培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第二章 有理数的运算
2.3 有理数的乘方
几个相同的因数相乘，有一种简写：乘方。认清底数、定好符号、排好运算顺序，再用它写很大的数、写近似数。
本节导读 先修：2.2 有理数的乘法与除法 · 本节路线
要用到：有理数的乘法和“数负因数个数定符号”（回看 2.2）、加减法（回看 2.1）；小学的“保留几位小数”。
- 从“一传三”的消息进入：几个相同的因数相乘。
- 认识乘方、幂、底数、指数；先认清底数是谁。
- 幂的符号：负数的奇次幂为负、偶次幂为正。
- 加入乘方后的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。
- 用 \(10\) 的乘方写大数（科学记数法）；近似数和精确度。
- 练习与中考真题，回看最容易错的三处。
小明把一条消息告诉了 \(3\) 个同学，算第 \(1\) 轮；下一轮，每个新知道的同学再各告诉 \(3\) 个还没听说的同学……点下面的按钮，数一数每一轮新知道消息的人：
照这样，第 \(4\) 轮新知道消息的有多少人？
C。每一轮都是上一轮的 \(3\) 倍：\(3\times3\times3\times3=81\)，是 \(4\) 个 \(3\) 相乘。选 A 是算成了 \(3\times4\)；选 B 是 \(4\times4\times4\)，把相乘的数和个数弄反了；选 D 是第 \(3\) 轮的人数。
\(4\) 个 \(3\) 相乘写成 \(3\times3\times3\times3\) 太长，简记为 \(3^4\)。这一节就来研究这种几个相同因数相乘的运算：乘方。
1. 先认识几个词：乘方、幂、底数、指数
前置知识：有理数的乘法和符号法则（回看 2.2）。乘方最容易错的是认错“底数是谁”。先看四个长得很像的式子，方框里的才是相乘的因数：
直觉微图解 ①方框里的才是底数
乘方：\(n\) 个相同的因数 \(a\) 相乘，记作 \(a^n\)，即 \(a\cdot a\cdot\cdots\cdot a=a^n\)（左边共 \(n\) 个 \(a\)，中间的省略号表示没写出来的那些 \(a\)）。求 \(n\) 个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。\(a\) 叫底数，\(n\) 叫指数；\(a^n\) 读作“\(a\) 的 \(n\) 次方”，看作结果时也读作“\(a\) 的 \(n\) 次幂”。本章的 \(n\) 都是正整数；一个数就是它自己的 \(1\) 次方，指数 \(1\) 通常不写。
书写约定：底数是负数或分数时，要连同符号整个用括号括起来：\((-2)^4\)、\(\left(\tfrac23\right)^2\)。
核心概念 ②乘方是运算，幂是结果
就像加法的结果叫“和”、乘法的结果叫“积”，乘方的结果叫“幂”。\(3^4=81\)：底数 \(3\)，指数 \(4\)，幂是 \(81\)。\(3^4\) 是 \(4\) 个 \(3\) 相乘，不是 \(3\times4\)。
核心概念 ③\((-3)^2\) 和 \(-3^2\) 不一样
\((-3)^2\) 的底数是 \(-3\)：\((-3)\times(-3)=9\)，读作“\(-3\) 的平方”。\(-3^2\) 的底数只是 \(3\)：\(-(3\times3)=-9\)，读作“\(3\) 的平方的相反数”。先读出来，再算。
2. 核心点：幂的符号
乘方是乘法的特殊情形：\(n\) 个相同因数相乘，符号就看负因数的个数。底数是负数时，指数是几，就有几个负因数。
负数的偶数次幂为正。
负数的奇数次幂为负。
正数的任何次幂都是正数；\(0\) 的任何正整数次幂都是 \(0\)。
直觉微图解 ②指数从 1 数到 6，看幂的符号怎么跳
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \((-4)^3\)；(2) \(\left(-\tfrac23\right)^4\)。
① 读懂题意：两道都是乘方。先别急着乘，第一件事是认什么？
提示 1：先认底数，再看指数的奇偶
(1) 底数是 \(-4\)，指数 \(3\)；(2) 底数是 \(-\tfrac23\)（括号把负号和分数一起括住了），指数 \(4\)。
看完整示范
④ 回头看：乘方和连乘一样，“先定符号，再算绝对值”；底数是谁，由括号决定。
自己试试：\((-1)^{100}\) 等于多少？
C。\(100\) 个 \(-1\) 相乘：负因数 \(100\) 个，偶数个，为正；绝对值 \(1\) 不管乘多少个都是 \(1\)。A、B 是把乘方当成了 \((-1)\times100\) 一类的乘法；D 是奇数次幂的结果。
再试一个：\(-4^2\) 等于多少？
B。没有括号，底数只是 \(4\)：\(-4^2=-(4\times4)=-16\)。选 A 是把底数看成了 \(-4\)；C、D 是把平方当成了乘 \(2\)。
3. 核心点：加入乘方后，先算什么
先乘方（第三级）
再乘除（第二级）
最后加减（第一级）
同级运算从左到右；有括号先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
直觉微图解 ③一步只做一级：\(-2^2+3\times(-1)^3\)
例 2（示范）
计算：\(-3^2\times2-(-3)^3\div9\)。
① 读懂题意：有两个乘方、一个乘、一个除、一个减。先扫一遍，标出乘方。
提示：两个乘方的底数分别是谁？
\(-3^2\) 的底数是 \(3\)；\((-3)^3\) 的底数是 \(-3\)。
看完整示范
④ 回头看：两个乘方最容易出错：\(-3^2\) 不是 \(9\)，\((-3)^3\) 不是 \(-9\)。
自己试试：\(2\times(-3)^2\) 等于多少？
A。先乘方：\((-3)^2=9\)；再乘：\(2\times9=18\)。选 B 是先算 \(2\times(-3)=-6\) 再平方，顺序错了；选 C 是把 \((-3)^2\) 算成了 \(-9\)。
算完可以用计算器验算；想换算法时，先依据运算律作等值变形，不能随意改变运算顺序。
4. 核心点：用 10 的乘方写大数（科学记数法）
\(10\) 的乘方很好算：\(10^2=100\)，\(10^5=100\,000\)——指数是几，\(1\) 后面就有几个 \(0\)。利用这一点写很大的数：
对正整数，指数 \(n\) 等于整数部分的位数减 \(1\)。
把一个绝对值大于 \(10\) 的数写成 \(a\times10^n\) 的形式（\(1\le a\lt10\)，\(n\) 是正整数），叫科学记数法。负数先对它的绝对值这样写，再在前面添上负号。
直觉微图解 ④小数点从末尾往左搬，搬到第一个数字后面
例 3（示范）
某快递公司一年的派件量约为 \(2\,360\,000\,000\) 件，用科学记数法表示。
提示：先数整数位数
三位一组地数：\(2\,|\,360\,|\,000\,|\,000\)，一共几位？
看完整示范
自己试试：\(-70\,500\) 用科学记数法表示是哪个？
B。先写绝对值：\(70\,500\) 是 \(5\) 位数，\(70\,500=7.05\times10^4\)，再添负号。A 的值相等，但 \(70.5\) 不在 \(1\) 到 \(10\) 之间；C 丢了负号；D 把指数写成了位数。
5. 近似数：精确到哪一位
量出来、估出来的数，和准确数很接近，叫近似数。近似数接近准确数的程度，用精确度表示：说它精确到哪一位（个位、十分位即 \(0.1\)、百分位即 \(0.01\)……）。取近似数用四舍五入，只看要保留那一位的下一位数字，只做一次。例如 \(0.6375\) 精确到 \(0.01\) 是 \(0.64\)，精确到 \(0.1\) 是 \(0.6\)。近似数末尾的 \(0\) 不能随便去掉：\(3.50\) 精确到百分位，\(3.5\) 只精确到十分位。
自己试试：把 \(4.0952\) 精确到 \(0.01\)，结果是哪个？
B。保留到百分位，看千分位：是 \(5\)，进 \(1\)，\(4.09\) 变成 \(4.10\)。末尾的 \(0\) 要留着，它说明精确到了百分位；写成 A 的 \(4.1\) 就只精确到 \(0.1\) 了。C 是没有进位；D 保留到了千分位。
6. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：倒过来问平方
什么有理数的平方等于 \(25\)？有没有有理数的平方等于 \(-25\)？分别写出理由。
看第一问
\(5^2=(-5)^2=25\)，所以前一问有 \(5\)、\(-5\) 两个数。
看第二问
正数、负数和 \(0\) 的平方都非负，所以没有有理数的平方等于 \(-25\)。
① 幂的符号：一正一负地跳
拖动两个圆点（或点一下再用方向键）改变底数 \(a\) 和指数 \(n\)。上一排是 \(n\) 个相同因数 \(a\)，下一排是乘到这里为止的幂 \(a^1, a^2, \dots, a^n\)。
② \((-a)^n\) 和 \(-a^n\)：底数不同
拖动圆点改变 \(a\)（正整数）和 \(n\)。上一行底数是 \(-a\)；下一行底数是 \(a\)，算完再取相反数。
③ 进阶：给小数点搬家（科学记数法）
先选一个数，再拖动圆点（或用方向键）改变 \(n\)：小数点向左移 \(n\) 位，这个数就写成 \(a\times10^n\)。找出唯一让 \(1\le a\lt10\) 的 \(n\)。
④ 计算器键盘：先笔算，再输入验算
先在纸上算 -3^2+2×5、(-3)^2+2×5，再分别输入核对。也可自选三步以内的式子。
实体键盘或下方按键均可输入。负数键输入“(−”，需补右括号；减号表示相减。先括号，乘除同级从左到右，后加减；^ 表示乘方（先于乘除），指数为 1 至 6。-3^2 平方后取相反数，(-3)^2 的底数含负号。分数用 /，乘号不能省。每式限 80 字符，整数部分≤7位、小数部分≤6位。
先点要编辑的框，选中文字可替换。Enter 核对原式，Ctrl+Enter 核对过程，Esc 清空。只比较各行的值，请说明每步依据。
输入和笔算都准备好后再核对。
⑤ 自选数字，比较两种算法
自选几组数，含负数、0、分数。三条乘法运算律都试，再对照除法换序。同一字母取同一数。
先自选数字并预测，再比较两式。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \((-3)^4\)。
A。\(4\) 个 \(-3\) 相乘，负因数偶数个，为正；\(3^4=81\)。B 是把底数认成了 \(3\) 再取相反数；C、D 是把乘方当成了乘法。
2. 一座水库的库容约为 \(405\,000\,000\) m³，用科学记数法表示是多少？
A。\(9\) 位数，指数 \(9-1=8\)，\(a=4.05\)。B 把指数写成了位数；C、D 的值虽然相等，但 \(a\) 不在 \(1\) 到 \(10\) 之间。
易错
3. 下面计算正确的是哪一个？
提示
每个式子先读出底数是谁、几个相同因数相乘。
B。\(3\) 个 \(-2\) 相乘，奇数个负因数，得 \(-8\)。A：底数是 \(2\)，\(-2^2=-4\)；C：只有分子平方，\(\tfrac{3^2}{4}=\tfrac94\)，要得 \(\tfrac{9}{16}\) 得写 \(\left(\tfrac34\right)^2\)；D：\(2^3=8\)，是 \(3\) 个 \(2\) 相乘。
4. 计算 \(-3^2+(-2)^3\div4\)。
提示
先乘方（两个底数分别是 \(3\) 和 \(-2\)），再除，最后加。
A。乘方：\(-3^2=-9\)，\((-2)^3=-8\)；除：\((-8)\div4=-2\)；加：\(-9+(-2)=-11\)。B 是把 \(-3^2\) 算成了 \(9\)；C 是先做了加法再除；D 是把 \((-2)^3\) 算成了 \(8\)。
5. 把 \(0.3449\) 精确到 \(0.01\)，结果是哪个？
提示
只看百分位的下一位（千分位）数字，四舍五入只做一次。
B。千分位是 \(4\)，舍去，得 \(0.34\)。A 是从最后一位开始一位一位往前进：\(0.3449\to0.345\to0.35\)，这样做是错的；C 只精确到了 \(0.1\)；D 保留到了千分位。
挑战
6. 一列数：\(-2\)，\(4\)，\(-8\)，\(16\)，\(-32\)，……按这个规律，第 \(7\) 个数是多少？
提示 1：把每个数写成乘方
\(-2=(-2)^1\)，\(4=(-2)^2\)，\(-8=(-2)^3\)……第 \(7\) 个数是 \((-2)\) 的几次方？
提示 2：先定符号
\(7\) 个 \(-2\) 相乘，负因数是奇数个还是偶数个？
B。第 \(k\) 个数是 \((-2)^k\)，第 \(7\) 个是 \((-2)^7\)：\(7\) 个负因数，为负；\(2^7=128\)。所以是 \(-128\)。也可以发现每个数都是前一个的 \(-2\) 倍：第 \(6\) 个是 \(64\)，第 \(7\) 个是 \(64\times(-2)=-128\)。A 符号错了；C 是 \((-2)\times7\)；D 是第 \(6\) 个数。
本节中考真题
共 38 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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这组题练习科学记数法。选完看解析，核对 a 和 10 的指数 n。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四下第4单元 · 小数的意义和性质小数点移动引起数的十倍缩放规律，直接对应初中科学记数法 $a\times10^n$ 中指数 $n$ 与整数位数的关系。