培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第五单元 用字母表示数和数量关系 · 第 7 课
探秘百数表
在百数表里随便圈一个“田字形”，为什么两条对角线上的数加起来永远相等？
本节路线导读
先用旧知“同一行差 1、同一列差 10”猜一猜，再移动选框验证，最后用字母说明为什么每次都成立。
先修：含字母的式子解决问题 · 初中衔接：用字母说明数的规律。
想一想 → 摆一摆 → 讲道理 → 看例题 → 练一练。
百数表里的“田字形”巧合：
在 10 × 10 的百数表（共 10 行、每行 10 个数）里，左右相邻的两个数相差 1，上下相邻的两个数相差 10。
先不算第二组。你猜两组对角线的和还会相等吗？
换到左上角是 57 的田字形：57 + 68 = 125，58 + 67 = 125。三个位置都相等，还不足以解释所有位置。接着移动选框，找出不变的关系。
如果用字母 a 表示田字形左上角的数，那么右下角的数怎样用含 a 的式子表示？
正下方是下一行，多了 10（a + 10）；再向右移一格又多了 1，所以右下角的数是 a + 10 + 1 = a + 11！
1. 移一移：在百数表上框出“田字形”和“十字形”
拖动行、列滑块或点方向键移动选框。先猜这次的和，再看读数核对。田字形用左上角作 a，十字形用中心数作 a。
左上角 a = 14：左上 + 右下 = 14 + 25 = 39，右上 + 左下 = 15 + 24 = 39，都等于 2a + 11！
下面的线段图会跟着选框变化：田字形的对角和拆成“2 个 a，再多 11”；十字形配对后，五数和拆成“5 个 a”。比较两种框法中的总量。
自己试试：田字形移到第 9 行第 9 列，仍成立吗？再切十字形，把中心移到第 2 行第 2 列和第 9 行第 9 列，记录两组结果。
边界也要看：田字形左上角只能在第 1–9 行、第 1–9 列；十字形中心只能在第 2–9 行、第 2–9 列，否则会缺格。
把“试过几次”变成“每次都成立”
- 同一行向右一格多 1，同一列向下一格多 10。所以田字形四个数依次是 a、a + 1、a + 10、a + 11。
- 两组对角和里都能找到 2 个 a；其余一组多 11，另一组多 1 和 10，也就是多 11。
- 十字形上下两数一少 10、一多 10，合成 2a；左右两数一少 1、一多 1，也合成 2a。再添中心的 a，得到 5a。
用含有字母的式子揭开田字形对角和相等的秘密：
- 左上 + 右下：a + (a + 11) = 2a + 11
- 右上 + 左下：(a + 1) + (a + 10) = 2a + 11
结论：两组对角线之和化简后都是 2a + 11！因为化简后含有字母的式子完全相同，所以无论在百数表的哪个位置圈田字形，对角和都必然相等！
在 10 × 10 的百数表里，同一行左右相邻两数相差 1，同一列上下相邻两数相差 10；用含有字母的式子能把所有框选位置的共同规律一次说清。
两个容易错的地方
例题：一个十字形，中间是 46
不把五个数逐一相加，怎样求总和？先自己想，再逐步打开提示。
① 读懂题意：先找位置
46 在第 5 行第 6 列，上下左右都有相邻格，能框成完整十字形。上、下、左、右依次是 36、56、45、47。
② 列式推导：怎样配对？
36 + 56 = 2 × 46，45 + 47 = 2 × 46。加上中间 46，总和为 5 × 46 = 230。
③ 检验：换一种算法
36 + 56 + 45 + 47 + 46 = 230。中心数 46 在 40 与 50 之间，总和是中心数的 5 倍，所以在 5 × 40 与 5 × 50 之间，230 符合。
如图，在百数表里框出一个“十字形”五个数，正中间的数是 a。这五个数的总和等于多少？
上面的数比 a 少 10，下面的数比 a 多 10，两数相加刚好是 2a；左边的数比 a 少 1，右边的数比 a 多 1，两数相加也是 2a；再加上正中间的 a，五个数之和正好是 5a（中间数的 5 倍）！
直接用
1. 在百数表中，如果一个数是 x，那么它正下方（下一行同一列）的数是（ ）。
百数表每行有 10 个数，正下方的数比它大 10，记作 x + 10。
2. 田字形四个数中，如果左上角的数是 m，那么左下角的数是（ ）。
左下角的数在左上角 m 的正下方，比 m 大 10，所以是 m + 10。
3. 在百数表的一个田字形中，左上角的数是 34，那么右下角的数是多少？
右下角的数是 a + 11 = 34 + 11 = 45。
容易错
4. 在百数表的同一竖列中框出上下相邻的 3 个数，如果正中间的数是 k，这 3 个数的总和是（ ）。
上面的数是 k − 10，中间是 k，下面的数是 k + 10。上下两数一少 10、一多 10，加起来正好是 2k，再加上中间的 k，总和是 3k。
5. 在百数表中框出一个十字形，五个数的总和是 165。这个十字形正中间的数是多少？
因为十字形五个数之和 5a = 165，两边同时除以 5，求得正中间的数 a = 165 ÷ 5 = 33。
想一想
6. 在百数表的同一行中框出左右相邻的 3 个数，如果正中间的数是 y，这 3 个数的总和是（ ）。
左边的数是 y − 1，中间是 y，右边的数是 y + 1。左右两数加起来是 2y，再加上中间的 y，三数之和是 3y。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 3.1 列代数式表示数量关系小学初步学会用字母代替未知数或公式中的边长，初中将其系统化为代数式书写规范，支撑后续一切整式与方程运算。
- 初中 · 3.2 代数式的值小学把具体数值代入含字母的公式求值，在初中扩展为含负数、分数与乘方的代数式代入求值。
- 初中 · 5.1 方程小学通过天平平衡认识等式的基本性质并用含字母的式子表示数量关系，初中在此基础上正式引入方程概念，严格定义一元一次方程并用同解变形求解。