2026 年北京预赛（二试 · 第 1–4 题）

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练习时长（分钟）

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第 1 题

如图，在锐角 $△ A BC$ 中， $M$ 是 $BC$ 的中点， $D, E$ 是形内两点，满足 $D$ 在 $△ A BM$ 的外接圆上， $E$ 在 $△ A CM$ 的外接圆上，且 $M D ⊥ ME$ 。延长 $M D, ME$ 分别交 $A C, A B$ 于点 $F, G$ 。已知 $D, E, G, F$ 四点共圆，求证： $M D$ 平分 $∠ A MC$ 。

第 2 题

给定整数 $n \geq 3$ 。设实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 满足

1 \leq k \leq n max \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{k}}{k} = 1, 1 \leq k \leq n min \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{k}}{k} = 0.

求

D = 1 \leq k \leq n - 1 max ∣ x_{k + 1} - x_{k} ∣

的最大值与最小值。

第 3 题

称正整数 $n$ 为“专一的”，如果对任意 $1 \leq i \leq n - 1$ ， $i$ 和 $n - i$ 中至少有一个在十进制表示中含数码 $1$ 。记 $S$ 为所有小于 $1 0^{2026}$ 的专一数之和，求 $S$ 除以 $11$ 的余数。

第 4 题

设整数 $n \geq 2$ 。在一个 $n \times n$ 的棋盘中，每个格被染成两种颜色之一。有些格中有若干个硬币。一次操作选择一个格，将此格中所有硬币分配至邻格（有公共边）：异色邻格分配 $2$ 个硬币，同色邻格分配 $1$ 个硬币。已知操作可以无限进行下去，求硬币总数的所有可能值。