培玉 · 小学数学← 本单元五年级下册 · 第三单元 长方体和正方体 · 第 5 课
长方体和正方体的体积公式
拼成一个长方体要多少个小方块？怎样不摆就能算出长方体的体积？
本单元按旧版教材编排。
上一课按层数方块。如果长方体很大，逐块数太慢。能不能先数一层，再看有几层？先猜只把高增加 1 cm 会多几块。
一行摆几个，有几行？用以前的长方形面积计数法来数一层。
每层摆 12 块小方块，摆了 5 层。小明说：“一共 12 + 5 = 17 块。”对吗？
B。5 层，每层 12 块，一共 12 × 5 = 60（块）。每层的个数就是 长 × 宽，层数就是高。
1. 一层几个，摆几层
调长、宽、高，看一层有几个、几层、一共有几个。
保持长 4、宽 3，只把高从 2 调到 3，观察多了哪一层；再改成长 5、宽 2、高 3，沿用同样的计数办法。
长 6 cm、宽 4 cm、高 3 cm 的长方体，体积是多少？
B。6 × 4 × 3 = 72（cm³）。
棱长 4 cm 的正方体，体积是多少？
C。4 × 4 × 4 = 64（cm³），写作 4³ = 64。
从操作中找共同点
- 用棱长 1 cm 的小正方体沿长摆一行，再沿宽摆满一层，每层个数就是长的数值乘宽的数值。
- 沿高摆同样的层：长 4、宽 3、高 2 时是 12 个一层、两层；换成 5、2、3 时是 10 个一层、三层。
- 比较两次：总是“一层个数 × 层数”。先说出规律，再写成长 × 宽 × 高。长宽高相等时，三个因数相同，写成 a³。
长 × 宽是一层的个数，高是层数。
体积是连乘；6 + 4 + 3 = 13 比 6 × 4 × 3 = 72 小得多。
1 m 要换成 100 cm 再乘。
4³ = 4 × 4 × 4 = 64，不是 4 × 3 = 12。
为什么长方体的体积是长乘宽乘高？
每一层摆 长 × 宽 个小方块，摆了 高 这么多层，一共就是 长 × 宽 × 高 个小方块，每个体积 1，总的体积就是它。
一步一步想
木块长 7 cm、宽 3 cm、高 4 cm，体积是多少？
① 读懂题意
长宽高单位都是 cm。设想用棱长 1 cm 的小方块摆满。
② 列式算一算
每层 7 × 3 = 21 个，共 4 层：21 × 4 = 84，体积是 84 cm³。
③ 检查结果
拆成两个 2 cm 高的部分，各 42 cm³，合起来仍是 84 cm³；结果用立方单位。
长 5 cm、宽 3 cm、高 4 cm 的长方体，体积是几 cm³？
60。先算一层的个数，再乘层数。
动手算一算（7 题）
1. 长方体的长 8 cm、宽 5 cm、高 2 cm，体积是几 cm³？
80 cm³。8 × 5 × 2 = 80（cm³）。
2. 正方体的棱长是 6 cm，体积是几 cm³？
216 cm³。6 × 6 × 6 = 216（cm³）。
3. 一个长方体的体积是 120 cm³，长 6 cm，宽 5 cm，高是几 cm？
4 cm。底面积 6 × 5 = 30（cm²），120 ÷ 30 = 4（cm）。
4. 一个长方体木箱，长 1 m，宽 20 cm，高 5 cm，体积是几 cm³？
10000 cm³。1 m = 100 cm，100 × 20 × 5 = 10000（cm³）。
5. 要知道一个长方体礼盒用多少包装纸，应该算它的什么？
B。包装纸贴在外面，要算表面积。体积是盒子占的空间的大小，不是包装纸的面积。
6. 长 5 cm、宽 4 cm、高 3 cm 的长方体，如果高增加 1 cm，体积增加几 cm³？
20 cm³。多了一层，5 × 4 × 1 = 20（cm³）。
7. 正方体的棱长扩大到原来的 2 倍，体积扩大到原来的几倍？
8 倍。棱长 2 倍时，体积是 2 × 2 × 2 = 8 倍。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 6.1 几何图形小学研究长方体顶点、棱、面的数量与表面展开图，为初中立体图形表面展开折叠与截面分析提供了现成模型。