培玉 · 初中数学← 返回主页七年级上册 · 第四章 整式的加减
4.2 整式的加法与减法
整式也能做加减，只靠两个动作：同类的项合并成一项；括号拆开时，括号外的数挨个乘进去。两个动作的依据都是小学就学过的乘法分配律。
本节导读 先修：4.1、2.2、3.2 · 本节路线
要用到：单项式的系数、多项式的项（回看 4.1）；有理数乘法和分配律（回看 2.2）；代入求值（回看 3.2）。
- 从买练习本进入：\(5x+3x\) 为什么等于 \(8x\)。
- 数怎么算，式就怎么算：字母表示数，运算律照样成立。
- 同类项：字母相同、相同字母的指数也相同；合并时系数相加，字母和指数不变。
- 去括号：括号外的数（连同符号）乘括号里的每一项。
- 整式加减：先去括号，再合并；化简求值先化简、再代入。
- 练习与中考真题，回看三个最容易翻车的地方。
班里买练习本，每包有 \(x\) 本。上午买了 \(5\) 包，下午又买了 \(3\) 包。点下面的按钮，把包裹摆出来看看：
一天一共买了多少本？
A。\(5\) 包加 \(3\) 包是 \(8\) 包，每包仍是 \(x\) 本：\(5x+3x=(5+3)x=8x\)。这一步就是乘法分配律。B 是以为两个 \(x\) 碰到一起要变成 \(x^2\)；C 把包数乘了起来；D 把“每包 \(x\) 本”当成了“多 \(x\) 本”。
这一节要回答：哪些项能像 \(5x\) 和 \(3x\) 这样合成一项？怎么合？遇到括号怎么办？
1. 先认识几个词：同类项、合并同类项、去括号
前置知识：单项式的系数、多项式的项（回看 4.1）；乘法分配律 \((a+b)c=ac+bc\) 对有理数成立（回看 2.2）。字母表示的是数，所以数怎么算，式就怎么算。点三档比一比：
直觉微图解 ①换成数算一算，结构和字母式一模一样
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。两条缺一不可；与系数无关，与字母的书写顺序无关。几个常数项也是同类项。
- 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。所得项的系数是各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。
- 去括号：一个数乘一个多项式，就是用括号外的数（连同符号）乘括号里的每一项，再把积相加。\(+(\cdots)\) 看作乘 \(1\)，各项不变号；\(-(\cdots)\) 看作乘 \(-1\)，各项都变号。
核心概念 ②同类项：两把尺子量一量
字母一样吗？每个字母的指数一样吗？都一样才是。\(2pq^2\) 和 \(-q^2p\) 是同类项；\(2pq^2\) 和 \(2p^2q\) 不是（指数对不上）。
核心概念 ③合并 vs 乱加
合并只加系数：\(6t^2+t^2=7t^2\)，不是 \(7t^4\)。不是同类项就不能合并：\(4x+5y\) 已经最简，不能写成 \(9xy\)。
2. 核心点：找同类项、合并同类项
直觉微图解 ②两把尺子：先比字母，再比每个字母的指数
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
合并同类项：\(5p^2q-2pq+3-7p^2q+6pq-8\)。
① 读懂题意：六项里，哪些是一家的？每一项带着前面的符号。
提示 1：做记号
\(p^2q\) 一组画横线，\(pq\) 一组画波浪线，常数一组画圈。
看完整示范
\(=(5-7)p^2q+(-2+6)pq+(3-8)=-2p^2q+4pq-5\)。
④ 回头看：合并的步骤：找同类项做记号 → 放在一起 → 系数相加 → 按某个字母降幂排好。
自己试试：下面哪一组是同类项？
B。字母都是 \(m\)、\(n\)，\(m\) 的指数都是 \(1\)，\(n\) 的指数都是 \(2\)；字母顺序不同没关系（乘法交换律）。A 的指数对调了；C 指数不同；D 字母不同。系数相同不等于同类项。
再试一个：\(3k^3+4k^3\) 等于什么？
A。\((3+4)k^3=7k^3\)。B 把指数也加了；C 把系数乘了起来；D 把字母弄丢了。\(k^3\) 只是被分配律提出来的公共乘数，原样保留。
为什么不能把 \(2x+3y\) 合并成 \(5xy\)？它们不是同类项，分配律用不上。取 \(x=1\)、\(y=1\)，两边恰好都是 \(5\)，但这不说明什么；换成 \(x=1\)、\(y=2\)，左边 \(2+6=8\)，右边 \(5\times1\times2=10\)。找到一组取值使两边不相等，就能否定这种合并方法。
3. 核心点：去括号——括号外的数挨个乘进去
直觉微图解 ③括号外的数连一条线到每一项
例 2（示范）
化简：\(4m-2(3m-5n)+(m-n)\)。
① 读懂题意：有两个括号，先看括号外面各是什么数。
提示：把括号外的数读出来
第一个括号外是 \(-2\)（连同减号）；第二个括号外只有“+”，看成 \(+1\)。
看完整示范
④ 回头看：去括号最容易错在“括号外是负数”：每一项都要乘到，每一项都要变号。
自己试试：\(-3(2y-4)\) 去括号后是什么？
B。\((-3)\times 2y=-6y\)，\((-3)\times(-4)=+12\)。A 忘了负负得正；C 只乘了第一项，\(-4\) 原样留着；D 把 \(-4\) 变了号，却没乘 \(3\)。
4. 核心点：整式加减与先化简再求值
几个整式相加减：有括号先去括号，再合并同类项。减去一个多项式时，先把它整个括起来再写减号。合并后可按指定字母的指数从大到小排列，移动项时连同符号一起移。求值时先化简，再代入；代入负数要加括号。
例 3（示范）
求 \((3x^2-2x+5)-(2x^2-2x-1)\) 的值，其中 \(x=-3\)。
① 读懂题意：可以直接代入，也可以先化简。哪种更省事？
提示：先化简看看
后一个括号前是“−”，三项都要变号。化简后 \(x\) 的一次项会怎样？
看完整示范
④ 回头看：先化简，代入时只要算 \((-3)^2+6\)。代入写 \((-3)^2\)，括号不能省。
自己试试：先化简再求值：\(2(a-3b)-(a-6b)\)，其中 \(a=-5\)，\(b=4\)。
A。原式 \(=2a-6b-a+6b=a\)，值是 \(-5\)，和 \(b\) 是几没关系。C 是把 \(-(a-6b)\) 去成了 \(-a-6b\)，得到 \(a-12b=-5-48=-53\)；B 丢了负号。
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 去括号：括号外的数挨个乘进去
先选括号里的多项式，再拖动下面的圆点（或点一下圆点再用方向键）改变括号外的数 \(k\)。三条线连到括号里的每一项，下面是每一项乘出来的结果。特别看看 \(k=-1\) 和其他负数时，每一项的符号怎么变。
② 合并同类项：只加系数
拖动两个圆点，分别改变第一项、第二项的系数（都不取 \(0\)）。上面一行是两个同类项，下面红字是合并的结果，算式写在图下：系数相加，\(x^2\) 一直不动。
③ 进阶：先化简再求值，值和 y 无关
式子 \(2(x^2-3xy)-(x^2-6xy-4)\)。拖动 \(x\)、\(y\)，比一比“直接代入原式”和“代入化简结果”：两种算法每次都一样。再只拖 \(y\)，看值变不变。
自己写，自己说明：整式工作台
先独立写出式子和每行的依据，再核对。练习只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。文字理由请对照给出的要点自己检查，也可以在纸上写好后与同伴交流。
输入约定与核对范围
支持小写 x、y、a、b、n；整数、有限小数、整数分数，+ − * × / 和圆括号；平方、立方写 ^2、^3 或 ²、³。可写 3x、xy、x²。只核对数乘括号、单项式与整式加减，不支持含字母的除数、字母式相乘、方程、单位或文字。数值用精确分数核对；不支持的写法会提示“暂未核对”，不算数学错误。数字内部不能用空格拆开；每个数字至多12位、小数至多8位，指数只到3、单项式总次数至多4，总长度至多400字。单位写进说明框。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 合并同类项：\(7mn-3m-2mn+8m\)。
A。\(mn\) 一组：\(7-2=5\)；\(m\) 一组：\(-3+8=5\)。\(5mn\) 和 \(5m\) 不是同类项，不能再合并，B 错。C 丢了 \(-3m\) 的负号；D 丢了 \(-2mn\) 的负号。
2. 去括号：\(-(4a-b+3)\)。
B。括号前的“−”就是乘 \(-1\)，三项全部变号。A 只变了第一项；C 一项都没变（还把式子前的负号丢了）；D 漏变了最后一项。
易错
3. 合并同类项：\(9xy^2-8xy^2\)。
提示
写成 \((9-8)xy^2\)，系数是 \(1\) 时省略的是什么？
B。\((9-8)xy^2=1\cdot xy^2=xy^2\)。系数 \(1\) 省略不写，字母和指数原样留着。A 把字母也“减没了”（翻车现场 ②）；D 把减号看成了加号。
4. 已知 \(A=4x^2-2x\)，\(B=x^2-5x+3\)。\(A-B\) 等于什么？
提示
先写成 \((4x^2-2x)-(x^2-5x+3)\)，再去括号。
B。\(A-B=4x^2-2x-x^2+5x-3=3x^2+3x-3\)。A 是没给 \(B\) 加括号，只有第一项变了号；C 是常数项 \(3\) 忘了变号；D 算成了 \(A+B\)。
5. 先化简再求值：\(3(x^2-2x)-(2x^2-6x+1)\)，其中 \(x=-2\)。
提示
化简后只剩 \(x^2\) 和常数；代入时写 \((-2)^2\)。
A。原式 \(=3x^2-6x-2x^2+6x-1=x^2-1\)，代入得 \((-2)^2-1=4-1=3\)。B 是写成了 \(-2^2-1=-4-1\)：代入负数要加括号；C 是常数项 \(1\) 忘了变号，化简成了 \(x^2+1\)。
挑战
6. 一个两位数，十位数字是 \(a\)，个位数字是 \(b\)（\(a\)、\(b\) 都不是 \(0\)）。把两个数字交换位置，得到一个新的两位数。原数与新数的和，一定是下面哪个数的倍数？
提示 1：用字母写出两个数
原数是 \(10a+b\)，新数的十位数字是 \(b\)，所以新数是 \(10b+a\)。
提示 2：合并后看系数
两数相加、合并同类项后，\(a\) 和 \(b\) 的系数一样，可以用分配律写成“某数 × \((a+b)\)”。
C。\((10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)\)，\(a+b\) 是整数，所以和一定是 \(11\) 的倍数。验一个：\(38+83=121=11\times11\)。A 是两数相减的结论：\((10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\)。
本节中考真题
共 23 道，含 2 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四下第3单元 · 运算定律合并同类项 $ax+bx=(a+b)x$ 与去括号法则的本质就是乘法分配律在含字母项上的逆用与正用。