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七年级下册 · 第十章 二元一次方程组

10.1 二元一次方程组的概念

题目里有两个不知道的量、两句必须同时成立的话，就干脆设两个未知数，列两个方程。这一节先认清“二元一次方程（组）”，再弄明白它们的“解”：一个解是一对数，方程组的解是两个方程的公共解。

本节导读　先修：5.1 方程、4.1 整式 · 本节路线

要用到：方程和方程的解、一元一次方程（回看 5.1）；单项式的次数、整式（回看 4.1）。

  1. 从买文具进入：两个不知道的量、两句话。
  2. 认识二元一次方程：两个未知数、整式、含未知数的项都是一次项。
  3. 一个二元一次方程的解：是一对数，而且有无数对。
  4. 二元一次方程组和它的解：两个方程的公共解。
  5. 用列表尝试找公共解（怎么“解”留到 10.2）。
  6. 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

文具店里笔记本 \(3\) 元一本，中性笔 \(2\) 元一支。小林买了笔记本和笔一共 \(7\) 件，正好花了 \(17\) 元。他各买了几件？先点下面几种猜法，看看两句话各满足了没有：

小林买了几本笔记本、几支笔？

B。\(3\) 本 \(4\) 支：件数 \(3+4=7\)，钱数 \(9+8=17\)，两句话都满足。A、C 件数对、钱数不对（\(16\) 元、\(18\) 元）；D 钱数对（\(15+2=17\)），件数却只有 \(6\) 件。

设买了 \(x\) 本笔记本、\(y\) 支笔，两句话就是 \(x+y=7\) 和 \(3x+2y=17\)。这一节要回答：这样的方程叫什么？它的“解”长什么样？两个方程合在一起时，什么才算解？

1. 先认识几个词：“元”是未知数，“次”看含未知数的项

前置知识：方程的解（回看 5.1）、单项式的次数（回看 4.1）。一元一次方程只有一个未知数；现在未知数变成两个。点下面几个方程，看它们过不过三道关：

直觉微图解 ①三道关：几个未知数？是不是整式？含未知数的项几次？

四个名词（用自己的话记）：

核心概念 ②一元 vs 二元

一元一次方程 \(3x+2=17\) 的解是一个数 \(x=5\)，只有一个。二元一次方程 \(3x+2y=17\) 的解是一对数，比如 \(x=3,\ y=4\)，也可以是 \(x=1,\ y=7\)……有无数对。

核心概念 ③方程的解 vs 方程组的解

\(x=1,\ y=7\) 满足 \(3x+2y=17\)，是这个方程的解；但 \(1+7=8\ne 7\)，不满足 \(x+y=7\)，所以不是方程组的解。方程组的解必须两个方程都过关。

2. 核心点：怎样判断是不是二元一次方程

三道关缺一不可。要注意两件事：“次数”看的是含未知数的项，\(xy\) 这一项是 \(2\) 次；有括号、同类项的，先整理再判断。

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{两个未知数}}_{\text{整理后数字母}}}\;+\;\color{#966524}{\underbrace{\text{整式}}_{\text{分母里没有字母}}}\;+\;\color{#B5452F}{\underbrace{\text{含未知数的项都是一次项}}_{xy,\ x^2\ \text{都是 2 次}}}\)

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

下面哪些是二元一次方程？① \(5x-2y=1\)　② \(\tfrac{x}{4}+y=3\)　③ \(xy-y=2\)　④ \(\tfrac{3}{x}-y=1\)　⑤ \(3(x-y)=3x+6\)

① 读懂题意：要对五个方程逐个过“三道关”。哪一个看起来像、其实要先整理？

提示 1：分母里是数还是字母？

② 的分母是数 \(4\)，\(\tfrac{x}{4}\) 就是 \(\tfrac14 x\)；④ 的分母里是字母 \(x\)。

提示 2：⑤ 先去括号

\(3(x-y)=3x+6\) 去括号得 \(3x-3y=3x+6\)，两边同减 \(3x\)，还剩几个未知数？

看完整示范
② 想办法：每个方程都按“数字母 → 看分母 → 看含未知数的项的次数”的顺序查，有括号的先整理。
③ 执行：① 两个未知数，\(5x\)、\(-2y\) 都是 1 次 ✓。② \(\tfrac14 x\) 是整式 ✓。③ \(xy\) 是 2 次 ✗。④ 字母在分母里，不是整式 ✗。⑤ 整理得 \(-3y=6\)，只剩一个未知数 ✗。
执行中检查：③ 里 \(x\)、\(y\) 单看都是 1 次，但“次数”看整项，\(xy\) 是两个字母相乘，是 2 次。

④ 回头看：答案是 ① ②。最容易被骗的是 ⑤：表面上有 \(x\)、\(y\)，整理后 \(x\) 消失了，其实是一元一次方程。

自己试试：下面哪一个是二元一次方程？

B。\(y=3x-1\) 两个未知数、整式、含未知数的项都是一次项，写法不像 \(ax+by=c\) 也没关系，移项就是 \(3x-y=1\)。A 有 \(y^2\)，C 的 \(xy\) 是 2 次，D 的字母在分母里。

3. 核心点：一个二元一次方程的解——一对数，而且有无数对

方程 \(2x+y=9\) 里，\(x\) 随便取一个值，\(y\) 就跟着确定下来。点下面几组，看 \(2x\) 和 \(y\) 怎样“拼”成 \(9\)：

直觉微图解 ②先走 \(2x\)，再走 \(y\)，终点总是 \(9\)

\(\color{#2F7A56}{\underbrace{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}_{\text{一对数，缺一不可}}}\qquad \color{#966524}{\underbrace{2x+y=9\ \text{的解}}_{\text{有无数对}}}\qquad \color{#B5452F}{\underbrace{\text{随便一对}}_{\text{不一定是解}}}\)

例 2（示范）

(1) 判断 \(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}\)、\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) 是不是方程 \(3x-2y=4\) 的解；(2) 再写出这个方程的一个解。

① 读懂题意：“是不是解”就是代进去，看左边算出来是不是等于右边。

提示：(2) 怎样“造”一个解

先给 \(x\) 定一个值，比如 \(x=4\)，代入后就成了只含 \(y\) 的一元一次方程。

看完整示范
② 想办法：每一对都把 \(x\)、\(y\) 同时代入左边 \(3x-2y\)，和右边 \(4\) 比。
③ 执行：\(3\times2-2\times1=4\) ✓；\(3\times0-2\times(-2)=4\) ✓；\(3\times1-2\times2=-1\ne4\) ✗。(2) 取 \(x=4\)：\(12-2y=4\)，\(y=4\)，所以 \(\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}\) 是一个解。
执行中检查：代入负数时加括号：\(-2\times(-2)=+4\)，不要写成 \(-4\)。

④ 回头看：前两对是解，第三对不是：解有无数对，但不是任意一对数都是解。(2) 的答案不唯一，\(x\) 取别的值也行。

自己试试：下面哪一对是方程 \(x-3y=1\) 的解？

A。\(4-3\times1=1\) ✓。B：\(2-3=-1\)；C：\(0-3=-3\)；D：\(3-6=-3\)。选 D 多半是把方程看成了 \(x-y=1\)，漏了 \(y\) 前面的系数 \(3\)。

4. 核心点：方程组的解是“公共解”

回到买文具：\(x\)、\(y\) 是件数，只能取 \(0,1,2,\dots\) 这样的非负整数。先列出满足 \(x+y=7\) 的所有情形，再一个个算 \(3x+2y\)，找出也等于 \(17\) 的那一个：

直觉微图解 ③列表尝试：两份“名单”里都有的，才是方程组的解

\(\text{方程组的解}=\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{代入\textcircled{1}成立}}_{\text{左边}=\text{右边}}}\ \text{并且}\ \color{#966524}{\underbrace{\text{代入\textcircled{2}成立}}_{\text{左边}=\text{右边}}}\)

怎样不靠列表、直接把公共解“算”出来，是 10.2 的事。这一节只用代入检验和列表尝试。

例 3（示范）

判断 \(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\) 和 \(\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}\) 是不是方程组 \(\begin{cases}2x+3y=1\ \textcircled{1}\\x-4y=6\ \textcircled{2}\end{cases}\) 的解。

提示：要验几次？

每一对都要分别代入 ① 和 ②，两次都成立才算。

看完整示范
执行：第一对：① \(4-3=1\) ✓，② \(2+4=6\) ✓，是方程组的解。第二对：① \(-2+3=1\) ✓，② \(-1-4=-5\ne6\) ✗，不是。
检查：第二对只过了 ①，它是方程 ① 的一个解，却不是方程组的解。

回头看：只验一个方程就下结论，第二对就会被误判成解。

自己试试：方程组 \(\begin{cases}x+y=4\\2x-y=5\end{cases}\) 的解是哪一个？

B。\(3+1=4\) ✓，\(6-1=5\) ✓。A 只满足第一个方程（\(2-3=-1\ne5\)）；C 只满足第二个（\(2-1=1\ne4\)）；D 只写了一个值，不是“一对数”。

件数可以为 \(0\)；若题目明确“两样都买了”，才要求两种件数都至少为 \(1\)。例如 \(x+y=5\) 在非负整数中有 \((0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)\) 共 6 对；要求两者为正时只剩中间 4 对。取值范围应按实际题意确定。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）只验了一个方程
❌ 典型错解：\(\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}\) 代入 \(x+y=4\) 成立，所以是方程组 \(\begin{cases}x+y=4\\2x-y=5\end{cases}\) 的解。
✅ 看图秒懂：再代入第二个：\(2-3=-1\ne5\)。公共解要两关都过，过一关不算。
翻车现场 ②解只写了一个数
❌ 典型错解：“方程组的解是 \(x=3\)”。
✅ 一眼看清：二元一次方程（组）的解是一对数，要写全 \(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)；答句里两个量都要回答。
翻车现场 ③把 \(xy=6\) 当成二元一次方程
❌ 典型错解：“\(x\)、\(y\) 都是一次，所以 \(xy=6\) 是二元一次方程。”
✅ 一眼看清：次数看整项。\(xy\) 是两个字母相乘，是 2 次项；同理 \(x^2\) 也是 2 次。

自己建模：先设元、写关系，再列式回查

小雅买了明信片和贴纸，两种都买了。明信片每张4元，贴纸每枚3元；一共8件，正好花29元。请自己给两个未知数命名，写清各自的含义和单位，再写两条相等关系及对应方程。不要只从现成方程里挑选。

用列表尝试或自己的办法找到一对数量，再回到题意检查。下面填的是实际物品数，请与自己设的未知数一一对应。

选做·章末数学活动：把自己找到的数对描出来

在坐标纸上探索① x+y=4、② 2x−y=2。自己找数对，分别代入核对，再把它作为点的坐标描下；每个方程至少试两个不同的数对。可以继续试小数、分数、零或负数。

这里只作选做观察：有限描点和连线不能证明一般结论，也不作为本章的求解步骤，不替代后续消元方法。图中只连接你已描的点，不自动补出整条轨迹。单选或网页记录不能代替亲手画图、小组交流。

坐标填整数、小数（最多六位）或分数；其他数式请在纸上或请老师核对。网格的横、纵坐标都在−2到6之间，超出时可另用纸画。每个方程最多保留12个不同点，这个限制不代表解只有12个。

尚未描点。

① 一个方程的解：拖动 \(x\)，看 \(y\) 怎么跟着变

方程 \(2x+y=8\)。拖动下面的圆点（或点一下圆点再用方向键）改变 \(x\)。金色箭头是 \(2x\)，绿色箭头是 \(y\)，两段拼起来总是走到 \(8\)。

② 进阶：找方程组的公共解

方程组 \(\begin{cases}x+y=7\ \textcircled{1}\\3x+2y=17\ \textcircled{2}\end{cases}\)（买文具）。拖动 \(x\)、\(y\)，上面两根条是两个方程左边的值，竖线是右边要达到的值。两根条都正好顶到竖线，才是公共解。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 下面哪一个是二元一次方程组？

C。A 有 2 次项 \(xy\)；B 一共有 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三个未知数；D 的字母在分母里，不是整式。

2. 已知 \(\begin{cases}x=2\\y=k\end{cases}\) 是方程 \(3x-2y=2\) 的解，那么 \(k\) 等于多少？

A。是解，就代进去成立：\(3\times2-2k=2\)，\(6-2k=2\)，\(k=2\)。检验：\(6-4=2\) ✓。

易错

3. 关于方程 \(x+2y=8\) 的解，下面说法正确的是哪一个？

提示

随手写几对解，再写一对不是解的；数一数 \(x\)、\(y\) 都是正整数的有几对。

C。\(x\) 每取一个值都能算出一个 \(y\)，解有无数个；但 \(x=1,\ y=1\) 就不是解（\(1+2\ne8\)）。D 错：都是正整数的只有 \((6,1),(4,2),(2,3)\) 三对。

4. 方程组 \(\begin{cases}x-y=3\\2x+y=9\end{cases}\) 的解是哪一个？

提示

每个选项都要代入两个方程。只过一关的是陷阱。

B。\(4-1=3\) ✓，\(8+1=9\) ✓。A 只满足第一个（\(10+2=12\ne9\)）；C 只满足第二个（\(3-3=0\ne3\)）；D 少写了 \(y\)。

5. 若 \(2x^{\lvert a\rvert}+(a-1)y=3\) 是关于 \(x\)、\(y\) 的二元一次方程，那么 \(a\) 等于多少？

提示

两个条件：\(x\) 的次数是 \(1\)；\(y\) 前面的系数不能是 \(0\)，否则 \(y\) 就没了。

B。\(\lvert a\rvert=1\)，所以 \(a=1\) 或 \(a=-1\)；但 \(a=1\) 时 \(y\) 的系数 \(a-1=0\)，方程变成 \(2x=3\)，只剩一个未知数。所以 \(a=-1\)。选 C 是漏了第二个条件。

挑战

6. 小林带 \(20\) 元，买 \(3\) 元一本的笔记本和 \(2\) 元一支的笔，钱正好花完，并且两样都至少买一件。一共有几种买法？

提示 1：列方程

设买 \(x\) 本、\(y\) 支：\(3x+2y=20\)，\(x\)、\(y\) 都是正整数。

提示 2：列表尝试

\(2y\) 是偶数，\(20\) 是偶数，所以 \(3x\) 也要是偶数，\(x\) 只能取偶数。从 \(x=2\) 开始试。

B。\(x=2,\ y=7\)；\(x=4,\ y=4\)；\(x=6,\ y=1\)；\(x=8\) 时 \(y=-2\) 不行。共 \(3\) 种。选 C 是把 \(x=0,\ y=10\) 也算进去了，可题目要求两样都买；选 D 是忘了件数只能取整数。

本节真题与练习

真题 1 道、原创 1 道；共 2 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部题目。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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中考里这一节常考“判断是不是方程（组）的解”和“已知解求系数”。

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