八年级上册 · 第十八章分式

18.2 分式的乘法与除法

分数怎么乘、怎么除，分式就怎么乘、怎么除。区别只在一件事：分子分母是多项式时，要先分解因式，才能约分。

本节导读　先修：18.1 约分 · 本节路线

要用到：分式的约分（回看 18.1）；分解因式（回看 17.2）；积的乘方（回看 16.1）；有理数乘除的符号法则、倒数。

从一块菜地进入：分数乘分数，在面积图上看“分子乘分子，分母乘分母”。
乘法法则：先分解、再约分、最后乘。
除法法则：颠倒除式，变成乘法。
分式的乘方：分子分母分别乘方，系数和负号也要乘。
乘除混合：从左到右，或者先把除法都化成乘法；化简求值时除式也不能为 0。
练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

一块正方形的地，\(\dfrac34\) 种菜；菜地里又有 \(\dfrac23\) 种番茄。番茄地占整块地的几分之几？点按钮一步步看：

番茄地占整块地的几分之几？

B。“\(\dfrac34\) 的 \(\dfrac23\)”用乘法：\(\dfrac34\times\dfrac23=\dfrac{3\times2}{4\times3}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12\)。格子图里一共 \(4\times3=12\) 格（分母相乘），番茄占 \(3\times2=6\) 格（分子相乘）。选 A 是分子、分母各自相加；选 D 是做成了除法。

把 \(\dfrac34\)、\(\dfrac23\) 换成含字母的分式，道理不变。这一节要回答：分式怎样乘、怎样除？分子分母是多项式时，什么时候约分？

1. 先认识几个词：乘法法则、除法法则、倒数

前置知识：约分、最简分式（回看 18.1）；倒数：乘积为 \(1\) 的两个数互为倒数，\(\dfrac{c}{d}\) 的倒数是 \(\dfrac{d}{c}\)。先用分数看懂“除以一个数等于乘它的倒数”：

直觉微图解 ①除法就是问“被除数里能装几份除数”

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母：\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\)。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：\(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}\)。结果要化成最简分式或整式。

核心概念 ②整式也能参加

整式和分式相乘除时，把整式看成分母为 \(1\) 的式子：\(\dfrac{x}{y}\div x=\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac1y\)。约到分子没有因式了，分子是 \(1\)，不是 \(0\)。

核心概念 ③除式不能为 0

\(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}\) 里，除式 \(\dfrac cd\) 是除数，它不能为 \(0\)，所以还要 \(c\ne 0\)。颠倒后 \(c\) 跑到分母上，正好对应这个要求。

2. 核心点：乘法——先分解，再约分，最后乘

分子分母是多项式时，直接乘开会得到一大串，还看不出公因式。顺序反过来更省事：

\(\dfrac{x^2-1}{2x}\cdot\dfrac{4x^2}{x+1}=\dfrac{\color{#966524}{\underbrace{(x+1)(x-1)}_{\text{先分解}}}\cdot 4x^2}{2x\cdot(x+1)}=\color{#2F7A56}{\underbrace{2x(x-1)}_{\text{约去 }2x(x+1)}}\)

直觉微图解 ②两个分式的分子放一行、分母放一行：上下都有的因式块划掉

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

计算：(1) \(\dfrac{3a^2}{4b}\cdot\dfrac{10b^3}{9a}\)；(2) \(\dfrac{m^2-9}{m^2+2m}\cdot\dfrac{m+2}{m+3}\)。

① 读懂题意：两道都是分式乘分式。(1) 全是单项式，(2) 有多项式。下手前各要做什么准备？

提示 1：先看能不能约

(1) 系数 \(3\) 和 \(9\)、\(10\) 和 \(4\)，字母 \(a\)、\(b\) 分别看。(2) \(m^2-9\) 用平方差，\(m^2+2m\) 提公因式。

看完整示范

② 想办法：写成一个分式，分子分母都是乘积；约去所有公因式后再把剩下的乘起来。

③ 执行：(1) \(\dfrac{3a^2\cdot10b^3}{4b\cdot9a}=\dfrac{30a^2b^3}{36ab}=\dfrac{5ab^2}{6}\)。(2) \(\dfrac{(m+3)(m-3)\cdot(m+2)}{m(m+2)\cdot(m+3)}=\dfrac{m-3}{m}\)。

执行中检查：(1) 约去的公因式是 \(6ab\)；(2) 约去 \(m+3\)、\(m+2\) 后，\(m-3\) 和 \(m\) 没有公因式，已经最简 ✓。代数验一下 (2)：取 \(m=1\)，原式 \(=\dfrac{-8}{3}\cdot\dfrac34=-2\)，\(\dfrac{1-3}{1}=-2\) ✓。

④ 回头看：(2) 如果先乘开，分子是三次式，很难再分解。先分解、再约分，是分式运算的固定次序。

自己试试：\(\dfrac{x^2-4x+4}{3x}\cdot\dfrac{6x^2}{x-2}\) 等于？

A。\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)，原式 \(=\dfrac{(x-2)^2\cdot6x^2}{3x\cdot(x-2)}=2x(x-2)\)。B 是把完全平方分解成了 \((x+2)(x-2)\)；C 把系数和 \(x\) 约反了；D 把 \((x-2)^2\) 整个约掉了，平方里有两个 \(x-2\)，只能约一个。

约分前先统一相反因式：当 \(x\ne y\) 时，\((y-x)/(x-y)=-1\)，\((y-x)^2/(x-y)^2=1\)。先用y−x=−(x−y)提出负号，再分解、约分。

3. 核心点：除法——颠倒除式，变成乘法

\(\dfrac{a}{b}\ \color{#B5452F}{\underbrace{\div}_{\text{变乘}}}\ \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\color{#2F7A56}{\underbrace{\dfrac{d}{c}}_{\text{只颠倒除式}}}\)

被除式不动；除号变乘号的同时，除式分子分母对调。然后就是乘法：分解、约分、相乘。

例 2（示范）

计算：\(\dfrac{a^2-ab}{b^2}\div\dfrac{a^2-b^2}{ab+b^2}\)。

提示：两处同时改

除号变乘号，后面的分式上下颠倒；然后四个多项式都分解。

看完整示范

除化乘：原式 \(=\dfrac{a^2-ab}{b^2}\cdot\dfrac{ab+b^2}{a^2-b^2}\)。

分解、约分：\(=\dfrac{a(a-b)\cdot b(a+b)}{b^2\cdot(a+b)(a-b)}=\dfrac{a}{b}\)。

检查：取 \(a=2,\ b=1\)：\(\dfrac{2}{1}\div\dfrac{3}{3}=2\)，\(\dfrac ab=2\) ✓。

回头看：颠倒的只有除式；约分前四个多项式都要分解到底。

自己试试：\(\dfrac{2x}{x^2-9}\div\dfrac{4x^2}{x+3}\) 等于？

A。\(\dfrac{2x}{(x+3)(x-3)}\cdot\dfrac{x+3}{4x^2}=\dfrac{1}{2x(x-3)}\)。B 是颠倒了被除式；C 是除号直接当乘号，除式没颠倒；D 约错了因式，该约的是 \(x+3\)。

4. 核心点：分式的乘方——分子分母分别乘方

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\dfrac ab\cdot\dfrac ab\cdots\dfrac ab}_{n\text{ 个}}=\color{#2F7A56}{\dfrac{a^n}{b^n}}\quad(n\ \text{是正整数})\)

分子里的系数、负号，分母里的系数，都要一起乘方。

直觉微图解 ③把 \(\left(\dfrac{-2a}{3b}\right)^n\) 写成连乘：负号、系数、字母都乘了 \(n\) 次。看的是系数的正负，整个式子的正负还要看 \(a\)、\(b\) 取什么数

例 3（示范：乘方和乘除在一起）

计算：\(\left(\dfrac{-x}{2y}\right)^2\div\dfrac{x^3}{4y}\cdot\dfrac{x}{y}\)。

提示：先乘方，再从左到右乘除

\(\left(\dfrac{-x}{2y}\right)^2\) 的符号是正还是负？分母 \(2y\) 平方后是多少？

看完整示范

先乘方：\(\left(\dfrac{-x}{2y}\right)^2=\dfrac{x^2}{4y^2}\)（偶数次方，负号没了）。

除化乘、约分：\(\dfrac{x^2}{4y^2}\cdot\dfrac{4y}{x^3}\cdot\dfrac{x}{y}=\dfrac{4x^3y}{4x^3y^3}=\dfrac{1}{y^2}\)。

检查：取 \(x=2,\ y=1\)：\(\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2=1\)，\(1\div\dfrac{8}{4}=\dfrac12\)，\(\dfrac12\times2=1\)；\(\dfrac{1}{1^2}=1\) ✓。

回头看：顺序和数的运算一样：先乘方，再乘除。把除法都化成乘法以后，就可以一起约分。

自己试试：\(\left(\dfrac{-3a}{b^2}\right)^3\) 等于？

A。分子 \((-3a)^3=-27a^3\)（奇数次方，负号留着），分母 \((b^2)^3=b^6\)。B 是系数 \(3\) 没乘方；C 丢了负号；D 把幂的乘方 \((b^2)^3\) 算成了 \(b^{2+3}\)。

5. 核心点：乘除混合——从左到右

乘、除是同一级运算，按从左到右的顺序算；也可以先把除法全部化成乘法，再一起约分。不能先算后面的乘法。

直觉微图解 ④用分数试一试：\(\dfrac12\div\dfrac13\times\dfrac14\) 换个顺序，结果就变了

6. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）乘除混合先算了后面

❌ 典型错解：\(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=\dfrac ab\div 1=\dfrac ab\)。

✅ 代个数秒懂：从左到右，\(\dfrac ab\div\dfrac ab=1\)，再乘 \(\dfrac ba\)，得 \(\dfrac ba\)。取 \(a=2,b=1\)：正确答案 \(\dfrac12\)，错解得 \(2\)。

翻车现场 ②乘方漏了系数、负号或分母

❌ 典型错解：\(\left(\dfrac{-2a}{3b}\right)^2=\dfrac{-4a^2}{3b^2}\)。

✅ 一眼看清：分子 \((-2a)^2=4a^2\)，分母 \((3b)^2=9b^2\)：结果 \(\dfrac{4a^2}{9b^2}\)。负号和系数都在括号里，一起乘方。

翻车现场 ③化简求值时，代入的数让除式为 0

❌ 典型错解：\(\dfrac{x+2}{x}\div\dfrac{x+2}{x^2}=x\)，取 \(x=-2\)，得 \(-2\)。

✅ 一眼看清：\(x=-2\) 时除式 \(\dfrac{x+2}{x^2}=0\)，原式要除以 \(0\)，没有意义。代入的数要让原式里每个分母、每个除式都不为 \(0\)，这里 \(x\ne 0\) 且 \(x\ne-2\)。

① 乘法：面积图里的“分子乘分子，分母乘分母”

选格子的分法，再拖上边的圆点改第一个分数、拖左边的圆点改第二个分数（或点圆点后用方向键）。

② 除法：装几份除数

拖上面的圆点改被除数 \(\dfrac p4\)，拖下面的圆点改除数 \(\dfrac q3\)。看能装下几份，再和“乘倒数”比一比。

③ 进阶：化简求值，哪些数不能代

\(\dfrac{x^2-4}{x}\div\dfrac{x+2}{x-1}\) 化简得 \(\dfrac{(x-2)(x-1)}{x}\)。拖动 \(x\)，看原式和化简结果什么时候不一样。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 计算 \(\dfrac{6a}{5b^2}\cdot\dfrac{10b}{9a^2}\)，结果化为最简形式。

C。\(\dfrac{60ab}{45a^2b^2}\)，约去 \(15ab\) 得 \(\dfrac{4}{3ab}\)。A 是 \(b\) 少约了一次；B 是 \(a\) 少约了一次；D 把 \(a\) 约到了分子上。

2. 甲用 \(x\) 小时加工 \(120\) 个零件，乙用 \((x+2)\) 小时加工 \(150\) 个零件。甲每小时加工的个数是乙的多少倍？

A。甲每小时 \(\dfrac{120}{x}\) 个，乙每小时 \(\dfrac{150}{x+2}\) 个。“甲是乙的几倍”用除法：\(\dfrac{120}{x}\div\dfrac{150}{x+2}=\dfrac{120(x+2)}{150x}=\dfrac{4(x+2)}{5x}\)。B 是乙比甲；C 是颠倒错了；D 是做成了乘法。

易错

3. 计算 \(\dfrac{y-x}{x^2}\cdot\dfrac{x}{x-y}\)，结果化为最简形式。

提示

\(y-x\) 和 \(x-y\) 是什么关系？先把 \(y-x\) 写成 \(-(\ \ )\)。

B。\(y-x=-(x-y)\)，原式 \(=-\dfrac{(x-y)\cdot x}{x^2(x-y)}=-\dfrac1x\)。A 把 \(y-x\) 当成 \(x-y\) 直接约了，丢了负号；C 把 \(x\) 约反了；D 是分子的 \(x\) 忘了约。

4. 计算 \(\dfrac{x}{y}\div\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}\)。

提示

乘除同级，从左到右：先算 \(\dfrac xy\div\dfrac xy\)。

A。\(\dfrac xy\div\dfrac xy=1\)，\(1\cdot\dfrac yx=\dfrac yx\)。B 是只算了前两项，漏乘最后的 \(\dfrac yx\)；C 是先算了后面的 \(\dfrac xy\cdot\dfrac yx=1\)（翻车现场 ①），把除号当成乘号也会得到它；D 是把除号当成乘号，又漏乘了最后的 \(\dfrac yx\)。

5. 先化简 \(\dfrac{x^2-1}{x}\div\dfrac{x+1}{x-2}\)，再从 \(-1,\ 0,\ 1,\ 2\) 中选一个合适的数代入求值。下面做法正确的是？

提示

先把除法化为乘法，分解因式后再约分。选数时回到原式检查：哪些数会让分母为 \(0\)？哪些数会让除式为 \(0\)？

A。原式要求 \(x\ne0\)、\(x\ne2\)，除式不为 \(0\) 又要 \(x\ne-1\)，只剩 \(x=1\)：\(\dfrac{0\times(-1)}{1}=0\)。B 让除式 \(\dfrac{x+1}{x-2}\) 等于 \(0\)；C 让分母 \(x-2\) 等于 \(0\)；这两个数代进化简结果能算出数，可原式没有意义（翻车现场 ③）。

挑战

6. 计算 \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3\div\left(\dfrac{-a^3}{b^2}\right)^2\)。

提示 1：先乘方

\(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3=\dfrac{a^6}{b^3}\)；\(\left(\dfrac{-a^3}{b^2}\right)^2\) 的符号是什么？

提示 2：再除化乘

\(\dfrac{a^6}{b^3}\div\dfrac{a^6}{b^4}=\dfrac{a^6}{b^3}\cdot\dfrac{(\quad)}{(\quad)}\)。

A。\(\dfrac{a^6}{b^3}\div\dfrac{a^6}{b^4}=\dfrac{a^6}{b^3}\cdot\dfrac{b^4}{a^6}=b\)。B 是偶数次方后负号没去掉；C 颠倒错了式子；D 是除号当成了乘号。

本节中考真题

共 15 道，含 14 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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中考里分式乘除多出现在“化简”“先化简再求值”里。做完看解析，特别留意每一步的约分。

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