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八年级下册 · 综合与实践（第二十三章后）

综合与实践 音乐与数学

乐谱里藏着分数，琴弦里藏着比，节拍器里藏着一次函数。把一根弦按在不同位置，算一算音为什么会变高；再用古人的“三分损益法”生出五个音，看看为什么转一圈回不到原点。

本节导读　先修：分式 · 整数指数幂 · 一次函数 · 本节路线

要用到：分式的运算（回看 18.1）、整数指数幂（回看 18.4）、一次函数和正比例函数（回看 23.1、23.4）。不需要会识谱，页面会先讲清几个音乐词。

  1. 从一根弦进入：按住一半，音高怎么变？
  2. 节拍与分数：音符时值是 \(2\) 的整数指数幂，一小节要“凑满”。
  3. 弦长与音高：弦长 × 频率不变；八度、五度、四度对应简单的比。
  4. 三分损益法：乘 \(\dfrac23\)、乘 \(\dfrac43\) 交替，生出宫商角徵羽。
  5. 速度与时长：拍速固定时，演奏时长是拍数的正比例函数。
  6. 动手拨弦、“五度相生”转一圈，再做练习和巩固题。

一根琴弦，整根振动时每秒振动 \(220\) 次（频率 \(220\) Hz）。用手指按住弦上某处，只让一部分振动，音就变了。先点按钮看一看：

同一根弦、松紧不变，只让一半振动，频率变成多少？

B。弦越短振动越快：同一根弦，弦长 × 频率保持不变。长度变为 \(\dfrac12\)，频率变为 \(2\) 倍，\(220\times2=440\) Hz，听起来是“高八度”的同一个音。A 是把频率也减半了；D 是振动 \(\dfrac23\) 时的频率。

1. 先认识几个词：音符时值、拍号、频率、音程

前置知识：分式、整数指数幂（回看 18.4）、正比例函数（回看 23.1）。

直觉微图解 ①音符一次次“对半分”：时值是 \(2\) 的负整数次幂

自己试试 1：\(\dfrac44\) 拍的一小节里已经有一个二分音符、一个四分音符。再加下面哪一组，正好填满这一小节？

B。已有 \(\dfrac12+\dfrac14=\dfrac34\)，还差 \(\dfrac14\)；两个八分音符 \(2\times\dfrac18=\dfrac14\)。A 会超出 \(\dfrac14\)；C 只有 \(\dfrac18\)，不够；D 是 \(\dfrac38\)，多了。

2. 核心点：弦长 × 频率 = 定值

\(l_1f_1=l_2f_2\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{l_1}{l_2}\)

前提：同一根弦，材料和松紧都不变（这是实验得到的规律）。先写出新旧弦长的比，再用乘积不变求频率的比；算完检查弦变短时频率是否变高。

直觉微图解 ②弦长取简单的比，听起来最和谐

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：三分损益法生五音）

古人定音：取一根弦长为 \(81\) 个单位，发出的音叫“宫”。弦长乘 \(\dfrac43\)（三分益一）得“徵”，再乘 \(\dfrac23\)（三分损一）得“商”，再乘 \(\dfrac43\) 得“羽”，再乘 \(\dfrac23\) 得“角”。求四个音的弦长，并把五个音从低到高排列。

① 读懂题意：每一步在上一步的弦长上乘一个分数；弦越长，音越低。

提示 1：为什么起点取 81

\(81=3^4\)。每乘一次 \(\dfrac23\) 或 \(\dfrac43\)，分母都是 \(3\)，起点含 \(4\) 个因数 \(3\)，乘 \(4\) 次都还是整数。

看完整示范
② 想办法：按顺序连乘，每步算出一个整数弦长；再按弦长从长到短排，就是从低到高。
③ 执行：徵 \(81\times\dfrac43=108\)，商 \(108\times\dfrac23=72\)，羽 \(72\times\dfrac43=96\)，角 \(96\times\dfrac23=64\)。弦长从长到短：徵 \(108\)、羽 \(96\)、宫 \(81\)、商 \(72\)、角 \(64\)。
执行中检查：每一步都是整数 ✓；角 \(64\) 与宫 \(81\) 的比 \(\dfrac{64}{81}=\left(\dfrac89\right)^2\)，比宫短，所以更高 ✓。

④ 回头看：从低到高是 徵、羽、宫、商、角。乘 \(\dfrac23\) 音升高一个纯五度；乘 \(\dfrac43\) 相当于先乘 \(\dfrac23\) 再乘 \(2\)，即升五度后再降八度，音变低。

自己试试 2：同一根弦，振动部分长 \(90\) cm 时频率是 \(200\) Hz。按住后振动部分长 \(72\) cm，频率是多少？

C。\(90\times200=72f\)，\(f=250\) Hz。弦长比 \(\dfrac{72}{90}=\dfrac45\)，频率比 \(\dfrac54\)，是纯大三度。A 是把频率也乘了 \(\dfrac45\)；B 是“短了 \(18\) 就多 \(18\)”，把比例关系当成了加减。

3. 核心点：拍速固定，时长是拍数的正比例函数

拍速（BPM）表示每分钟多少拍。拍速为 \(b\) 时，每拍 \(\dfrac{60}{b}\) 秒，演奏 \(n\) 拍用时 \(t=\dfrac{60}{b}\,n\)（秒）。\(b\) 固定时，\(t\) 是 \(n\) 的正比例函数，图象是过原点的直线。

直觉微图解 ③拍速越快，直线越平

例 2（示范：一段乐曲要演奏多久）

一段 \(\dfrac44\) 拍的乐曲共 \(24\) 小节，拍速 \(96\) 拍/分。写出演奏 \(n\) 拍用时 \(t\)（秒）的函数式，并求整段用时。

① 读懂题意：先求总拍数，再用每拍秒数乘拍数。

提示：每拍几秒

一分钟 \(60\) 秒里有 \(96\) 拍，每拍 \(\dfrac{60}{96}=\dfrac58\) 秒。

看完整示范
② 想办法：\(t=\dfrac58n\)，总拍数 \(n=24\times4\)。
③ 执行：\(n=96\)，\(t=\dfrac58\times96=60\) 秒。
执行中检查：拍速 \(96\) 拍/分，正好 \(96\) 拍，应当是 \(1\) 分钟 ✓。

④ 回头看：\(t=\dfrac58n\) 的比例系数 \(\dfrac58\) 就是“每拍秒数”。拍速变了，系数跟着变，直线的倾斜程度也变。

自己试试 3：一段 \(96\) 拍的乐曲，拍速 \(120\) 拍/分时用时 \(48\) 秒。拍速改为 \(80\) 拍/分，用时多少？

A。每拍 \(\dfrac{60}{80}=0.75\) 秒，\(0.75\times96=72\) 秒。拍速变慢，用时变长。B 是把 \(48\) 乘了 \(\dfrac{80}{120}\)，方向反了；C 以为拍数不变时长就不变。

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）弦长和频率同方向变
❌ 典型错解：弦长变为 \(\dfrac45\)，频率也变为 \(\dfrac45\)。
✅ 改正：乘积不变，弦长乘 \(\dfrac45\)，频率就乘 \(\dfrac54\)：\(220\to275\) Hz。
翻车现场 ②附点就是“加一拍”
❌ 典型错解：附点二分音符是 \(3\) 拍，所以附点总是加一拍，附点八分音符 \(=\dfrac12+1\) 拍。
✅ 改正：附点是加上原时值的一半。附点二分音符仍是 \(2+1=3\) 拍，错在把它推广为所有附点都“加一拍”；附点八分音符 \(=\dfrac12\times\dfrac32=\dfrac34\) 拍。
翻车现场 ③拍速快了，时长也“快”了
❌ 典型错解：拍速从 \(60\) 提到 \(120\)，用时也翻倍。
✅ 改正：拍数不变时，拍速翻倍，每拍时间减半，用时减半。
边界与前提：这一页用到的规律成立的条件

① “弦长 × 频率不变”只对同一根弦、材料和松紧不变的情况成立；换一根弦或拧紧弦钮，频率都会变。② 页面里的 \(220\) Hz 等数值是举例，不是某件乐器的规定音高。③ 拍号 \(\dfrac44\) 拍里“一小节 = 一个全音符”是本页约定的读法；三连音等特殊记法不在本页范围。④ \(t=\dfrac{60}{b}n\) 要求整段拍速不变，乐曲中途变速时要分段计算。

拓展：五度相生为什么回不到原点；十二平均律

连续升 \(12\) 个纯五度，频率乘 \(\left(\dfrac32\right)^{12}\)；降 \(7\) 个八度，除以 \(2^7\)。如果正好回到原音，应有 \(\left(\dfrac32\right)^{12}=2^7\)，但左边 \(=\dfrac{531441}{4096}\approx129.75\)，右边 \(=128\)，比值约 \(1.0136\)，差一点点（这叫“音差”）。现代钢琴用十二平均律：把八度平均分成 \(12\) 个半音，每升一个半音频率都乘同一个数，乘 \(12\) 次正好是 \(2\)。所以琴键对应的频率不是等差的，吉他品格的间距也越往高处越窄——它们都不是一次函数关系。

① 拨一根弦：弦长与频率

空弦频率取 \(220\) Hz。点按钮跳到常用位置，或拖滑块改变振动部分占全弦的百分比。

② 进阶：五度相生转一圈

每一步把弦长乘 \(\dfrac23\)（升一个纯五度）；如果比半根还短，就再乘 \(2\)（降一个八度），于是这一步合起来是乘 \(\dfrac43\)。图中每根柱是一步之后的弦长。拖到第 \(12\) 步，看能不能回到整根。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 八分音符的时值是全音符的多少？用整数指数幂表示。

A。全音符对半分 \(3\) 次：\(\dfrac12\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac18=2^{-3}\)。B 是 \(8\) 倍；C 是 \(\dfrac1{64}\)；D 把“八分”的 \(8\) 当成了指数。

2. 同一根弦，振动部分长 \(60\) cm 时频率 \(300\) Hz。振动部分改为 \(40\) cm，频率是多少？

D。\(60\times300=40f\)，\(f=450\) Hz。A 是频率跟着变短；B、C 是按加减去凑。

易错

3. \(\dfrac34\) 拍（以四分音符为一拍，每小节 \(3\) 拍）的一小节里已有一个附点四分音符。再加哪一个，正好填满？

提示

附点四分音符是 \(1\times\dfrac32\) 拍，不是 \(2\) 拍。

B。已有 \(1\times\dfrac32=1.5\) 拍，还差 \(1.5\) 拍，正好是一个附点四分音符。A 只有 \(1\) 拍——把附点当成“加一拍”、以为已有 \(2\) 拍的人会选它；C 是 \(2\) 拍，超出；D 只有 \(0.5\) 拍。

4. 同一根弦，振动部分变为原来的 \(\dfrac23\)，频率变为原来的多少？

提示

弦长 × 频率不变。

B。\(l\cdot f=\dfrac23l\cdot f'\)，\(f'=\dfrac32f\)。A 是翻车现场 ①；C 是把“少了 \(\dfrac13\)”当成了结果。

5. 一段 \(64\) 拍的乐曲，拍速从 \(80\) 拍/分改为 \(120\) 拍/分，用时从 \(48\) 秒变为多少？

提示

先求新的每拍秒数 \(\dfrac{60}{120}\)。

C。\(0.5\times64=32\) 秒。拍速变快，用时变短。A 是方向反了；B 是 \(48+40\)，把拍速的增加量加到了时长上。

挑战

6. 如果三分损益法的“宫”取弦长 \(72\)，仍按 乘 \(\dfrac43\)、乘 \(\dfrac23\)、乘 \(\dfrac43\)、乘 \(\dfrac23\) 的顺序依次得 徵、商、羽、角，第一次出现非整数弦长的是哪个音？

提示 1

\(72=2^3\times3^2\)，只含两个因数 \(3\)。

提示 2

逐个算：\(72\times\dfrac43=96\)，再往下算两步。

C。徵 \(96\)，商 \(64\)，羽 \(64\times\dfrac43=\dfrac{256}{3}\)，不是整数。\(72\) 只有两个因数 \(3\)，乘两次就用完了；所以古人取 \(81=3^4\)。D：到角之前羽已经不是整数。

巩固练习 1：在 \(\dfrac44\) 拍（以四分音符为一拍，每小节 \(4\) 拍）的一小节里，已有一个二分音符和一个附点四分音符。还要再加几个八分音符，才能正好填满这一小节？（　）

A。二分音符 \(2\) 拍，附点四分音符 \(1\times\dfrac32=1.5\) 拍，已有 \(3.5\) 拍，还差 \(0.5\) 拍。八分音符是 \(0.5\) 拍，所以再加 \(1\) 个。故选 A。

巩固练习 2：同一根琴弦（材料、松紧不变），振动部分长 \(l\)（cm）与频率 \(f\)（Hz）满足 \(lf\) 为定值。整根振动时 \(l=75\)，\(f=264\)。要发出 \(396\) Hz 的音，振动部分应长（　）

A。\(lf=75\times264=19800\)。\(396l=19800\)，\(l=50\) cm。也可看出 \(\dfrac{396}{264}=\dfrac32\)，弦长应为原来的 \(\dfrac23\)：\(75\times\dfrac23=50\)。故选 A。

巩固练习 3：节拍器设为每分钟 \(90\) 拍，演奏 \(n\) 拍用时 \(t\) 秒。下列说法正确的是（　）

A。每拍 \(\dfrac{60}{90}=\dfrac23\) 秒，\(t=\dfrac23n\)。\(1\) 分 \(20\) 秒 \(=80\) 秒，\(\dfrac23n=80\)，\(n=120\)。故选 A。

本节真题与练习

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