八年级上册 · 第十八章分式

18.3 分式的加法与减法

分母相同，分子相加减；分母不同，先通分。和分数一样。难的是两件小事：减去一个多项式分子要加括号；化简求值时，代进去的数要让原式有意义。

本节导读　先修：18.1 通分、18.2 乘除 · 本节路线

要用到：通分、最简公分母（回看 18.1）；分式的乘除和乘方（回看 18.2）；去括号、合并同类项（回看 4.2）。

从两根水管注水进入：$\dfrac12+\dfrac13$ 为什么不是 $\dfrac25$？
同分母相加减：分母不变，分子相加减；减式的分子要加括号。
异分母相加减：先找最简公分母通分，再按同分母算。
混合运算：先乘方，再乘除，然后加减；有括号先算括号里。
化简求值：代入的数要让原式所有分母、除式都不为 0。
练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

给一个水池注水：甲管单独开 $2$ 小时注满，乙管单独开 $3$ 小时注满。两管一起开 $1$ 小时，注了水池的几分之几？点按钮看：

两管一起开 $1$ 小时，注了水池的几分之几？

B。甲每小时注 $\dfrac12$，乙每小时注 $\dfrac13$：$\dfrac12+\dfrac13=\dfrac36+\dfrac26=\dfrac56$。选 A 是分子加分子、分母加分母，$\dfrac25$ 比甲一根管注的 $\dfrac12$ 还少，显然不对；选 C 是做成了减法。

把 $2$、$3$ 换成字母：甲管 $a$ 小时注满，乙管 $b$ 小时注满，一起 $1$ 小时注 $\dfrac1a+\dfrac1b$。这一节要回答：分式怎样相加减？

1. 先认识几个词：同分母、异分母、通分

前置知识：通分和最简公分母（回看 18.1）。分数加法要先把每一份切成一样大，看下面的条形图：

直觉微图解 ①$\dfrac1a+\dfrac1b$：先切成同样大的小格，再数格子

同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减，$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$。异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。一般形式是 $\dfrac ab\pm\dfrac cd=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$，实际计算用最简公分母更省事。结果要化成最简分式或整式。

核心概念 ②分母不能相加

分母说的是“每份多大”，只有每份一样大，份数（分子）才能相加。所以 $\dfrac1a+\dfrac1b\ne\dfrac{2}{a+b}$，取 $a=b=1$：左边 $2$，右边 $1$。

核心概念 ③化简不是解方程

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+1}$ 是一个式子，没有等号。只能通分，不能“两边同乘公分母”把分母去掉，那会把式子的值改掉。

2. 核心点：同分母——减式的分子是一个整体

$\dfrac{3x+2}{x-1}-\dfrac{x+4}{x-1}=\dfrac{3x+2\color{#B5452F}{\underbrace{-(x+4)}_{\text{先加括号}}}}{x-1}=\dfrac{2x-2}{x-1}=\color{#2F7A56}{\underbrace{2}_{\text{别忘约分}}}$

直觉微图解 ②加不加括号，取 $x=3$ 一验就知道

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

计算：(1) $\dfrac{a^2}{a-b}-\dfrac{b^2}{a-b}$；(2) $\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{x+1}{2-x}$。

① 读懂题意：(1) 分母相同；(2) 分母一个是 $x-2$，一个是 $2-x$，看着不同。它们是什么关系？

提示 1：互为相反数的分母

$2-x=-(x-2)$。所以 $\dfrac{x+1}{2-x}=-\dfrac{x+1}{x-2}$，加法变成减法，分母就相同了。

看完整示范

② 想办法：(1) 分子相减后用平方差公式分解，再约分。(2) 先把 $2-x$ 化成 $x-2$，变号后按同分母相减。

③ 执行：(1) $\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a-b}=a+b$。(2) $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{3-(x+1)}{x-2}=\dfrac{2-x}{x-2}=-1$。

执行中检查：(2) 取 $x=3$：$\dfrac31+\dfrac{4}{-1}=3-4=-1$ ✓。

④ 回头看：结果能约分就要约到底；(2) 的分子 $2-x$ 和分母 $x-2$ 互为相反数，约分得 $-1$。

自己试试：$\dfrac{2x+1}{x+3}-\dfrac{x-2}{x+3}$ 等于？

A。$\dfrac{2x+1-(x-2)}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}=1$。B 是没加括号，$-2$ 没变成 $+2$；C 是把减号做成了加号；D 是以为分子分母“消掉”就是 $0$，其实分子分母相同，商是 $1$。

3. 核心点：异分母——用最简公分母通分

$\color{#966524}{\underbrace{\text{分解各分母}}_{①}}\to\color{#2F7A56}{\underbrace{\text{写最简公分母}}_{②}}\to\color{#B5452F}{\underbrace{\text{各乘“缺的因式”}}_{③\ \text{分子分母同乘}}}\to\underbrace{\text{合并分子、约分}}_{④}$

直觉微图解 ③每个分母缺哪几块，就给它（连同分子）补上哪几块

例 2（示范）

计算：$\dfrac{2}{x^2-4}-\dfrac{1}{x^2-2x}$。

提示：先分解两个分母

$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$。最简公分母是什么？各缺哪个因式？

基础示范（可收起）

想办法：最简公分母 $x(x+2)(x-2)$。第一个分式缺 $x$，第二个缺 $x+2$。

执行：原式 $=\dfrac{2x}{x(x+2)(x-2)}-\dfrac{x+2}{x(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x-(x+2)}{x(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{x(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{x(x+2)}$。

检查：减式分子 $x+2$ 加了括号 ✓；分子 $x-2$ 和分母有公因式，约掉了 ✓。取 $x=1$：$\dfrac{2}{-3}-\dfrac{1}{-1}=\dfrac13$，$\dfrac{1}{1\times3}=\dfrac13$ ✓。

回头看：合并分子后再看一眼能不能约分，这一步常被忘掉。

自己试试：$\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a^2-a}$ 等于？

A。$a^2-a=a(a-1)$，最简公分母 $a(a-1)$：$\dfrac{a\cdot a-1}{a(a-1)}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)}=\dfrac{a+1}{a}$。B 是第一个分式的分子没乘 $a$，得 $\dfrac{a-1}{a(a-1)}$；C 是分母里的 $a-1$ 丢了。

4. 核心点：混合运算与化简求值

运算顺序和数一样：先乘方，再乘除，然后加减；有括号先算括号里面。化简求值先化简，再代入；代入的数要使原式中所有分母（包括除式的分母）都不为 $0$，除式本身也不能为 $0$，不能只看化简后的式子。

直觉微图解 ④$\left(1-\dfrac{2}{x+1}\right)\div\dfrac{x-1}{x^2+x}$ 化简得 $x$。哪些数能代？逐个查

例 3（示范：先化简，再选数代入）

先化简 $\left(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{4}{x^2-2x}\right)\div\dfrac{x+2}{x^2}$，再从 $-2,\ 0,\ 2,\ 3$ 中选一个合适的数代入求值。

提示 1：括号里先通分

$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母 $x(x-2)$。

看完整示范

括号里：$\dfrac{x\cdot x-4}{x(x-2)}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{x+2}{x}$。

除化乘：$\dfrac{x+2}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+2}=x$。

选数：原式中 $x-2\ne0$、$x^2-2x\ne0$、$x^2\ne0$，除式不为 0 又要 $x+2\ne0$：$x$ 不能取 $2$、$0$、$-2$。只能取 $x=3$，原式 $=3$。

回头看：用原式验：$\left(3-\dfrac43\right)\div\dfrac59=\dfrac53\times\dfrac95=3$ ✓。化简结果 $x$ 对哪个数都能算，正因如此才更要回原式查。

自己试试：$\dfrac{m}{m-3}-\dfrac{9}{m^2-3m}$ 化简得 $\dfrac{m+3}{m}$。小明取 $m=3$ 代入化简结果，得 $2$。他做得对吗？

B。原式的分母 $m-3$ 和 $m^2-3m$ 在 $m=3$ 时都是 $0$，原式没有意义。化简时约去了 $m-3$，化简结果就“看不出”这个限制了。化简本身没错：$\dfrac{m^2-9}{m(m-3)}=\dfrac{m+3}{m}$。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）化简求值，代入了让原式无意义的数

❌ 典型错解：$\dfrac{x^2-1}{x+2}\div\dfrac{x-1}{x+2}$ 化简得 $x+1$，“取 $x=1$，原式 $=2$”。

✅ 回原式查：$x=1$ 时除式 $\dfrac{x-1}{x+2}=0$，要除以 $0$；$x=-2$ 时分母为 $0$。这两个数都不能取，在数轴上避开 ✕。

翻车现场 ②分子加分子，分母加分母

❌ 典型错解：$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{2}{a+b}$。

✅ 一眼看清：先通分：$\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$。取 $a=2,b=3$：$\dfrac56$，错解得 $\dfrac25$。

翻车现场 ③减式的分子没加括号

❌ 典型错解：$\dfrac{5}{x}-\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{5-x-2}{x}=\dfrac{3-x}{x}$。

✅ 一眼看清：$\dfrac{5-(x-2)}{x}=\dfrac{7-x}{x}$。减去的是整个分子 $x-2$，后面的 $-2$ 要变成 $+2$。

① 异分母相加：先切成一样大的小格

拖动上面两条的圆点（或点圆点后用方向键）改 $a$、$b$。第三条是和，它被切成最简公分母那么多格。

② 同分母相减：加括号的结果永远是 2

$\dfrac{3x+2}{x-1}-\dfrac{x+4}{x-1}$：拖动 $x$，比较原式的值、加括号算出的 $2$、不加括号算出的 $\dfrac{2x+6}{x-1}$。

③ 进阶：化简求值，一步步代进原式

$\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)\div\dfrac{x}{x^2-1}$ 化简得 $x+1$。拖动 $x$，看原式每一步算出什么，在哪些地方算不下去。

选学：有限次倒水与裂项（可跳过，不作必修先修）

先求 $1/(1\times2)+1/(2\times3)+1/(3\times4)+1/(4\times5)$。若加到第 $n$ 项（$n$ 为正整数），怎样说明结果始终小于 $1$？把它作为下面倒水探究的有限求和问题。先计算、写猜想与理由，再用下方的完整说明自查。

把一容器装满时的初始水量看作1个整体。指定一个正整数 $n$，从第1次做到第 $n$ 次；第 $k$ 次倒出初始水量的 $\frac1{k(k+1)}$。每一项都以最初装满的水量作基准。自己计算每次倒出、累计倒出和最后余量，再提出猜想。

本表支持1—12次，不支持0次。比例用精确整数、小数或整数分数，分母为正；每个整数块、小数部分最多12位。首尾与分数线两侧可留空格，不能拆开数字，不输入逗号、算式、指数、百分号或单位。支持全角数字与负号“−”；不以近似小数代替不相等的精确分数。

第几次	本次倒出比例	截至本次的累计

做完本轮后剩余比例

本轮累计倒出与初始量1相比

已核对的有限过程

表中按理想情况精确计算水量比例；实际测量会受量杯刻度、读数和挂壁残留影响。实物实验请另行动手完成。这里只讨论有限次操作；数据与文字只在本页保留，刷新会清空。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 计算 $\dfrac{3}{2a}+\dfrac{1}{a^2}$。

A。最简公分母 $2a^2$：$\dfrac{3a}{2a^2}+\dfrac{2}{2a^2}=\dfrac{3a+2}{2a^2}$。B 是分子、分母各自相加；C 是第二个分式的分子忘乘 $2$；D 是两个分子都没乘。

2. 小周骑车去 $12$ 千米外的图书馆，去时速度是 $v$ 千米/时，回来顺风，速度比去时快 $2$ 千米/时。往返一共用了多少小时？

A。时间 = 路程 ÷ 速度：去时 $\dfrac{12}{v}$，回来 $\dfrac{12}{v+2}$。$\dfrac{12}{v}+\dfrac{12}{v+2}=\dfrac{12(v+2)+12v}{v(v+2)}=\dfrac{24(v+1)}{v(v+2)}$。B 是分子分母各自相加：$\dfrac{24}{2v+2}$；C 是做成了减法；D 是做成了乘法。

易错

3. 计算 $\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{y}{y-x}$。

提示

$y-x=-(x-y)$，所以 $-\dfrac{y}{y-x}=+\dfrac{y}{x-y}$。

A。$\dfrac{x}{x-y}+\dfrac{y}{x-y}=\dfrac{x+y}{x-y}$。B 是把分母直接当成相同，没变号，算成 $\dfrac{x-y}{x-y}$；C、D 是符号处理乱了。

4. 计算 $\dfrac{x^2+4}{x+2}-x+2$。

提示

后面两项合起来是 $-(x-2)$，不是 $-(x+2)$。把 $x-2$ 看成分母为 $1$ 的式子，通分：$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}$。

A。原式 $=\dfrac{x^2+4}{x+2}-(x-2)=\dfrac{x^2+4-(x^2-4)}{x+2}=\dfrac{8}{x+2}$。B 是把 $-x+2$ 当成了 $-(x+2)$：$\dfrac{x^2+4-(x+2)^2}{x+2}=\dfrac{-4x}{x+2}$；C 是 $-x+2$ 没乘 $x+2$ 就直接放到分子上；D 是把 $(x-2)(x+2)$ 算成了 $x^2+4$。

5. 先化简 $\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)\div\dfrac{x}{x^2-1}$，再从 $-1,\ 0,\ 1,\ 2$ 中选一个合适的数代入求值，结果是？

提示

先把括号内通分，再把除法化为乘法，分解因式后约分。代值前回到原式检查：哪些数让分母为 $0$？哪个数让除式为 $0$？

A。$\dfrac{x}{x+1}\cdot\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1$。$-1$、$1$ 让分母为 $0$，$0$ 让除式为 $0$，只能取 $x=2$，值为 $1$。B、C、D 分别是代了 $-1$、$0$、$1$，这些数都让原式没有意义（翻车现场 ①）。

挑战

6. 计算 $\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$。

提示 1：通分

最简公分母是 $x(x+1)(x+2)$，第一个缺 $x+2$，第二个缺 $x$。

提示 2：或者拆开

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac{1}{x+1}$，第二个也这样拆，中间两项会抵消。

A。$\dfrac{(x+2)+x}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{2}{x(x+2)}$。也可以拆：$\dfrac1x-\dfrac1{x+1}+\dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+2}=\dfrac1x-\dfrac1{x+2}=\dfrac{2}{x(x+2)}$。B 是两个分子都没乘缺的因式；C 是拆开后算成了 $\dfrac1x\cdot\dfrac1{x+2}$。

本节中考真题

共 26 道，含 15 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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“先化简，再求值”几乎是每年中考的必考题，选数代入时别忘了回原式查分母和除式。

先修回顾 · 小学数学

学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：

小学 · 五下第6单元 · 分数的加法和减法异分母分式加减法先找最简公分母通分、再把分子相加减的完整流程，是小学异分母分数加减向整式领域的直接推广。

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一试延伸（入门 F1–F2）

学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：

一试 · 数列的和（F1–F2）分式通分的逆运算——裂项拆分 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$，正是竞赛数列求和中最基础也最重要的裂项相消法。

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