培玉 · 小学数学← 返回主页五年级上册 · 第五单元 用字母表示数和数量关系 · 第 6 课
含字母的式子解决问题
算式里有两个都含 x 的部分（比如 4x + 5x），怎样把它们合并成一个简明的式子？
本节路线：相同的一份，怎样合起来算？
先回想“几个几”和乘法分配律，再猜、拖动线段验证，最后用字母解释。每一步只看份数怎样变。
- 想一想：同一段行程能怎样列式？
- 摆一摆：改变每份的数值，比较两种算法。
- 讲道理：用分配律解释相同的份怎样合并。
- 看例题：找份数、列式、检验。
- 练一练：独立解决问题。
快巴每小时都行 80 千米，上午行 a 小时，下午行 b 小时。求全天路程，下面哪种想法可行？
两种想法都可以。快巴上午、下午每小时都行 80 千米，分开算或合起来算，得到的总路程一样。
详细解释
核心发现：总路程既可以用“速度 × 总时间”写成 80(a + b)，也可以用“上午路程 + 下午路程”写成 80a + 80b。在含有字母的式子里，乘法分配律完全适用！
城际新能源快巴的行程：
一辆新能源城际快巴平均每小时行驶 80 km。上午从起点站到中转站行驶了 a 小时，下午从中转站到终点站行驶了 b 小时。
快巴全天行驶的总路程 s 是多少千米？先回想：80 × 2 + 80 × 3，还能怎样算？把两段时间换成 a、b 后，原来的办法还能用吗？
① 先猜：两种算法会相等吗？
先算两段路程再相加；或者先合起来算时间，再乘相同的速度。先说自己的猜想，再展开下一步。
② 用两个例子检验
a = 1、b = 2：80 × 1 + 80 × 2 = 240，80 × (1 + 2) = 240。
a = 2、b = 4：80 × 2 + 80 × 4 = 480，80 × (2 + 4) = 480。
③ 从例子走向理由
两次都相等，但还要解释为什么：速度相同，都是把若干个 80 合起来。分配律把这两个思路连在一起。
1. 拖一拖：每份变了，份数会变吗？
先猜：4 份 x 加上 5 份 x，每份 x 变大后，还会是 9 份吗？选一个式子，再拖动“每份 x”，至少试 2、5、8 三个值。
试过后，再看怎样数份数
4x + 5x：4 份加 5 份，共 9 份。
6x − 2x：6 份减 2 份，剩 4 份。
5x − x：单独的 x 是 1 份，5 份减 1 份，剩 4 份。
在上面的城际快巴问题中，总路程 s = 80(a + b)。当上午行驶 a = 2 小时、下午行驶 b = 3 小时时，全天行驶的总路程 s 是多少千米？
代入数值：s = 80 × (2 + 3) = 80 × 5 = 400（km）。
为什么可以先算份数？
- 先类比旧知：4 × 5 + 5 × 5 = (4 + 5) × 5，是乘法分配律。
- 再看相同的一份：将每份的 5 换成 x，4x 和 5x 仍分别表示 4 份和 5 份同样的量。因此 4x + 5x = (4 + 5)x = 9x。
- 减法也数份数：6x − 2x = (6 − 2)x = 4x。单独的 x 是 1x，所以 5x − x = (5 − 1)x = 4x。
- 检验范围：不同字母可以表示不同的量。3a + 2b 中，每份未必相同，不能直接说有 5 份同样的量。
几个含有相同字母的乘法式子相加减，可以照乘法分配律先把字母前面的数相加减，再乘这个字母。
两个容易错的地方
园艺队上午装了 4 筐花苗，下午装了 5 筐，每筐都是 x 株。一共装了多少株？当 x = 7 时呢？
① 读懂题意：每份是什么？
每筐的 x 株是一份。上午 4 份，下午 5 份，两次每份相同。
② 列式推导：先合并什么？
4x + 5x = (4 + 5)x = 9x（株）。当 x = 7 时，9 × 7 = 63（株）。
③ 检验：换一种算法
分别算：4 × 7 + 5 × 7 = 28 + 35 = 63（株），与合并后的算法相同。不能把 9x 写成 9，份数后面还要乘每份的株数。
另一队上午装 6 筐、下午装 2 筐，每筐 x 株。当 x = 4 时，一共装了多少株？
6x + 2x = 8x；代入 x = 4，8 × 4 = 32（株）。
直接用
1. 化简含有字母的式子：9y − 4y =（ ）。
9y − 4y = (9 − 4)y = 5y。
2. 一本书每天看 m 页，看了 5 天，还剩 k 页没看。这本书一共有（ ）页。
已看的页数是 5m，加上还剩的 k 页，总页数是（5m + k）页。
3. 甲、乙两队合挖一条水渠。甲队每天挖 12 米，乙队每天挖 15 米。合挖 t 天一共挖了 (12 + 15)t = 27t 米。当 t = 10 时，两队一共挖了多少米？
将 t = 10 代入 27t：27 × 10 = 270（米）。
容易错
4. 下列式子化简正确的是（ ）。
6a + 2a = (6 + 2)a = 8a 正确。注意 7x − x = 6x，而不同字母 3x + 2y 不能合并。
5. 小明每天存 x 元，存了 12 天；小华每天存 x 元，存了 8 天。小明比小华多存了 (12 − 8)x = 4x 元。当 x = 5 时，小明比小华多存了多少元？
将 x = 5 代入 4x：4 × 5 = 20（元）。
想一想
6. 农场有奶牛 x 头，肉牛的头数是奶牛的 4 倍。农场里的奶牛和肉牛一共有（ ）头。
肉牛有 4x 头，加上奶牛的 x 头（即 1x 头），一共是 x + 4x = (1 + 4)x = 5x 头。
往后学 · 初中数学
把这一单元学扎实，到了初中就能顺畅接上下面的内容：
- 初中 · 3.1 列代数式表示数量关系小学初步学会用字母代替未知数或公式中的边长，初中将其系统化为代数式书写规范，支撑后续一切整式与方程运算。
- 初中 · 3.2 代数式的值小学把具体数值代入含字母的公式求值，在初中扩展为含负数、分数与乘方的代数式代入求值。
- 初中 · 5.1 方程小学通过天平平衡认识等式的基本性质并用含字母的式子表示数量关系，初中在此基础上正式引入方程概念，严格定义一元一次方程并用同解变形求解。