时间必须大于 \(0\)。A 把乘积写成了商；C 是把“积一定”当成“差一定”；D 的 \(t\) 在分子，成了正比例。
5. 下列说法正确的是（ ）
提示
回到定义：\(y=\frac kx\)，\(k\ne0\)，\(x\ne0\)。逐条用一个具体的数试一试。
C。\(-3x^{-1}=-\frac3x\)，\(k=-3\ne0\)。A：\(y=-2x+5\) 也是越来越小，却是一次函数；B：\(x=0\) 时没有意义，\(x\ne0\)；D：分母是 \(3x+1\)，不是单独的 \(x\)（\(\frac{1}{3x+1}\) 不能写成 \(\frac kx\)）。
挑战
6. 点 \(A(a,3)\)、\(B(-2,b)\) 都在同一个反比例函数 \(y=\frac kx\) 的图象上，并且 \(a-b=5\)，则 \(k\) 的值是（ ）
提示 1：两个点都给出 k
点 \(A\)：\(k=3a\)；点 \(B\)：\(k=-2b\)。
提示 2：消元
\(3a=-2b\)，得 \(b=-\frac32a\)，再代入 \(a-b=5\)。
B。\(a-\left(-\frac32a\right)=\frac52a=5\)，\(a=2\)，\(b=-3\)，\(k=3a=6\)。验算：\((-2)\times(-3)=6\)。A 是把 \(a-b=5\) 变形成 \(b=a+5\)（符号错了），得 \(a=-2\)，\(k=-6\)；C 只求出了 \(a\) 就停了；D 把条件里的 \(5\) 当成了 \(k\)。
本节中考真题
共 7 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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近三年各地中考原卷真题，检验点在图象上的判断、代入求值和待定系数法。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 六下第4单元 · 比例小学反比例关系中“两个量的乘积一定（$xy=k$）”的认识，在初中扩展到非零实数域并形成双曲线图象与增减性分析。