培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
解方程、解不等式、解方程组，七年级都会算了。现在换个角度：它们都能在一次函数的图象上“看”出来——一元一次方程的解是直线与 \(x\) 轴交点的横坐标，二元一次方程组的解是两条直线交点的坐标（一对数）。
本节导读 先修：23.2 一次函数的图象和性质 · 本节路线
要用到：一次函数的图象、与坐标轴的交点（回看 23.2）；解一元一次方程（回看 5.2）、二元一次方程组（回看 10.1、10.2）、一元一次不等式（回看 11.2）。
- 从放水问题进入：“水放完”就是函数值为 \(0\)。
- \(ax+b=0\) 的解 ↔ 直线 \(y=ax+b\) 与 \(x\) 轴交点的横坐标。
- \(ax+b\gt 0\)（\(\lt 0\)）的解集 ↔ 直线在 \(x\) 轴上方（下方）部分的横坐标范围。
- 二元一次方程 ↔ 一条直线；方程组的解 ↔ 两条直线的交点。
- 比较两个函数值：先求交点，再看两侧谁在上面。
- 练习与中考真题。
一个水池里有 \(12\ \mathrm{m^3}\) 水，打开排水管后每小时排出 \(3\ \mathrm{m^3}\)。剩下的水量 \(y\)（\(\mathrm{m^3}\)）与时间 \(x\)（h）的关系是 \(y=-3x+12\)。点按钮看图象上的点：
打开排水管后，几小时水正好放完？
B。放完就是 \(y=0\)：\(-3x+12=0\)，\(x=4\)。在图上，就是直线和 \(x\) 轴的交点 \((4,0)\)。选 A、C 是把题里的数直接当成答案；选 D 是把 \(12\) 和 \(3\) 乘了起来。
这一节要回答：方程、不等式、方程组的解，在一次函数的图象上分别是什么？
1. 先认识几个词：一张图读三件事
前置知识：与坐标轴的交点（回看 23.2）、一元一次不等式（回看 11.2）。任何一元一次方程都能化成 \(ax+b=0\)（\(a\ne 0\)）；把左边看成一次函数 \(y=ax+b\)，看下面的直线 \(y=-0.5x+1.5\)：
直觉微图解 ①看纵坐标的正负，读横坐标的范围
核心概念 ②从函数值看
解 \(ax+b=0\)：求函数 \(y=ax+b\) 的值为 \(0\) 时 \(x\) 的值。解 \(ax+b\gt 0\)：求函数值大于 \(0\) 时 \(x\) 的范围。
核心概念 ③从图象看
方程的解是直线与 \(x\) 轴交点的横坐标；\(\gt 0\) 的解集是直线在 \(x\) 轴上方那部分的横坐标范围，\(\lt 0\) 看下方。交点是分界点，严格不等号不含它。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。基础示范直接可见，卡住时也可按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
利用函数 \(y=-3x+6\) 的图象，求方程 \(-3x+6=0\) 的解和不等式 \(-3x+6\gt 0\) 的解集。
① 读懂题意：方程和不等式的左边，正好是哪个函数？要在图上找什么？
本例实线是 \(y=-3x+6\)，过 \((0,6)\)、\((2,0)\)。横轴上交点读作 \(x=2\)；左侧直线在横轴上方，表示 \(x\lt2\)，严格不等号不含交点。
提示 1：先找与 \(x\) 轴的交点
令 \(y=0\)。交点把直线分成两部分。
提示 2：哪部分在上方
\(k=-3\lt 0\)，直线从左向右下降：交点左边高还是右边高？
基础示范：跟着走一遍
④ 回头看：图象法和代数解法得到同一个答案。\(k\lt 0\) 时，“上方”在交点左侧——这正对应“除以负数，不等号变向”。
自己试试：直线 \(y=kx+b\) 与 \(x\) 轴交于 \((-3,0)\)，且 \(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。不等式 \(kx+b\gt 0\) 的解集是？
A。直线上升，过 \((-3,0)\)：交点右边的部分在 \(x\) 轴上方。B 是把方向弄反了；C 把分界点当成了原点；D 写的是纵坐标的范围，题目要的是 \(x\) 的范围。
2. 核心点：二元一次方程就是一条直线
方程 \(x+2y=6\) 可以化成 \(y=-0.5x+3\)，它对应一个一次函数、一条直线。七年级只列出了几组整数解；其实它有无数组解：
直觉微图解 ②方程的每一组解，都是直线上的一个点；直线上每个点，都是一组解
从“数”看：自变量取何值时两个函数值相等，这个值是多少；从“形”看：两条直线交于哪一点。
直觉微图解 ③两个方程各是一条直线，公共解就是交点
例 2（示范）
用图象法解方程组 \(\begin{cases}x-y=-1,\\ 2x+y=7.\end{cases}\)
先选路线：每个方程化成一次函数后，各对应一条直线；要找同时满足两个方程的一对数，就在同一坐标系里找交点。
本例实线是 \(y=x+1\)，虚线是 \(y=-2x+7\)。交点 \(P\) 沿竖虚线向下读横坐标 \(2\)，沿横虚线向左读纵坐标 \(3\)，所以读作 \(P(2,3)\)。两条线的交点同时满足两个方程；还需代回检验。
提示 1：先化成一次函数
把每个方程都写成 \(y=\cdots\) 的形式。
提示 2：读出交点后还要做什么
图上读的数可能不准，代回两个方程检验。
基础示范：跟着走一遍
回头看：方程组的解是一对数，要写全 \(x\) 和 \(y\)。交点不在格点上时，图上只能读出近似值，精确解还是要用消元法求（“动手”② 可以试）。
自己试试：直线 \(y=2x+b\) 与 \(y=-x+4\) 交于点 \((1,m)\)。方程组 \(\begin{cases}y=2x+b,\\ y=-x+4\end{cases}\) 的解是？
A。交点在 \(y=-x+4\) 上，\(m=-1+4=3\)，交点是 \((1,3)\)，它就是方程组的解（顺便可得 \(b=1\)）。B 把横、纵坐标对调了；C 只写了一半；D 是把 \(4\) 当成了 \(m\)。
交点在第一条直线上，所以它的坐标满足第一个方程；它也在第二条直线上，所以也满足第二个方程。同时满足两个方程，正是“方程组的解”的意思。反过来，方程组的解 \((x,y)\) 作为一个点，既在第一条直线上又在第二条直线上，只能是交点。所以“解方程组”和“找交点”是同一件事的两种说法：消元法算得准，图象法看得清，两者可以互相检验。
3. 核心点：比较两个函数值——看交点两侧
两条直线的交点把 \(x\) 轴分成两段：一段里第一条直线在上面，另一段里第二条在上面。先从图象得到启示，再用不等式算出确切结果。
直觉微图解 ④竖直线从左往右扫：交点左右，“谁在上面”换了过来
例 3（示范）
已知 \(y_1=x+2\)，\(y_2=-0.5x+5\)。当 \(x\) 取何值时，\(y_1\gt y_2\)？
本例实线是 \(y_1=x+2\)，虚线是 \(y_2=-0.5x+5\)。虚线投影读出交点 \(P(2,4)\)；交点右侧实线在虚线上方，即 \(x\gt2\) 时 \(y_1\gt y_2\)，交点处相等，不包含在内。
提示：两条路
图象：先求交点，看哪一侧 \(y_1\) 的直线在上面。代数：直接解不等式 \(x+2\gt -0.5x+5\)。
基础示范：跟着走一遍
回头看：\(x=2\) 时两者相等，不在解集里。
再试一个：看微图解 ④ 里的 \(y_1=x\) 和 \(y_2=-0.5x+3\)。当 \(x\) 取何值时 \(y_1\lt y_2\)？
B。交点横坐标：\(x=-0.5x+3\)，\(x=2\)。交点左边 \(y_2\) 的直线在上面，所以 \(x\lt 2\)。验证：\(x\lt -0.5x+3\Rightarrow 1.5x\lt 3\Rightarrow x\lt 2\) ✓。A 方向反了；C 用了 \(y_2\) 与 \(y\) 轴交点的纵坐标；D 把相等的 \(x=2\) 也算了进去。
4. 用之前必查：三大翻车现场
① 一条直线，读方程和不等式
先选要看的是方程还是不等式；再拖金圈（在 \(y\) 轴上，改变 \(b\)）和绿圈（在 \(x=1\) 上，改变 \(k\)），直线是 \(y=kx+b\)。也可以点圆圈后用方向键。
② 两条直线的交点与方程组
两个蓝圈确定直线 \(\ell_1\)，两个金圈确定直线 \(\ell_2\)，圆圈都停在格点上。拖动它们，看交点和方程组的解；交点不在格点上时，比一比“读图”和“精确值”。
③ 进阶：比较两个函数值
选一组函数，拖动 \(x\) 轴上的圆点（或用方向键），看这个 \(x\) 处 \(y_1\)（蓝）和 \(y_2\)（金）谁大。\(x\) 轴上绿色一段是 \(y_1\gt y_2\) 的范围，红色一段是 \(y_1\lt y_2\) 的范围。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 直线 \(y=3x-9\) 与 \(x\) 轴的交点是 \((3,0)\)。由此可知方程 \(3x-9=0\) 的解是？
C。与 \(x\) 轴交点的横坐标就是方程的解。A 用了与 \(y\) 轴交点的纵坐标；B 用了交点的纵坐标。
2. 一次函数 \(y=kx+b\) 的图象经过 \((-2,0)\) 和 \((0,4)\)。不等式 \(kx+b\lt 0\) 的解集是？
B。从 \((-2,0)\) 到 \((0,4)\)，直线上升；在 \(x\) 轴下方的是交点 \((-2,0)\) 左边那段，所以 \(x\lt -2\)。C 读成了 \(y\) 轴上的数；D 把原点当成了分界点。
易错
3. 不等式 \(-2x+4\gt 0\) 的解集是？（可以想直线 \(y=-2x+4\)）
提示
直线与 \(x\) 轴交于 \((2,0)\)，它是上升还是下降？
B。\(k=-2\lt 0\)，直线下降，交点左边在上方（翻车现场 ①）。代数：\(-2x\gt -4\)，除以 \(-2\) 变号，\(x\lt 2\)。A 是方向反了；C 把与 \(y\) 轴交点的纵坐标当成了分界点。
4. 直线 \(\ell_1\) 与 \(\ell_2\) 交于点 \((2,-1)\)，它们对应的二元一次方程组的解是？
提示
交点的横坐标是 \(x\)，纵坐标是 \(y\)，两个都要写。
D。方程组的解是一对数，就是交点的横、纵坐标。A、C 只写了一半；B 把横、纵坐标对调了。
5. 小明画出方程组 \(\begin{cases}y=x+1,\\ y=-2x+5\end{cases}\) 中两个方程对应的直线，从图上读出交点约为 \((1.3,2.3)\)。下列说法正确的是哪一个？
提示
用消元法算一下精确的交点，再和读数比一比。
B。\(x+1=-2x+5\)，\(3x=4\)，\(x=\tfrac43\approx 1.33\)，\(y=\tfrac73\approx 2.33\)，读数接近但不精确。A 把近似值当成了精确解；C、D 都不对：交点存在，图象法能帮我们看出解的大概位置。
挑战
6. 直线 \(y=x+1\) 与直线 \(y=-x+5\) 相交。这两条直线与 \(x\) 轴围成的三角形面积是多少？
提示 1：三个顶点
两条直线的交点，加上它们各自与 \(x\) 轴的交点。
提示 2：底和高
底在 \(x\) 轴上；高是交点的纵坐标。
A。交点：\(x+1=-x+5\)，\(x=2\)，\(y=3\)。与 \(x\) 轴的交点分别是 \((-1,0)\)、\((5,0)\)，底 \(=5-(-1)=6\)，高 \(=3\)，面积 \(=\tfrac12\times 6\times 3=9\)。B 忘了乘 \(\tfrac12\)；C 只算了底；D 是用交点的横坐标 \(2\) 当高，又忘了乘 \(\tfrac12\)：\(2\times 6=12\)。
本节中考真题
共 8 道，含 4 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这一节的中考题多是“看图读解”：方程的解、不等式的解集、方程组的解，都从直线和交点读出来。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 直线的交点坐标与距离公式初中“两条一次函数直线的交点坐标即对应二元一次方程组的解”的认识，是高中解析几何联立直线方程求交点、结合勾股定理推导两点间距离公式的基础。